初中人教版第十二章 全等三角形综合与测试复习练习题

这是一份初中人教版第十二章 全等三角形综合与测试复习练习题，共46页。试卷主要包含了如图，已知，已知等内容，欢迎下载使用。
第12章 全等三角形 解答题

1．（2022·广东广州·八年级期末）如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，DC∥AB．求证DC=AB．

2．（2022·广东东莞·八年级期末）如图，AB⊥CB，DC⊥CB，E、F在BC上，∠A=∠D，BE=CF，求证：AF=DE．

3．（2022·广东汕头·八年级期末）如图，已知：，，．求证：．

4．（2022·广东韶关·八年级期末）如图，是上一点，交于点，，，求证：．

5．（2022·广东韶关·八年级期末）如图，点B，F，C，E在一直线上，．求证：．

6．（2022·广东·东莞市光明中学八年级期末）如图，BD∥AC，BD＝BC，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．

7．（2022·广东广州·八年级期末）如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：ABDF．

8．（2022·广东广州·八年级期末）已知：如图，AEFD，AE＝FD，EB＝CF．求证：．

9．（2022·广东广州·八年级期末）如图，已知∠A＝∠C，AE、CF分别与BD交于点E、F．请你从下面三项中再选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．①AB∥DC；②AE∥CF；③DE＝BF．

10．（2022·广东东莞·八年级期末）如图所示，BE＝CF，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD．

求证：（1）△BDE≌△CDF；
（2）AD是∠BAC的平分线．
11．（2022·广东·肇庆市华南师范大学附属肇庆学校八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）作∠BAC的平分线AD交边BC于点D．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若∠BAC=28°，求∠ADB的度数．

12．（2022·广东云浮·八年级期末）已知：在△ABC中，AD是BC边上的高．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AE，交BC于点E；
（2）在（1）的条件下：若∠ABC＝105°，∠C＝45°，求∠EAD的度数．

13．（2022·广东湛江·八年级期末）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．

14．（2022·广东·湛江市坡头区龙头中学八年级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：△ABC≌△BAD．

15．（2022·广东·可园中学八年级期末）如图，CD＝ CA，∠1 ＝ ∠2，EC＝BC．
求证：DE＝AB．

16．（2022·广东惠州·八年级期末）如图：AE=DE，BE=CE，AC和BD相交于点E，求证：AB=DC

17．（2022·广东广州·八年级期末）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．

18．（2022·广东茂名·八年级期末）如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．

(1)求证：AB＝FE；
(2)若ED⊥AC，ABCE，求∠A的度数．
19．（2022·广东·东莞市光明中学八年级期末）如图，四边形ABCD中，点F是BC中点，连接AF并延长，交于DC的延长线于点E，且∠1=∠2．

(1)求证：△ABF≌△ECF；
(2)若AD∥BC，∠B+∠D =250°，求∠D的度数；
(3)若∠B=∠D，求证：AD=BC．
20．（2022·广东肇庆·八年级期末）在平面直角坐标系中，点，，在轴负半轴上取点，使，作，直线交的延长线于点．

(1)根据题意，可求得__________；
(2)求证：；
(3)动点从出发沿路线运动速度为每秒1单位，到点处停止运动；动点从出发沿运动速度为每秒3个单位，到点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作于点，于点．问两动点运动多长时间与全等？
21．（2022·广东江门·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，AB//CD，M为的中点，且平分．求证：平分．

22．（2022·广东广州·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠A＝∠C．求证：AB＝CD．

23．（2022·广东广州·八年级期末）如图，点P为ABC的外角∠BCD的平分线上一点，PA＝PB，PE⊥BC于点E．

(1)求证：∠PAC＝∠PBC；
(2)若AC＝5，BC＝11，求 ；
(3)如图2，若M，N分别是边AC，BC上的点，且，求证：BN＝AM＋MN．
24．（2022·广东东莞·八年级期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

25．（2022·广东汕尾·八年级期末）如图，，，，，垂足分别为，．

(1)求证：；
(2)试探究线段，，之间有什么样的数量关系，请说明理由．
26．（2022·广东广州·八年级期末）如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．

(1)如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
(2)如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
(3)如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
27．（2022·广东·塘厦初中八年级期末）如图，在中，，E是AD上一点，且，连接BE并延长交AC于点F，．

