数学八年级上册第十三章 轴对称综合与测试同步训练题

这是一份数学八年级上册第十三章 轴对称综合与测试同步训练题，共33页。
第13章 轴对称 填空题

1．（2022·广东汕尾·八年级期末）已知点P(-2,1)，则点P关于x轴对称的点的坐标是__．
2．（2022·广东·湛江市坡头区龙头中学八年级期末）如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：①分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点；②作直线．上述作法中满足的条作为___1.（填“”，“”或“”）

3．（2022·广东·可园中学八年级期末）如图，在中，，是边上的高，点、是的三等分点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是______．

4．（2022·广东佛山·八年级期末）点P（3，2）关于y轴的对称点的坐标是_________．
5．（2022·广东广州·八年级期末）点关于y轴对称的点的坐标是______．
6．（2022·广东河源·八年级期末）若点A（1+m，2）与点B（﹣3，1﹣n）关于y轴对称，则m+n的值是___．
7．（2022·广东河源·八年级期末）若点P（2，4）与点B（x，y）关于y轴对称，那么x－y的值为_______．
8．（2022·广东广州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，若BC=4，则BD=_____．

9．（2022·广东阳江·八年级期末）已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为 ___．
10．（2022·广东广州·八年级期末）已知直角坐标系中点和点B(3，b)关于x轴对称，则b-a=_____________．
11．（2022·广东·可园中学八年级期末）如图，等腰△ABC的底边BC的长为2，面积为5，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F．若点D为BC边中点，M为线段EF上一动点，则DM+CM的最小值为_____．

12．（2022·广东珠海·八年级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为_____．
13．（2022·广东汕尾·八年级期末）一个等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长是_________．
14．（2022·广东·深圳第二实验学校八年级期末）如图，为边上一点，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接．若，，则的度数为______．

15．（2022·广东·东莞市光明中学八年级期末）等腰三角形的两条边长分别为8cm和6cm，则它的周长是______cm.
16．（2022·广东东莞·八年级期末）某个等腰三角形的一个角为50°，则它的底角为______．
17．（2022·广东广州·八年级期末）已知等腰三角形的一个内角等于50°，则它的顶角是______°．
18．（2022·广东清远·八年级期末）如图，把一张三角形纸片（△ABC）进行折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为DE，点D，点E分别在AB和AC上，DE∥BC，若∠B＝70°，则∠BDF的度数为____．

19．（2022·广东韶关·八年级期末）若点与点关于轴对称，则__________．
20．（2022·广东东莞·八年级期末）若一条长为24cm的细线能围成一边长等于9cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为_____cm．
21．（2022·广东广州·八年级期末）已知一个等腰三角形一腰与另一腰上高夹角为20°，则这个等腰三角形的顶角为 _____°．
22．（2022·广东阳江·八年级期末）如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝11cm，CF＝3cm，则AC＝_______．

23．（2022·广东肇庆·八年级期末）如图，在ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，若AD＝1，则AB的长为__．

24．（2022·广东东莞·八年级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________．
25．（2022·广东湛江·八年级期末）如图,∠A=30°,∠C'=60°,△ABC与△A’B'C '关于直线l对称,则∠B=___________.

26．（2022·广东韶关·八年级期末）如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________．

27．（2022·广东湛江·八年级期末）等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是__．
28．（2022·广东惠州·八年级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_______．

29．（2022·广东潮州·八年级期末）如图，若∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于_____．

30．（2022·广东东莞·八年级期末）如图：在△ABC中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为___________；

31．（2022·广东广州·八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：①BD平分∠ABC；②D是AC的中点；③AD=BD=BC；④△BDC的周长等于AB+BC．其中正确结论的个数有___________．（只填序号）

32．（2022·广东江门·八年级期末）如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值____．

33．（2022·广东湛江·八年级期末）如图，OP平分，，，，，垂足为D，则________．

34．（2022·广东河源·八年级期末）如图，，，，若，则的长为______．

35．（2022·广东惠州·八年级期末）如图，AB=AC，BD=BC,若∠A=40°，则∠ABD的度数是_________.

