高中数学第七章 概率3 频率与概率优秀课堂检测

7.3频率与概率北师大版（  2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 用随机事件发生的频率去估算这个事件发生的概率．下列结论正确的是(    )

A. 事件发生的概率是
B. 事件发生的概率，则事件是必然事件
C. 用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为
D. 某奖券中奖率为，则某人购买此券张，一定有张中奖

2. 下列说法合理的是(    )

A. 抛掷一枚硬币，试验次出现正面的频率不 一 定比次得到的频率更接近概率
B. 抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为的概率是，意即每掷次就有一次掷得点数
C. 某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为，是指明天本地有的区域下雨
D. 随机事件，中至少有一个发生的概率一定比，中恰有一个发生的概率大

3. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是(    )

A. 频率就是概率
B. 频率与试验次数无关
C. 概率是随机的，与频率无关
D. 随着试验次数的增加，频率一般会趋近于概率

4. 某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第次触球者，第次触球者是甲的概率为，则

A.  B.  C.  D.

5. 若离散型随机变量的分布列为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若在同等条件下进行次重复试验得到某个事件发生的频率，则随着逐渐增大，有．(    )

A. 与某个常数相等
B. 与某个常数的差逐渐减小
C. 与某个常数的差的绝对值逐渐减小
D. 在某个常数的附近摆动并趋于稳定

7. 甲、乙两位同学各拿出张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得分，否则乙得分，先积得分者获胜得所有张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积分，乙积分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这张游戏牌的分配合理的是(    )

A. 甲得张，乙得张 B. 甲得张，乙得张
C. 甲得张，乙得张 D. 甲得张，乙得张

8. 以下一些说法，其中正确的有(    )

A. 一年按天计算，两名学生的生日相同的概率是
B. 买彩票中奖的概率是，那么买张彩票一定能中奖
C. 乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从共个数中各抽取个，再比较大小，这种抽签方法是公平的
D. 昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水概率为”是错误的

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 多选某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买．
    

根据表中数据，下列结论正确的是(    )

A. 顾客购买乙商品的概率最大
B. 顾客同时购买乙和丙的概率约为
C. 顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率约为
D. 顾客仅购买种商品的概率不大于

10. 甲乙两位同学玩纸牌游戏纸牌除了颜色有不同，没有其他任何区别，他们手里先各持张牌，其中甲手里有张黑牌，张红牌，乙手里有张黑牌，张红牌，现在两人都各自随机的拿出一张牌进行交换，交换后甲、乙手中的红牌数分别为、张，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 下列说法错误的有(    )

A. 随机事件发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B. 在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生
C. 任意事件发生的概率满足
D. 若事件发生的概率趋近于，则事件是不可能事件

12. 一袋中装有个大小相同的小球，其中六个黑球的编号为，，，，，，四个白球的编号为，，，，下列结论中正确的是．(    )

A. 若有放回地摸取个球，则取出的球中白球个数服从二项分布
B. 若一次性地摸取个球，则取出的球中白球个数服从超几何分布
C. 若一次性地摸取个球，则取到个白球的概率为
D. 若一次性地摸取个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是______个．
14. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，现部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生到之间取整数值的随机数，用，，，表示下雨，其余个数字表示不下雨．产生了组随机数：

则这三天中恰有两天降雨的概率约为          ．

15. 有下列说法：

频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；

做次随机试验，事件发生的频率就是事件的概率；

百分率是频率，但不是概率；

频率是不能脱离具体的次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；

频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．

其中正确的是________．

16. 下列说法中正确的个数为          ．

事件发生频率与概率是相同的．

随机事件和随机试验是一回事．

在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．

两个事件的和事件是指两个事件都得发生．

对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．

两互斥事件的概率和为．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了名中学生，并在调查到名，名，名，名，名时分别计算了各种颜色的频率，绘制的折线图如下：
     

