八年级上册第十三章 轴对称综合与测试课时训练

这是一份八年级上册第十三章 轴对称综合与测试课时训练，共85页。试卷主要包含了如图，在中，，，求和的度数，已知，如图，在△ABC中，∠A＞∠B等内容，欢迎下载使用。

第13章 轴对称 解答题

1．（2022·广东肇庆·八年级期末）如图，已知ABC，以A为圆心，AC为半径画弧与BC相交于另一点E．
（1）用尺规作图的方法，作出ABC的高AD（垂足为D）．
（2）求证：ED＝CD．

2．（2022·广东东莞·八年级期末）如图，在中，，，求和的度数．

3．（2022·广东梅州·八年级期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（，5），（，3）．
⑴请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
⑵请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
⑶写出点B′的坐标．

4．（2022·广东东莞·八年级期末）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，连接CD，BE交于点F．

求证：（1）∠BFC＝120°；
（2）FA平分∠DFE．
5．（2022·广东东莞·八年级期末）已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形．

6．（2022·广东河源·八年级期末）如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．

7．（2022·广东汕尾·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）．
（1）作出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'；
（2）写出点A'，B'，C'的坐标；
（3）在y轴上找一点P，使PA+PC的长最短．

8．（2022·广东广州·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB且AD＝AB＝CD，连接AC．


(1)尺规作图：作∠ADC的平分线DE交AC于点E；（保留作图痕迹，不写作法．）
(2)在（1）的基础上，若AC⊥BC，求证：DE＝2BC．
9．（2022·广东·塘厦初中八年级期末）如图，，，E为BC中点，DE平分．

（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）求证：．
10．（2022·广东·深圳市高级中学八年级期末）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 ：     A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．

（1）△ABC的面积是　 　．
（2）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，画△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．
（3）若以D、B、C为顶点的三角形与△ABC全等，请画出所有符合条件的△DBC（点D与点A重合除外），并直接写出点D的坐标．
11．（2022·广东江门·八年级期末）如图，已知中，，，AC边上的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于E．

(1)的度数；
(2)若，求AB的长．
12．（2022·广东深圳·八年级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，和．

（1）已知点关于轴的对称点的坐标为，求，的值；
（2）画出，且的面积为 ；
（3）画出与关于轴成对称的图形，并写出各个顶点的坐标．
13．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，已知点的坐标是．

（1）点的坐标是______；
（2）画出关于轴对称的，其中点、、的对应点分别为点、、；
（3）直接写出的面积为______．
14．（2022·广东韶关·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．


(1)作线段AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E；（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)连接AD，求∠ADB的度数．
15．（2022·广东云浮·八年级期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
16．（2022·广东汕尾·八年级期末）如图，，，，，垂足为．

（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积；
（3）求的度数．
17．（2022·广东·东莞市光明中学八年级期末）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN．

（1）当∠BAM＝　 　°时，AB＝2BM；
（2）请添加一个条件：　 　，使得△ABC为等边三角形；
①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC；
②如图2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其它条件不变（△ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明．
18．（2022·广东湛江·八年级期末）已知△ABC是等边三角形，延长BA到点E，延长BC到点D，使得AE＝BD，连接CE，DE，求证：CE＝DE

19．（2022·广东潮州·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 已知AD=2cm，BC=5cm.
（1）求证：FC=AD；
（2）求AB的长.       

20．（2022·广东东莞·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAD=40°,AD=AE，求∠CDE的度数．

21．（2022·广东广州·八年级期末）如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A（﹣4，1）B（﹣3，3）C（﹣1，2）
（1）作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（2）在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标．

22．（2022·广东潮州·八年级期末）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．
（1）求作∠ABC的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠ABC的平分线分别交AD，AC于P，Q两点，证明：AP=AQ．

23．（2022·广东湛江·八年级期末）如图，等边△ABC的边长为12cm，点P、Q分别是边BC、CA上的动点，点P、Q分别从顶点B、C同时出发，且它们的速度都为3cm/s．
（1）如图1，连接PQ，求经过多少秒后，△PCQ是直角三角形；
（2）如图2，连接AP、BQ交于点M，在点P、Q运动的过程中，∠AMQ的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数．

24．（2022·广东河源·八年级期末）如图，为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．


(1)求证：BE＝AD；
(2)求AD的长．
25．（2022·广东惠州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，A(﹣3，2)，B(﹣4，﹣3)，C(﹣1，﹣1)．