（1）求证：；
（2）猜想BF与AC的位置关系，并证明．
28．（2022·广东珠海·八年级期末）如图，已知O为坐标原点，B（0 ，3），OB=CD，且OD=2OC，将△BOC沿BC翻折至△BEC，使得点E、O重合，点M是y轴正半轴上的一点且位于点B上方，以点B为端点作一条射线BA，使∠MBA=∠BCO，点F是射线BA上的一点．
（1）请直接写出C、D两点的坐标：点C ，点D ；
（2）当BF=BC时，连接FE．
①求点F的坐标；
②求此时△BEF的面积．

29．（2022·广东湛江·八年级期末）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD．
（1）求证：△OAB是等腰三角形；
（2）若∠CBA＝60°，求证AC＝3OC．

30．（2022·广东湛江·八年级期末）已知△ABC是等边三角形，延长BA到点E，延长BC到点D，使得AE＝BD，连接CE，DE，求证：CE＝DE

31．（2022·广东肇庆·八年级期末）如图，点C为线段AB上一点，以线段AC为腰作等腰直角△ACD，∠ACD＝90°，点E为CD延长线上一点，且CE＝CB，连接AE，BD，点F为AE延长线上一点，连接BF，FD．
（1）①求证：△ACE≌△DCB；
②试判断BD与AF的位置关系，并证明；
（2）若BD平分∠ABF，当CD＝3DE，S△ADE，求线段BF的长．

32．（2022·广东江门·八年级期末）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF平分∠BAD，交BC于点F，交CD的延长线于点G．

（1）若∠G=29°，求∠ADC的度数；
（2）若点F是BC的中点，求证：AB=AD+CD．
33．（2022·广东湛江·八年级期末）如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，且∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F．

（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）如果∠ABC＝65°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．
34．（2022·广东·肇庆市华南师范大学附属肇庆学校八年级期末）已知：如图，A、F、C、D四点在一直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE．
求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）BC∥EF．

35．（2022·广东东莞·八年级期末）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过P点作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H.(1)∠APB的度数为_______°；(2)求证:△ABP≌△FBP；(3)求证:AH+BD=AB．

36．（2022·广东汕尾·八年级期末）如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．

37．（2022·广东潮州·八年级期末）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC=7，AD=5，求AF的长．

38．（2022·广东阳江·八年级期末）如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC=DF，AB=DE．求证：CE=BF．

39．（2022·广东·广州大学附属中学八年级期末）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．


(1)延长FD到点G使DG＝BE，连接AG，得到至△ADG，从而可以证明EF＝BE＋FD，请你利用图（1）证明上述结论．
(2)如图（2），四边形ABCD中，，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______数量关系时，仍有EF＝BE＋FD，并说明理由．


(3)如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD，已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F．且AE⊥AD，米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长．


参考答案：
1．见解析
【解析】
由DC∥AB得∠D=∠B，再利用AAS即可证明△COD≌△AOB，即可得出结论．
证明：∵DC∥AB，
∴∠D=∠B，
在△COD与△AOB中，
，
∴△COD≌△AOB（AAS），
∴DC=AB．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．见解析
【解析】
由题意可得∠B=∠C=90°，BF=CE，由“AAS”可证△ABF≌△DCE，可得AF=DE．
证明：∵AB⊥CB，DC⊥CB，
∴∠B=∠C=90°，
∵BE=CF，
∴BF=CE，且∠A=∠D，∠B=∠C=90°，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AF=DE，
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
3．证明见解析
【解析】
先证明再利用证明可得从而可得结论.
证明： ，
即
，，



本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，平行线的判定，掌握“利用证明两个三角形全等”是解本题的关键.
4．见解析
【解析】
先证明可得，再根据“内错角相等、两直线平行”可得，进而即可解答
证明：∵，，，
∴
∴
∴
∵是上一点，
∴．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，证得是解答本题的关键．
5．证明见解析
【解析】
由已知条件利用等量加等量和相等证明，然后利用边角边证明，可得到，即可证得．
证明：∵，
∴，
∴，   
在和中，，
∴，
∴，
∴．
本题考查了利用边角边证明三角形全等，平行线的判定等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
6．证明见解析
【解析】
由BD∥AC，知∠ACB＝∠EBD，证明△ABC≌△EDB（SAS），进而可证∠ABC＝∠D．
证明：∵BD∥AC，
∴∠ACB＝∠EBD，
在△ABC和△EDB中，
∵，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠ABC＝∠D．
本题考查了三角形全等的判定与性质．解题的关键在于找到三角形全等的条件．
7．见解析
【解析】
根据题意，先证明，进而证明，可得∠B＝∠F，根据内错角相等，两直线平行，即可得证．
BE＝CF，
，
，
AB＝DF，AC＝DE，
，
∴∠B＝∠F，
∴AB∥DF．
本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
8．见解析
【解析】
根据全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．
∵EB＝CF
∴EB+BC＝CF+BC
∴EC=FB
∵
∴∠E＝∠F
在与中