随着调查次数的增加，红色的频率如何变化

你能估计中学生选红色的概率是多少吗

若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量

18. 本小题分
    年月日，国家队手枪项目奥运会模拟赛在河北省射击中心射击场进行根据以往的成绩，甲、乙两名男子手枪速射运动员都获得了参赛资格下面统计了平日训练中两名运动员击中环的次数，如下表：

分别计算出甲、乙两名运动员击中环的频率

根据中的数据预测两名运动员在奥运会上击中环的概率，并对他们的水平作简单的评价．

19. 本小题分

新课标设施后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了名学生的成绩，按照成绩为分成了组，制成了如图所示的频率分布直方图假定每名学生的成绩均不低于分．

求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的名学生成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值代表；

若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有人被抽到的概率．

20. 本小题分

在某城市气象部门的数据库中，随机抽取天的空气质量指数的监测数据，整理得如下表格：空气质量指数为优或良好，规定为Ⅰ级，轻度或中度污染，规定为Ⅱ级，重度污染规定为Ⅲ级若按等级用分层抽样的方法从中抽取天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有天．

求，的值；

若以这天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年按天计算中大约有多少天的空气质量指数为优？

若从抽取的天的数据中再随机抽取天的数据进行深入研究，记其中空气质量为Ⅰ级的天数为，求的分布列及数学期望．

21. 本小题分
    随机抽取一个年份，对某市该年月份的天气情况进行统计，结果如下：

在月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率
该市某学校拟从月份的一个晴天开始举行连续天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．

22. 本小题分

某地每年的七月份是洪水的高发期，在不采取任何预防措施的情况下，一旦爆发洪水，将造成万元的经济损失为防止洪水的爆发，现有四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用预防措施后不爆发洪水的概率为，所需费用为万元

若联合使用和措施，则不爆发洪水的概率是多少

现在有以下两类预防方案可供选择：

预防方案一：单独采用一种预防措施

预防方案二：联合采用两种不同预防措施．

则要想使总费用最少，应采用哪种具体的预防方案

总费用采取预防措施的费用发生突发事件损失的期望值

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查概率的概念，属于中档题．
根据概率的概念逐项进行判断即可．

【解答】

解：对于，可以是或，故A错误；
对于，事件发生的概率，则事件是随机事件，故B错误；
对于，根据概率的定义，估计有明显疗效的可能性为，可判断C正确；
对于，某奖券中奖率为，某人购买此券张，不一定有张中奖，D错误；
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，考查概率的概念等基础知识，是中档题．
利用概率的概念直接求解．

【解答】

解：在中，抛掷一枚硬币，由概率的定义得：
试验次出现正面的频率不一定比次得到的频率更接近概率，故A正确；
在中，抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为的概率是，
意即每掷次就可能有一次掷得点数，故B错误；
在中，某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为，是指明天本地有的可能性会下雨，故C错误；
在中，事件，中至少有一个发生的概率包括事件发生不发生；不发生发生；、都发生，中情况．
，中恰有一个发生包括事件发生不发生；不发生发生，中情况．当事件，为对立事件时，事件，中至少有一个发生的概率与，中恰有一个发生的概率相等，故D错误．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查频率与概率的关系，在大量重复试验中事件发生的频率逐渐稳定到某个常数的附近，这个常数可以作为该事件发生的概率的估计值．

【解答】

解：在大量重复试验中事件发生的频率逐渐稳定到某个常数的附近，这个常数可以作为该事件发生的概率的估计值，
并且频率一般会随着试验次数的变化而变化，概率是由事件的本质属性所决定的，它不随试验次数的变化而变化．
故D选项说法正确．
故选D．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查数列递推关系，等比数列通项，随机事件发生的概率，属于中档题．
根据题意，分析出要想第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，且第次触球的人，有的概率将球传给甲，从而求出递推公式，得到值，从而计算得出答案．

【解答】

解：由题意得：要想第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，
且第次触球的人，有的概率将球传给甲，
故，故C正确；
因为，设，
解得：，
所以
因为，
所以是以为首项，公比是的等比数列，
故，
所以，，
所以．
故选：．

