数学人教A版 (2019)3.3 抛物线课堂教学ppt课件

3.3.2抛物线的简单几何性质（第二课时）

(人教A版普通高中教科书数学选修第一册第三章)

一、教学目标

1.掌握直线与抛物线的三种位置关系和焦点弦的简单几何性质，会用弦长公式求直线与抛物线的相交线.

2.通过对直线与抛物线的位置关系的探究，以及焦点弦的有关重要结论的证明，掌握坐标法求解解析几何问题的一般思路，体会数形结合在解析几何应用中的重要性，培养数学运算、逻辑推理的数学素养.

二、教学重难点

教学重点：

1. 直线与抛物线的位置关系.

2.与焦点弦有关的重要结论

3.坐标法的应用

教学难点：

几何图形与代数运算的联系的建立

三、教学过程

1.探究直线与抛物线的位置关系

【复习回顾】直线与椭圆的位置关系有哪些？有多少个公共点？如何判断？

例 已知直线和椭圆. 为何值时，直线与椭圆:有两个公共点？有且只有一个公共点？没有公共点？

【预设答案】

问题1：直线与抛物线的位置关系有哪些？有多少个公共点？如何判断？

【预设答案】

例1  已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

【预设答案】解：由题意，设直线的方程为，

由方程组

消去，得

（1）当时，直线的方程为，

将代入，得，

此时直线与抛物线只有一个公共点

（2）当时， 方程①的根的判别式

由，得或，此时方程①有两个相等的实数根，直线与抛物线有且只有一个公共点.

由，得，此时方程①有两个不相等的实数根，直线与抛物线有两个公共点.

由，得，此时方程①没有实数根，直线与抛物线没有公共点.

【设计意图】复习回顾直线与椭圆的位置关系，用同样的研究方法来研究直线与抛物线的位置关系.

2.证明抛物线的焦点弦的有关重要结论

问题2:直线过抛物线的焦点时，直线与抛物线的位置关系如何？有多少个公共点？

【预设答案】直线与抛物线相交, 有两种情况，当直线与抛物线对称轴重合时，有一个公共点；当直线与抛物线不重合时，两个公共点，第二种情况中，过焦点的直线被抛物线所截的弦长就是焦点弦.

【设计意图】由一般到特殊，由研究三种位置关系到研究其中一种，为接下来研究直线与抛物线相交时所成的焦点弦的有关重要结论打下基础.

【复习回顾】上节课例2，求焦点弦的弦长，用了哪些方法？

例2  斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段AB的长.

【预设答案】法一：直接求两点坐标，利用两点间的距离公式求弦长

法二：设而不求，利用弦长公式和根与系数的关系（韦达定理）求弦长

法三：活用定义，利用根与系数的关系（韦达定理）求弦长

【设计意图】梳理求焦点弦长度的几种解法，引导学生体会坐标法解决问题的基本思想方法：先用几何眼光观察，再用代数运算解决.

例3  直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点.

（1）用，表示线段的长，并证明：长度最小为（通径）.

（2）求证：.

（3）求证：.

（4）求证：以为直径的圆与准线相切.

（5）求证：以焦半径为直径的圆与轴相切.

    【预设答案】

解：（1）由抛物线的定义知，

①当直线斜率不存在时，直线轴，

此时，代入得，

，（不妨设），故（称为通径）

②当直线斜率存在时，设直线方程为，

由方程组得，

所以

所以，

所以长度最小为.

（2）由（1）知，当直线斜率不存在时，，

显然成立；

当直线斜率存在时，

由方程组得，

所以，，

所以

（3）由（1）知，当直线斜率不存在时，

， ，结论显然成立.

当直线斜率存在时，

由方程组得，

所以，，

（4）如图，设的中点为，

过,,分别作准线的垂线，

垂足分别为,,，则

，

结论得证.

(5) 如图，设的中点为，

过 ,分别作轴的垂线，

垂足分别为,，则

，

结论得证.

【设计意图】由例2到例3，由特殊到一般. 一方面，利用代数方法研究焦点弦的重要结论，使学生在解题过程中充分认识坐标法的程序性、普适性特点；另一方面，引导学生在解析几何的解题中，先用几何眼光观察，再用代数运算解决，充分利用图形的几何特征简化运算，注重数形结合，相辅相成.

【总结】与抛物线焦点弦有关的重要结论

直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，则

（1），长度最小为（通径）

（2）

（3）.

（4）以为直径的圆与准线相切.

（5）以焦半径为直径的圆与轴相切.

【设计意图】由学生自己证明并总结出与抛物线焦点弦的有关重要性质，加深对抛物线几何性质的理解.

3.直线与抛物线的相交弦

问题3: 当直线不过抛物线焦点时，结论是否成立？

【预设答案】不成立，证明如下：

例4  斜率为1的直线经过抛物线的定点，且与抛物线相交于，两点，求线段AB的长.

【预设答案】解：由方程组，得

所以，

，

它的长度与紧密关联.

【设计意图】区分抛物线的焦点弦和一般相交弦，求解方法也有差异，一般弦长无法利用定义简化计算过程，只能用两点间的距离或弦长公式.

四、课外作业

1. 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，通过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行与抛物线的对称轴．

2. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，若点，求的最小值．  【答案】
3. 抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，求证：是一个定值．  【答案】

4. 已知过定点的直线交抛物线于，两点，求△面积的最小值．  【答案】