（1）在图中作出关于y轴对称的；
（2）写出点的坐标（直接写答案）；
（3）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
26．（2022·广东惠州·八年级期末）如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2﹣2ab+b2=0．
（1）判断△AOB的形状；
（2）如图②，△COB和△AOB关于y轴对称，D点在AB上，点E在BC上，且AD=BE，试问：线段OD、OE是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明；
（3）将（2）中∠DOE绕点O旋转，使D、E分别落在AB，BC延长线上（如图③），∠BDE与∠COE有何关系？直接说出结论，不必说明理由．

27．（2022·广东阳江·八年级期末）如图，P是内一点，于点A，于点B，连接，．求证：平分．

28．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若点A的坐标为，按要求回答下列问题：
（1）在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出点B和点C的坐标；
（2）作出关于x轴对称的图形．（不用写作法）

29．（2022·广东广州·八年级期末）如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．

（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BM=EM．
30．（2022·广东珠海·八年级期末）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，△ACD是等边三角形，E为△ABC内一点，AC=CE，∠BAE=15°，AD与CE相交于点F．
（1）求∠DFE的度数；
（2）求证：AE=BE．

31．（2022·广东·可园中学八年级期末）已知：如图，点P是等边△ABC内一点，连接PC，以PC为边作等边三角形△PDC，连接PA，PB，BD．

（1）求证：∠APC＝∠BDC；
（2）当∠APC＝150°时，试猜想△DPB的形状，并说明理由；
（3）当∠APB＝100°且DB＝PB，求∠APC的度数．
32．（2022·广东汕尾·八年级期末）如图，，，点，分别为线段，上的动点，且．

(1)当时，求证：；
(2)连接，判断的形状，并作证明；
(3)当的长度为定值时，四边形的面积是否为定值？请说明理由．
33．（2022·广东汕头·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，D为AH上一点，且BD=AC，直线BD与AC交于点E，连接EH．

(1)求证：DH=CH；
(2)判断BE与AC的位置关系，并证明你的结论；
(3)求∠BEH的度数．
34．（2022·广东佛山·八年级期末）如图，∠ABC的平分线BE交AC于点E，点D在AB上，且DB＝DE．


(1)求证：DEBC；
(2)若∠A＝36°，AB＝AC，求∠BEC的度数．
35．（2022·广东·湛江市坡头区龙头中学八年级期末）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，将一块足够大的三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按图示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．
（1）当PN∥BC时，∠ACP＝ °
（2）当α＝15°时，求∠ADN的度数．
（3）在点P滑动的过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请求出α的大小．

36．（2022·广东广州·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E．

(1)求∠CAD的大小；
(2)若BC＝3，求DE的长．
37．（2022·广东佛山·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，1），C（﹣3，2），D（﹣1，2）．
（1）在图中画出四边形ABCD；
（2）在图中画出四边形ABCD关于x轴的对称图形A1B1C1D1，并分别写出点A、C的对应点A1、C1的坐标．

38．（2022·广东广州·八年级期末）已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．


(1)直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；
(2)求证：BD＝PC；
(3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
39．（2022·广东深圳·八年级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为、、的三角形是“完美三角形”．

（1）如图1，，在射线上找一点，过点作交于点．　　，　　（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）如图2，∠BDC为钝角，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取一点，使，，若是“完美三角形”，求的度数．
40．（2022·广东东莞·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE.
（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD＝CE
（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F）

41．（2022·广东珠海·八年级期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为（1 ，3），点B坐标为（2 ，1）；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标为 　 　；
（3）P为y轴上一点，当PB+PC的值最小时，P点的坐标为 ．

42．（2022·广东云浮·八年级期末）如图，点在射线上运动，与都是以点为直角顶点的等腰直角三角形．

(1)在图1中证明：①；②；
(2)如图2，当点在的延长线上时，若，，的面积为，试求出与之间的关系式．
43．（2022·广东阳江·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在边长为1的正方形方格的格点上．
（1）写出点A，B，C的坐标：A______，B_______，C______．
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（3）△A1B1C1的面积为_______．

44．（2022·广东中山·八年级期末）如图，AB，CD相交于点E且互相平分，F是BD延长线上一点，若，求证：．

45．（2022·广东广州·八年级期末）我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．如图，△ABC中，AB＝AC且∠A＝36°，则△ABC为黄金三角形．