∴
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．见解析
【解析】
由已知设AB∥DC，DE＝BF，得到∠B=∠D，BE=DF，再根据∠A=∠C，利用AAS证明△ABE≌△CDF，得到∠AEB=∠CFD，再根据平行线的判定即可证明．
解：命题为：若AB∥DC，DE＝BF，则AE∥CF；
证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠D，
∵DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF，即BE=DF，
又∵∠A=∠C，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE∥CF．
此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，关键是由已知证△ABE≌△CDF．
10．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）由HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；
（2）由全等三角形的性质得DE=DF，再由角平分线的判定即可得出结论．
证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）；
（2）由（1）得：△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是∠BAC的平分线．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定，证明Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键．
11．（1）见解析；（2）104°
【解析】
（1）直接根据角平分线的作图方法进行作图即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出∠B=180°-∠C-∠BAC=62°，再由角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和定理得到∠ADB=180°-∠BAD-∠B=104°．
解：（1）以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，AB于M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN长的一半为半径画弧，两者交于点P，连接AP并延长与BC交于D，即为所求；

（2）∵∠C=90°，∠BAC=28°，
∴∠B=180°-∠C-∠BAC=62°，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠B=104°．
本题主要考查了角平分线作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的定义．
12．（1）作图见解析；（2）
【解析】
（1）以为圆心，任意长为半径画弧，得与的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，以为端点，过两弧的交点作射线交于，即可得到答案；
（2）根据三角形的内角和定理求解，再利用角平分线的定义求解，再利用三角形的高的含义与外角的性质求解，最后利用角的和差关系可得答案．
解：（1）如图，射线即为所求，

（2）

平分,

为高，


本题考查的是三角形的高的含义，角平分线的定义与作图，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
13．见解析
【解析】
由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证．
解∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE，
∴∠A＝∠D．
本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质．
14．见解析
【解析】
根据已知条件，直接利用AAS即可判定△ABC≌△BAD．
在△ABC和△BAD中，，
∴△ABC≌△BAD（AAS）．
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
15．详见解析
【解析】
由已知证得∠ACB=∠DCE，从而根据三角形全等SAS的判定，证明△ABC≌△DEC，继而可得出结论．
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+ECA=∠2+∠ACE，即∠ACB=∠DCE．
在△ABC和△DEC中，
∵CD=CA，∠ACB=∠DCE，BC=EC，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
∴DE=AB．
本题考查了三角形全等的判定和性质，解决此题的关键是证明∠ACB=∠DCE．
16．见详解.
【解析】
由SAS可得△ABE≌△DCE，即可得出AB=CD．
∵AE=DE，BE=CE，∠AEB=∠CED（对顶角相等），
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AB=CD．
17．见详解．
【解析】
根据PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再证Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可．
解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和是解题关键．
18．(1)见解析
(2)120°
【解析】
（1）根据“AAS”证明，即可证明；
（2）根据得到，进而证明，利用直角三角形性质得到，即可求出，，即可求出．
(1)
证明：∵为的角平分线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
(2)
解：∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余，理解题意证明，进而根据平行线的性质和全等三角形性质得到是解题关键，
19．(1)见解析
(2)125°
(3)见解析
【解析】
（1）根据AAS即可判定△ABF≌△ECF．
（2）利用平行四边形对角相等即可证明．
（3）连接AC, 证明△BAC≌△DCA（AAS）即可．
(1)
证明：∵F是BC的中点，
∴BF=CF，
在△ABF和△ECF中，
，
∴△ABF≌△ECF（AAS）．
(2)
由（1）得，∠B=∠BCE
∵AD∥BC，
∴∠D=∠BCE，
∴∠B=∠D，