5.【答案】 

【解析】略
 

6.【答案】 

【解析】由频率和概率的关系知，

在同等条件下进行次重复试验得到某个事件发生的频率，随着的逐渐增加，频率逐渐趋近于概率。

故答案选

点睛：本题是一道关于概率与频率的题目，解题的关键是掌握两者之间的关系，由概率与频率的关系可知，当试验次数足够大时，事件的频率在概率附近摆动并趋近概率

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题以实际问题为载体，考查概率的运用，解题的关键是分析甲、乙各自获胜的概率，为中档题．
由题意知本题是一个古典概型试验发生的事件是投骰子，分别算出甲乙获胜的概率，即可求解．
【解答】
解：由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为，即甲、乙每局得分的概率相等，

所以甲获胜的概率是，

乙获胜的概率是．

所以甲得到的游戏牌为张，乙得到的游戏牌为张．

故选A．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查概率意义，解题的关键是明确概率的意义和计算方法，属于中档题．
根据题意一一判断即可．

【解答】

解：对于，一年按天计算，两个同学的生日可能在天里的任意一天相同，
因此两名学生的生日相同的概率是，故A错误；
对于，买彩票中奖的概率是，是小概率事件，那么买张彩票可能中奖也可能不中奖，不中奖的概率更大一些，故B错误；
对于，乒乓球赛前，决定谁先发球，抽签方法是从共个数字中各抽取个，抽到每个签的概率均为，所以公平，故 C正确；
对于，根据概率只是反应事件发生的可能性可知，明天降水概率为是指明天该地区降水的可能性为，故D错误．
故选C．

9.【答案】 

【解析】【解析】对于选项，由于购买甲商品的顾客有位，购买乙商品的顾客有位，故A错误对于选项，从统计表可以看出，在这位顾客中，有位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为，故B正确对于选项，从统计表可以看出，在这位顾客中，有位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率可以估计为，故C正确对于选项，从统计表可以看出，在这位顾客中，有位顾客仅购买种商品，所以顾客仅购买种商品的概率可以估计为，故D正确故选BCD．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】

略

【解答】

略

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查概率的概念，属于中档题．
根据基本事件的定义进行解答．

【解答】

解：在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．
随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．A正确．
在一次试验中不同的基本事件不能同时发生， B正确
任意事件发生的概率满足， C错误
事件发生的概率趋近于，则事件为小概率事件，也可能发生，故D错误；
故选CD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二项分布与超几何分布的概念以及概率求解，属于中档题．
根据超几何分布和二项分布的概念可判断；对于，根据超几何分布的概率即可求解．

【解答】

解：一袋中有个大小相同的黑球，编号为，，，，，，还有个同样大小的白球，编号为，，，，现从中任取个球，
对于，根据二项分布和超几何分布的概念，可知若有放回地摸取个球，则取出的球中白球个数服从二项分布，若一次性地摸取个球，则取出的球中白球个数服从超几何分布，即AB正确；
对于，取出个白球的概率为，故错误；
对于，若一次性地摸取个球，取到的白球数大于黑球数的概率，则取个白球或个白球，取个白球的概率为，取个白球的概率为，
则取到的白球数大于黑球数的概率为，故正确．
故选ABD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】
由题意：“小明通过多次摸球试验后发现”知所得频率可以近似地认为是概率，再由概率之和为计算出摸出白球的频率，最后由数据总数频率频数计算白球的个数即可．
本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．
【解答】
解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，
摸到白球的频率为，
故口袋中白色球的个数可能是个；
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】

在组随机数中，表示三天中恰有两天降雨随机数有个，由此能求出这三天中恰有两天降雨的概率．
本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

【解答】

解：在组随机数中，表示三天中恰有两天降雨随机数有：
，，，，，共个，
这三天中恰有两天降雨的概率约为．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查概率与频率的定义、联系和区别，由频率及概率的定义即可求解，属基础题．