(1)尺规作图：作∠B的角平分线，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)请判断△BDC是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
46．（2022·广东汕尾·八年级期末）如图，在等腰中，，为边上的高线，延长得射线．

(1)尺规作图，作的角平分线；
(2)求证：．
47．（2022·广东东莞·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长交y轴于点E．

（1）求证：△OBC≌△ABD．
（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．
（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
48．（2022·广东中山·八年级期末）如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．

(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．
49．（2022·广东广州·八年级期末）已知ABC中，∠B＝∠C＝α．

(1)尺规作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
①作∠EAC的平分线AD；
②在AD上作点P，使ACP是以AC为底边的等腰三角形，并求出∠APC的度数（用含α的式子表示）；
(2)在（1）所作的AD上是否存在着另外的点P，使ACP也为等腰三角形，若有，请直接用含α的式子表示∠APC的大小；若没有，请说明理由．
50．（2022·广东揭阳·八年级期末）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题：

(1)作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1的顶点坐标．
(2)求△A1B1C1的面积．
51．（2022·广东广州·八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)、B(b，0)且a、b满足．

(1)求证：∠OAB＝∠OBA；
(2)若BC⊥AC，求∠ACO的度数；
(3)如图2，若D是AO的中点，DEBO，F在线段AB的延长线上，∠EOF＝45°，连接EF，试探究OE和EF的关系．
52．（2022·广东广州·八年级期末）已知△ABC为等边三角形，边长为8，点D，E分别是边AB，BC上的动点，以DE为边作等边三角形DEF．

(1)如图1，若点F落在边AC上．
①求证：AD＝BE；
②当△BDE为直角三角形时，求BE的长．
(2)如图2，当AD＝2BE时，点G为BC边的中点，求GF的最小值．
53．（2022·广东韶关·八年级期末）已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点．

(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：是等边三角形．
54．（2022·广东广州·八年级期末）△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A′BD．


(1)如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝　 　．
(2)如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．
①试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②若BP＝10，CP＝m，求CA′的长．（用含m的式子表示）
55．（2022·广东·肇庆市华南师范大学附属肇庆学校八年级期末）已知；如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．E是线段AD上一点（点E不与点A点D重合），满足∠ABE＝2∠ACE．


(1)如图2，若∠ACE＝18°，且EA＝EC，则∠DEC＝　 　∠AEB＝　 　．
(2)求证：AB+BE＝AC．
(3)如图3，若BD＝BE，请直接写出∠ABE和∠BAC的数量关系．
56．（2022·广东广州·八年级期末）如图，∠ACD是等边△ABC的一个外角，点E是∠ACD内部任意一点，作直线CE．

(1)当CE平分∠ACD时，证明：AB∥CE．
(2)已知点A关于直线CE的对称点为F，连接AF、BF、CF，其中AF、BF分别交直线CE于P、Q两点．记∠ACE＝α，当0＜α＜60°时，求∠BFC，（用含α的式子表示）
(3)若（2）中的α满足0°＜α＜120°时，
①∠AFB＝　 　°；
②探究线段QB、QC、QP之间的数量关系，并证明．
57．（2022·广东汕头·八年级期末）如图（1），已知△ABC和△AED均为等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC＝∠EAD．

(1)求证：CD=BE；
(2)将△ABC绕点A旋转到如图（2）的位置，（1）中的结论仍然成立吗？证明你的结论；
(3)如图（2），连结EC，若点P是EC的中点，连结PB并延长至点F，使CF＝CD．求证：∠EBP＝∠BFC．
58．（2022·广东潮州·八年级期末）如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°．
（1）求证：OB=DC；
（2）求∠DCO的大小；
（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．


参考答案：
1．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）利用基本作图，过A点作BC的垂线；
（2）根据等腰三角形的”三线合一“进行证明．
（1）解：如图，AD为所作；

作法如下：
分别以为圆心，以大于长为半径，作弧，相较于点，连接，并延长，交于点；
（2）证明：由作法得AC＝AE，
∴△ACE为等腰三角形，
∵AD⊥CE，
∴
又∵
∴
∴ED＝CD．
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的证明，熟练掌握基本作图方法和全等三角形的证明方法是解题的关键．
2．∠B＝77°，∠C＝
【解析】
根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B和∠ADB的度数，利用三角形外角性质即可求出∠C的度数．
解：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣26°）＝77°，
∵AD＝DC，
∴∠C=∠DAC，
∴∠C＝∠ADB＝×77°＝．
本题考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握等边对等角、三角形三个内角和等于180°和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题关键．
3．⑴⑵如图，⑶B′(2,1)