∠B+∠D =250°，
∴∠D=∠B=125°，
(3)
连接AC，
∵∠1=∠2．
∴AB//CD
∴∠BAC=∠DCA
∵∠B=∠DAC=AC
∴△BAC≌△DCA（AAS）
∴AD=BC．
本题考查全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质证明角相等是解题的关键．属于中考常考题型．
20．(1)5
(2)见解析
(3)当两动点运动时间为、、10秒时，与全等
【解析】
（1）根据，，即可求得的长；
（2）根据垂直平分线的性质可得，进而可得，由可得，从而证明，即可得；
（3）设运动的时间为秒，证明与全等，根据三角形全等的性质分三种情况讨论：①当点、分别在轴、轴上时，②当点、都在轴上时，③当点在轴上，在轴上时，若二者都没有提前停止，当点运动到点提前停止时，根据时，列出一元一次方程解方程求解即可
(1)
点，



故答案为：
(2)
证明：如图1中，
∵，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
在与中，

∴.
∴.

(3)
设运动的时间为秒，当时，
分三种情况讨论：
①当点、分别在轴、轴上时，

当时





在与中


则得：
，
解得（秒），
②当点、都在轴上时，同理可得,

则得：
，
解得（秒），
③当点在轴上，在轴上时，同理可得，若二者都没有提前停止，则得：

，
解得（秒）不合题意；
当点运动到点提前停止时，

有，解得（秒），
综上所述：当两动点运动时间为、、10秒时，与全等.
本题考查了坐标与图形，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
21．见解析
【解析】
先根据角平分线的性质，得出BM=NM，再根据M为BC的中点，即可得到MN=CM，再根据∠C=90°=∠MND，可得DM平分∠ADC．
证明：过点M作于N

∵平分，，
∴
又
∴
∵，
∴．
∴平分．
本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
22．见解析
【解析】
根据，得出，证明出，即可得出结论．
解：，
，
，
，
．
本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理．
23．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【解析】
（1）过点P作PF⊥AC的延长线于F，证明Rt△PAF≌ Rt△PBE(HL)即可；
（2）过点P作PF⊥AC于F，由PE⊥BC，CP是BCD的平分线，可得PE=PF,∠PCF=∠PCE，进而证明Rt△PCF≌Rt△PCE(HL)，进而求得CE=CF=3，根据S△PCE:S△PBE=S△PFC:S△PFA=CF:AF求解即可；
（3）在BC上截取BQ=AM，证明△PMA≌△PQB(SAS)，△MPN≌△QPN(SAS)，进而证明BN=AM＋MN.
(1)
如图1，过点P作PF⊥AC的延长线于F，

∵PC平分∠DCB,
∴PE=PF,
在Rt△PAF和Rt△PBE中，

∴Rt△PAF≌ Rt△PBE(HL)
∴∠PAC =∠PBC,
(2)
如图，过点P作PF⊥AC于F，

∵PE⊥BC，CP是BCD的平分线，
∴PE=PF，∠PCF=∠PCE,
在Rt△PCF和Rt△PCE中

∴Rt△PCF≌Rt△PCE(HL)
∴CF=CE
由(1)知，Rt△PAF≌Rt△PBE,
∴AF=BE,
∴AF=AC＋CF,BE=BC–CE,
∴AC＋CF=BC-CE,
∵AC=5,BC=11,
∴5+CF=11-CE,
∴CE=CF=3,
∵Rt△PCF≌Rt△PCE,
∴S△PCF = S△PCE,
∵Rt△PAF≌Rt△PEB,
∴S△PAF =S△PEB,
∴S△PCE:S△PBE=S△PFC:S△PFA
=CF×PF:AF×PF
=CF: AF
=CF:(CF+AC)
=3:(3+5)
=3:8
(3)
如图，在BC上截取BQ=AM，