【解答】

解：由频率及概率的定义可知是正确的．

在中，是事件发生的频率，由于概率是与频率接近一个常数，所以概率不一定等于频率，故是错误的．

概率虽是与频率接近的常数，但并不与频率相等如必然事件，所以是不正确的．

由概率定义知是正确的．

故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是频率、概率、随机事件、互斥事件、对立事件的概念，属于中档题．
可结合各个概念的含义求解．

【解答】

解：事件发生频率是概率的近似值，所以两个是不相同的所以错误；
随机事件和随机试验是不同的概念，一次随机试验可以包含不同的随机事件，所以错误；
在大量重复试验中，概率是频率的稳定值由概率的含义知正确；
两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生，所以说法错误；
对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件由对立事件与互斥事件的含义知正确．
两互斥事件的概率和小于等于，不一定等于，所以错误．
故答案为．

17.【答案】根据折线图可知随着调查次数的增加，红色的频率越来越稳定在．

由图可知，红色的频率基本在附近浮动，所以中学生选红色的概率是．

由图可知，中学生选蓝色、红色、绿色、紫色、其他颜色的概率分别是，，，，，故可安排生产蓝色、红色、绿色、紫色、其他颜色的笔袋产量的比例大约为合理即可．

【解析】略
 

18.【答案】解两名运动员击中环的频率如下表：

由中的数据可知两名运动员击中环的频率都集中在附近，所以预测两人在奥运会上击中环的概率均约为从数据上看甲、乙两人的实力相当，乙略占优势．

【解析】略
 

19.【答案】解：由频率分布直方图可知，
解得                                                  
抽取学生成绩的平均数为

分                                    
分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取人，
则这组抽取人，这组抽取人．              
设组抽取人编号为， 组抽取人编为，
则一共有，
，，
共个基本事件，这组中至少有人被抽到包含个基本事件，
记这组中至少有人被抽到为事件，
则 

【解析】本题考查频率分布直方图，平均数，分层抽样，概率，属于基础题．
根据频率分布直方图来求值．
根据分层抽样求出每个层次的人数，然后再求概率．
 

20.【答案】解：因为从天中用分层抽样的方法抽取天的数据，
空气质量为Ⅰ级的恰好有天，
所以空气质量为Ⅰ级的天数为，
因此，，解得，．
依题意可知，一年中空气质量指数为优的天数约为．
由题可知抽取的天的数据中，Ⅰ级的天数为，Ⅱ级和Ⅲ级的天数之和为，
满足超几何分布，
所以的可能取值为，，，，，
，，
，，
，
因此的分布列为：

故． 

【解析】本题考查了分层抽样，样本估计总体，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差和超几何分布，属于中档题．
利用分层抽样，结合题目条件，计算得结论；
利用样本估计总体，计算得结论；
利用超几何分布得离散型随机变量的分布列，计算离散型随机变量的期望得结论．
 

21.【答案】解在容量为的样本中，不下雨的天数是，以频率估计概率，月份任选一天，该市不下雨的概率为．

称相邻的两个日期为“互邻日期对”如日与日，日与日等，这样，在月份中，前一天为晴天的互邻日期对有个，其中后一天不下雨的有个，所以晴天的次日不下雨的频率为，

以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为．

【解析】略
 

22.【答案】解：依题意有：

设事件表示使用和措施不爆发洪水，
则．
预防措施一：有四种情况：
单独用总费用为：万元
单独用总费用为：万元
单独用总费用为：万元
单独用总费用为：万元．
预防措施二：有六种情况：
联合：总费用为万元
联合：总费用为万元
联合：总费用为万元
联合：总费用为万元
联合：总费用为万元
联合：总费用为：万元．
所以，预防方案采用联合使用最好，使得总费用最少． 

【解析】本题考查概率的计算，考查了利用概率估计总体．
利用题意可求得单独采用预防列举出各个措施所需费用，即可得解措施后不爆发洪水的概率及费用，再利用互斥事件概率求解；
分别求出各种方案的费用，比较费用的大小即可求解．