36．（2022·广东东莞·八年级期末）如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD=18cm，则△PMN的周长为______cm．

37．（2022·广东江门·八年级期末）若一条长为的细线能围成一边长等于的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为__________．
38．（2022·广东韶关·八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，连接BE．若∠A＝40°，则∠CBE的度数为__．

39．（2022·广东广州·八年级期末）如图，RtABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则AD+DB的长为____．

40．（2022·广东·塘厦初中八年级期末）如图，中，，，D，E分别为AC，AB边上的点，将沿DE翻折，点A恰好与点B重合，若，则______．

41．（2022·广东湛江·八年级期末）小敏设计了一种衣架，如图，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，衣架杆，若衣架收拢时，，则、的距离为_____．

42．（2022·广东中山·八年级期末）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．

43．（2022·广东·塘厦初中八年级期末）如图，中，OD、OE分别是AB、BC边上的垂直平分线，OD、OE交于点O，连接OA、OC，已知，则______．

44．（2022·广东汕头·八年级期末）若△ABC的边AB=6cm，周长为16cm，当边________时，△ABC为等腰三角形．
45．（2022·广东河源·八年级期末）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是____________．

46．（2022·广东·广州市番禺区恒润实验学校八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于________．

47．（2022·广东广州·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．已知∠ADC＝120°，∠ABC＝60°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD＝2AD；③S四边形ABCD＝AC•BD；④点M、N分别在线段AB、BC上，且∠MDN＝60°，则MN＝AM+CN，其中正确的结论有 _____．（填写所有正确结论的序号）

48．（2022·广东广州·八年级期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，AE是中线，两条高BF和CD交于点M，则下列结论中，①BF＝2AF；②∠DMB＝2∠ACD；③AC：AB＝CD：BF；④当点M在AE上时，△ABC是等边三角形．正确的是_____（填序号）．


参考答案：
1．(-2,-1)
【解析】
根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．
点P（﹣2，1），则点P关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣1），
故答案是：（﹣2，﹣1）．
考查了关于x轴对称的对称点，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．
2．＞
【解析】
作图方法为：以，为圆心，大于长度画弧交于，两点，由此得出答案．
解：∵，
∴半径长度，
即．
故答案为：．
本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法．
3．6
【解析】
由图，根据等腰三角形是轴对称图形知，△CEF和△BEF的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半．
解：∵△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，
∴△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴，
∴△CEF和△BEF的面积相等，
∴S阴影=S△ABD，
∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴BD=CD，
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，
∵S△ABC=12cm2，
∴S阴影=12÷2=6cm2．
故答案为：6．
本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现△CEF和△BEF的面积相等是正确解题的关键．
4．（﹣3，2）．
【解析】
解：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n），
所以点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2）．
故答案为（﹣3，2）．
5．
【解析】
根据点坐标关于y轴对称的变换规律即可得．
点坐标关于y轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，
则点关于y轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
本题考查了点坐标规律探索，熟练掌握点坐标关于y轴对称的变换规律是解题关键．
6．1
【解析】
关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同．据此可得m，n的值．
解：∵点A（1+m，2）与点B（-3，1-n）关于y轴对称，
∴，解得：，
∴m+n=2-1=1，
故答案为：1．
本题主要考查了关于y轴的对称点的坐标特点，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）．
7．-6
【解析】
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出x、y的值，再计算即可得解．
解：∵点P（2，4）与点Q（x，y）关于y轴对称，
∴x=-2，y=4，
所以，x-y=-2-4=-6．
故答案为：-6．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
8．2
【解析】
由在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质求解即可求得BD的长．
解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=BC=×4=2．
故答案为：2．
本题考查了等腰三角形的性质．注意等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一．
9．12
【解析】
先证明这个等腰三角形是等边三角形，再求周长即可．
解：∵有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，
∴这个等腰三角形是等边三角形，边长为4，
它的周长为3×4=12，
故答案为：12．
本题考查了等边三角形的判定，解题关键是熟记有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
10．
【解析】
根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得，，再计算的值即可．
解：点和点，点和点关于轴对称，
，，
，
故答案为：．
本题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，解题的关键是掌握点的变化规律．
11．5
【解析】
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为DM+CM的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，MA．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×2×AD＝5，
解得AD＝5，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD（当且仅当A、M、D三点共线时，等号成立），
∴AD的长为DM+CM的最小值，
∴DM+CM的最小值为5．
故答案为5．
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题．能根据轴对称的性质得出MA＝MC，并由此得出MC+DM=MA+DM≥AD是解决此题的关键．
12．或
【解析】
分为“高在三角形内部”和“高在三角形外部”两种情况讨论．
如图1：