由（1）可知∠PAC＝∠PBC
在△PMA和△PQB中，

∴△PMA≌△PQB(SAS)，
∴PM=PQ，∠MPA =∠QPB，
∴∠APM＋∠QPA=∠QPB＋∠QPA
即∠APB=∠MPQ，
∵∠MPN =∠APB,
∴∠MPN=∠MPQ,
∴∠MPN=∠QPN,
在△MPN和△QPC中，

∴△MPN≌△QPN(SAS),
∴MN=QN,
∴BN=AM＋MN.
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
24．（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，见解析；（3）结论不成立，EF＝BE﹣FD，见解析
【解析】
（1）延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再证明△GAE≌△FAE，根据全等三角形的性质得出EF＝EG，结合图形计算，证明结论；
（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，仿照（1）的证明方法解答；
（3）在EB上截取BH＝DF，连接AH，仿照（1）的证明方法解答．
解：（1）EF＝BE+FD，
理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，

在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EG，
∵EG＝BG+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD；
（2）（1）中的结论仍然成立，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，

∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠3＝∠2，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠2+∠4＝∠EAF，
∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，
在△MAE和△FAE中，
，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EM，
∵EM＝BM+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD；
（3）（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD，
理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH，

同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF，
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∴∠HAE＝∠FAE，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），

∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)，见解析
【解析】
（1）由“AAS”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，，即可求解．
(1)
证明：

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴（AAS）．
(2)
解：，理由如下：
∵，
∴，．
∵，
∴．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
26．(1)115°
(2)见解析
(3)见解析
【解析】
（1）利用三角形的内角和先求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分的定义求出∠OBC与∠OCB的和即可解答；
（2）根据角平分线的性质定理，想到过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，证出OE=OF即可解答；
（3）根据角平分的定义求出∠OCP=90°即可解答．
(1)
解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=65°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°；
(2)
证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，

∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OE=OF，
∴OA平分∠BAC；
(3)
证明：∵OC平分∠ACB，OP平分∠ACD，
∴∠ACO=∠ACB，∠ACP=∠ACD，
∴∠OCP=∠ACO+∠ACP
=∠ACB+∠ACD
=∠BCD
=×180°
=90°，
∴OC⊥CP．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义和角平分线的性质定理是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）BF⊥AC，理由见解析
【解析】
（1）利用HL证明Rt△BED≌Rt△ACD即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠EBD=∠CAD，再由∠BED+∠EBD=90°，∠AEF=∠BED，得到∠EBD+∠AEF=90°，则∠CAD+∠AEF=90°，∠AFE=90°，由此即可证明BF⊥AC．
：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BDE=90°，
在RtBED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△ACD（HL）；
（2）BF⊥AC，理由如下：
∵Rt△BED≌Rt△ACD，
∴∠EBD=∠CAD，
∵∠BED+∠EBD=90°，∠AEF=∠BED，
∴∠EBD+∠AEF=90°，
∴∠CAD+∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°，
∴BF⊥AC．

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
28．（1）（-1 ，0），（2 ，0）；（2）①F（-3 ，4）；②．
【解析】
（1）由B（0 ，3）知OB=3，由OB=CD，且OD=2OC，知OC=1，OD=2，据此求解即可；
（2）①过点F作FP⊥轴于点P，利用AAS证明△FPB≌△BOC即可求解；
②过点F作FQ⊥BE于点Q，证明FB是∠PBE的角平分线，利用角平分线的性质求解即可．
解：（1）∵B（0 ，3），
∴OB=3，
∵OB=CD，且OD=2OC，
∴OC=1，OD=2，
∴C（-1 ，0），D（2 ，0）；
故答案为：（-1 ，0），（2 ，0）；
（2）①过点F作FP⊥轴于点P，

∵∠PBF=∠BCO，BF=BC，
又∠FPB=∠BOC=90°，
∴△FPB≌△BOC(AAS)，
∴FP=BO=3，PB= OC=1，
∴PO=4，
∴F（-3 ，4）；
②过点F作FQ⊥BE于点Q，
∵∠CBO+∠BCO=90°，∠PBF=∠BCO，
∴∠CBO+∠PBF=90°，则∠CBF=90°，
由折叠的性质得：∠EBC=∠OBC，EB=BO=3，
∴∠EBC +∠EBF=90°，
∴∠EBF=∠PBF，即FB是∠PBE的角平分线，
又FQ⊥BE，FP⊥轴，
∴FQ= FP=3，
∴△BEF的面积为BEFQ=．
本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
29．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）通过HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，即可得解；
（2）根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质证明即可；
（1）证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠CAB＝∠DBA，
∴AO＝BO，
即△OAB是等腰三角形；
（2）解：由（1）得：∠CAB＝∠DBA，
∴AO＝BO，
∵∠CBA＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠DBA＝∠CAB＝90°﹣∠ACB＝30°，
∴∠OBC＝∠CBA﹣∠DBA＝30°，
∴AO＝BO＝2OC，
∵AC＝AO+OC，
∴AC＝3OC．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，准确分析证明是解题的关键．
30．见解析
【解析】
先过点E作EF//AC，交BD延长线与点F，得出△BEF是等边三角形，进而求出△BCE≌△FDE，从而得出CE＝DE.
证明：过点E作EF//AC，交BD延长线与点F

∵EF//AC
∴∠BAC＝∠BEF＝60°，∠ACB＝∠F＝60°
∴△BEF是等边三角形
∴BE＝BF=EF
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC
∴BE－AB＝BF－BC
即AE＝CF
∵BD＝AE
∴BD＝CF
∴BD－CD＝CF－CD
即BC＝DF
在△BCE和△FDE中
，
∴△BCE≌△FDE
∴CE＝DE
此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，解决问题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
31．（1）①见详解；②AF⊥BD，理由见详解；（2）7
【解析】
（1）①根据SAS即可证明△ACE≌△DCB；②延长BD交AF于H，由△ACE≌△DCB，可得∠BDC＝∠EAC，进而得∠AHB＝90°，即可得到结论；
（2）先证明，可得BF=BA，再推出S△DCB= S△ACE=6，设DE=x，列出方程，即可求解．
解：（1）①∵以线段AC为腰作等腰直角△ACD，∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACD＝90°，CA＝CD，
又∵CB＝CE，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
②AF⊥BD，理由如下：
如图，延长BD交AF于H，

∵△ACE≌△DCB，
∴∠BDC＝∠EAC，
∵∠CBD＋∠CDB＝90°，
∴∠CBD＋∠EAC＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴AF⊥BD；
（2）∵BD平分∠ABF，
∴∠ABH=∠FBH，
∵AF⊥BD，
∴∠AHB=∠FHB，
又∵BH=BH，
∴，
∴BF=BA，
∵CD＝3DE，S△ADE，
∴S△ACE×4=6，
∴S△DCB= S△ACE=6，
设DE=x，则CD=3x，CE=x+3x=4x，
∴BC=CE=4x，
∴，解得：x=1（负值舍去），
∴BA=3x+4x=7x=7，
∴BF=7．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△ACE≌△DCB是本题的关键．
32．（1）58°；（2）详见解析
【解析】
（1）根据平行和角平分线，可推导出∠ADC=2∠G，从而得出∠ADC的大小；
（2）证△ABF≌△GCF，从而得出AB=GC，从而证AB=AD+CD．
证明：（1）∵AB∥CD，∴ ∠BAG=∠G, ∠BAD=∠ADC．
∵AF平分∠BAD，∴∠BAD=2∠BAG=2∠G．
∴∠ADC=∠BAD=2∠G ．
∵∠G=29°，∴∠ADC=58°．
（2）∵AF平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG．
∵∠BAG=∠G， ∴∠DAG=∠G．
∴AD=GD．
∵点F是BC的中点，∴BF=CF．
在△ABF和△GCF中，
∵
∴△ABF≌△GCF．
∴AB=GC．
∴AB=GD+CD=AD+CD．
本题考查平行的性质以及三角形全等的证明，解题关键是找出△ABF与△GCF全等的3组条件．
33．（1）见解析；（2）105°
【解析】
（1）根据ASA可证明△ABE≌△CAD；
（2）求出∠BAC＝50°，则求出∠BAD＝75°，可求出答案．
（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAE＝∠ACD，
∵∠ABE＝∠CAD，AB＝AC，
∴△ABE≌△CAD（ASA）；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
又∵∠ABE＝∠CAD＝25°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝50°+25°＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣75°＝105°．
考核知识点：全等三角形的判定和性质.熟记全等三角形的判定是关键.
34．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）要证明△ABC≌△DEF，可以通过已知利用SAS来进行判定，
（2）由（1）可以得到对应角相等，然后利用内错角相等即可证明两直线平行．
证明：（1）∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC即AC＝DF．
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D．
∵AB＝DE，
∴在△ABC和△DEF中
．
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
（2）∵△ABC≌△DEF（已证），
∴∠ACB＝∠DFE．
∴EF∥BC．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
35．（1）135°，（2）见解析，（3）见解析
【解析】
（1）根据角平分线性质可得∠PAB+∠PBA=45°，即可解题.
（2）易得∠DPB=45°，可得∠BPF=135°，即可证得△ABP≌△FBP；
（3）由（2）可知∠F=∠BAD，AP=PF,AB=BF,即可求得∠F=∠CAD，可得AH=DF，即可解题.
（1）∵AD平分∠BAC,BE平分∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=（∠ABC+∠BAC）=45°，
∴∠APB=180°-45°=135°.
（2）∵∠APB=135°.
∴∠DPB=45°，
∵PF⊥AD，
∴∠BPF=135°，
在△ABP和△FBP中
∴△ABP≌△FBP（ASA）
（3）∵△ABP≌△FBP，
∴∠F=∠BAD，AP=PF,AB=BF,
∵∠BAD=∠CAD,
∴∠F=∠CAD，
在△APH和△FPD中
∴△APH≌△FPD（ASA）
∴AH=DF,
∵BF=DF+BD
∴AB=AH+BD
此题主要考查全等三角形判断与性质，解题的关键是熟知全等三角形的证明方法.
36．见解析.
【解析】
欲证明∠F＝∠C，只要证明△ABC≌△DEF(SSS)即可.
证明：，
，
在和中，
，
，
．
本题主要考查全等三角形的判定与性质.
37．（1）证明见解析；（2）3．
【解析】
（1）易由，可证△ABD≌△CFD（ASA）；
（2）由△ABD≌△CFD，得BD=DF，所以BD=BC﹣CD=2，所以AF=AD﹣DF=5﹣2．
（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠ECD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（AAS），
（2）∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∵BC=7，AD=DC=5，
∴BD=BC﹣CD=2，
∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3．