∵
∴
如图2：

∵
∴
∴
故答案为：70°或20°．
本题考查了三角的内角和定理，及分类讨论思想，熟知以上知识是解题的关键．
13．22cm
【解析】
因为已知两边长度为4cm和9cm，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，结合三角形三边关系求解即可．
解：①当4cm为底边时，其它两边都为9cm，
4cm、9cm、9cm可以构成三角形，
此时周长为22cm；
②当9cm为腰时，其它两边为4cm和4cm，
∵4＋4＜9，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴它的周长是22cm．
故答案为：22cm．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三条边的关系，主要利用了等腰三角形两腰相等的性质，解题的关键在于分情况讨论．
14．25°
【解析】
利用三角形的内角和定理即可求出∠CAB，利用三角形外角的性质可得∠ADE＋∠AED=50°，最后根据等边对等角即可求出结论．
解：∵，
∴∠CAB=180°－∠B－∠C=50°
∴∠ADE＋∠AED=∠CAB=50°
由题意可知：AD=AE
∴∠ADE=∠AED=×50°=25°
故答案为：25°．
此题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题关键．
15．20或22##22或20
【解析】
解：①腰长为8cm时，
等腰三角形三边长分别为：8cm、8cm、6cm，经检验符合三角形三边关系，此时周长为22cm；
②腰长为6cm时，
等腰三角形三边长分别为：6cm、6cm、8cm，经检验符合三角形三边关系，此时周长为20cm；
所以三角形的周长为20cm或22cm.
故答案为20或22.
题目中出现等腰三角形，若没有明确腰长，则要对腰长进行讨论，确定三角形三条边长后还要检验是否满足三角形三边关系.
16．50°或65°
【解析】
分两种情况讨论：当底角为50°或当顶角为50°时，结合等腰三角形的性质及三角形内角和180°解题．
解：当底角为50°时，
根据等腰三角形两个底角相等，
等腰三角形的另一个底角为50°；
当顶角为50°时，
根据等腰三角形两个底角相等，
等腰三角形的底角为，
故答案为：50°或65°．
本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．50°或80°
【解析】
根据等腰三角形的性质计算即可；
解：∵三角形时等腰三角形，
∴当50°是一个底角时，顶角是；
当50°是顶角时，符合题意；
∴它的顶角是50°或80°．
故答案是50°或80°．
本题主要考查了等腰三角形的性质应用，准确计算是解题的关键．
18．40°
【解析】
利用平行线的性质求出∠ADE＝70°，再由折叠的性质推出∠ADE＝∠EDF＝70°即可解决问题．
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝70°，
由折叠的性质可得∠ADE＝∠EDF＝70°，
∴∠BDF＝180°﹣∠ADE-∠EDF＝40°，
故答案为：40°．
本题综合考查了平行线以及折叠的性质，熟练掌握两性质定理是解答关键．
19．3
【解析】
关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，先求出a、b的值，然后得到答案．
解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴；
故答案为：3．
本题考查了关于x轴对称点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律．
20．9或7.5##7.5或9
【解析】
分9是底边和腰长两种情况，分别列出方程，求解即可得到结果．
解：若9cm为底时，腰长应该是（24-9）=7.5cm，
故三角形的三边分别为7.5cm、7.5cm、9cm，
∵7.5+7.5=15＞9，
故能围成等腰三角形；
若9cm为腰时，底边长应该是24-9×2=6，
故三角形的三边为9cm、9cm、6cm，
∵6+9=15＞9，
∴以9cm、9cm、6cm为三边能围成三角形，
综上所述，腰长是9cm或7.5cm，
故答案为：9或7.5．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
21．70或110
【解析】
根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行分析，画出图形分两种情况讨论即可解决问题．
解：①∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠BDC-∠ABD=90°-20°=70°；

②∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=20°+90°=110°．

故答案为：70或110．
此题主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，熟练掌握这两个定理是解决问题的关键．
22．14cm
【解析】
由AE＝BE，DE是AB的垂线得出DE是AB的中线，进而可得DE是AB的垂直平分线，由此即可得到AF＝BF，再根据线段的和差即可得解．
解：∵AE＝BE，DE是AB的垂线，
∴DE是AB的中线，
∴DE是AB的垂直平分线，
∵F为DE上一点，
∴AF＝BF，
∴AC＝AF+CF＝BF+CF，
∵BF＝11cm，CF＝3cm，
∴AC＝14cm，
故答案为：14cm．
此题考查了等腰三角形的三线合一以及垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一以及垂直平分线的性质是解此题的关键．
23．
【解析】
根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得斜边长．
解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝2，
∴
故答案为：．
本题考查了直角三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．60°或120°
【解析】
分别从△ABC是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
解：如图（1），
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=30°，
∴∠A=60°；
如图（2），
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵∠ABD=30°，
∴∠BAD=60°，
∴∠BAC=120°；
综上所述，它的顶角度数为：60°或120°．

此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
25．90°
【解析】
先根据轴对称的性质得出△ABC≌△A′B′C′，由全等三角形的性质可知∠C=∠C′，再由三角形内角和定理可得出∠B的度数．
∵△ABC 与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C=∠C′=60°，
∵∠A=30°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-30°-60°=90°．
故答案为90°．
26．8
【解析】
连接AD，AM，由EF是线段AB的垂直平分线，得到AM=BM，则△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，故当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．
解：如图所示，连接AD，AM，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，
∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，
∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，，
∴，
∴AD=6，
∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，
故答案为：8．

本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．
27．22
【解析】
等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；
解：因为4+4=8