本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键点证明两个三角形全等.
38．见解析
【解析】
先根据直角三角形全等的判定方法证得Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），则BC=EF，即CE=BF．
证明：∵AB⊥CD，DE⊥CF，
∴∠ABC=∠DEF=90°．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
∴BC=EF．
∴BC﹣BE=EF﹣BE．
即：CE=BF．
本题考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（直角三角形）．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
39．(1)见解析
(2)∠BAD＝2∠EAF，理由见解析
(3)这条道路EF的长为米．
【解析】
（1）先证明，得到AE=AG， ∠BAE＝∠GAD， 从而证明∠GAF=∠EAF，可证得出EF＝GF＝GD＋DF即可；
（2）仿照（1）的方法延长CB至M，使BM＝DF，则可通过的相同的方法证明△ABM≌△ADF、△EAF≌△EAM，即可证出；
（3）把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，先通过证明△BAE是等边三角形得出BE＝AB，再利用（2）的结论得到，将BE、DF的值代入即可求出．
(1)
解：延长FD到点G使DG＝BE，连接AG，
如图（1）中，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝∠B＝90°，
在△ABE和△ADG中，，
∴，
∴∠BAE＝∠GAD，AE＝AG，
∴∠GAD＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝90°−45°＝45°，
∴∠GAF=∠EAF=45°，
在△AEF和△AGF中，，
∴，
∴EF＝GF＝GD＋DF＝BE＋DF；
(2)
解：∠BAD＝2∠EAF，
理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，


∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠ABM＝180°，
∴∠D＝∠ABM，
在△ABM和△ADF中，，
∴△ABM≌△ADF，
∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠DAF＋∠BAE＝∠BAM＋∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠EAM，
在△EAF和△EAM中，，
∴△EAF≌△EAM，
∴EF＝EM＝BE＋BM＝BE＋DF，
即EF＝BE＋DF；
(3)
解：如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF．


∵∠BAD＝150°，AE⊥AD，
∴∠BAE＝150°-90°=60°，
又∵∠B＝60°，
∴△BAE是等边三角形，
∴BE＝AB＝80，
∵∠ADC=120°，
∴∠ADC+∠B=120°+60°=180°，
由（2）得，（米），
即这条道路EF的长为米．
本题考查了全等三角形，对于大角中等于其中包含的小角的2倍的问题，可利用题中旋转的方法补全三角形，再通过证明三角形全等的方法求解相关线段．