【解析】
（1）易得y轴在C的右边一个单位，x轴在C的下方3个单位；
（2）作出A，B，C三点关于y轴对称的三点，顺次连接即可；
（3）根据所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标．
解：
（1）如图；
（2）如图；

（3）点B′的坐标为（2，1）．
4．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）利用△ABD、△AEC都是等边三角形，求证△DAC≌△BAE，根据全等三角形的性质解答即可；
（2）过点A作AH⊥DC，AG⊥BE，垂足分别为H、G．首先证明△DAH≌△BAG，依据全等三角形的性质得到AH=AG，最后依据到角两边距离相等的点在角的平分线上．
证明：（1）∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ABE=∠ADC，
令AB与DC的交点为G，
∵∠BGD=∠ABE+∠BFG，∠BGD=∠ADC+∠DAG，
∴∠ABE+∠BFG=∠ADC+∠DAG，
∴∠BFG=∠DAG=60°，
∴∠BFC=180°-∠BFG=120°；
（2）过点A作AH⊥DC，AG⊥BE，垂足分别为H、G．

∵AH⊥DC，AG⊥BE，
∴∠DHA=∠BGA=90°．
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE．
在△DAH和△BAG中，
∴△DAH≌△BAG．
∴AH=AG．
又∵AH⊥DC，AG⊥BE，
∴FA为∠DFE的角平分线．
本题主要考查的是等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、角平分线的判定，掌握本题辅助线的做法是解题的关键．
5．见解析
【解析】
根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE=∠BAD，等量代换得到∠ADE=∠CAD于是得到结论．
解：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是底边BC上的中线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠ADE=∠CAD，
∴AE=ED，
∴△AED是等腰三角形．
本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
6．（1）见解析；（2）100°
【解析】
（1）利用基本作作图，作线段AB的垂直平分线即可；
（2）根据线段的垂直平分线的性质得AE＝BE，则∠EAB＝∠B＝50°，然后根据三角形外角性质计算∠AEC的度数．
解：（1）如图，DE为所作；

（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠B=50°，
∵∠AEC=∠EAB+∠B，
∴∠AEC=50°+50°=100°．
本题考查作垂直平分线，以及垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的画法，熟练运用垂直平分线的性质是解题关键．
7．（1）见解析；（2）A′（1，5），B′（1，0），C′（4，3）；（3）见解析
【解析】
（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再收尾顺次连接即可得；
（2）根据△A'B'C'各顶点的位置，写出其坐标即可；
（3）连接PC，则PC=PC′，根据两点之间线段最短，可得PA+PC的值最小．
解：（1）如图所示，△A′B′C′为所求作；

（2）由图可得，A′（1，5），B′（1，0），C′（4，3）；
（3）如图所示，连接AC′，交y轴于点P，则点P即为所求作．
本题主要考查了利用轴对称变换作图以及最短距离的问题，解题时注意：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，运用轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
8．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明△DEA≌△ACB（AAS），推出DE＝AC，AE＝BC，可得结论．
(1)
解：如图，射线AE即为所求．


(2)
证明：∵DA＝DC，DE平分∠ADC，
∴AE＝EC，DE⊥AC，
∴AC＝2AE，
∵AD⊥AB，AC⊥CB，
∴∠AED＝∠DAB＝∠ACB＝90°，
∴∠DAE+∠BAC＝90°，∠BAC+∠B＝90°，
∴∠DAE＝∠B，
在△DEA和△ACB中，
，
∴△DEA≌△ACB（AAS），
∴DE＝AC，AE＝BC，
∴DE＝2BC．
本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）延长DE交AB延长线于F，由∠B=∠C=90°，推出AB∥CD，则∠CDE=∠F，再由DE平分∠ADC，即可推出∠ADF=∠F，得到AD=AF，即△ADF是等腰三角形，然后证明△CDE≌△BFE得到DE=FE，即E是DF的中点，即可证明AE平分∠BAD；
（2）由（1）即可用三线合一定理证明；
（3）由△CDE≌△BFE，得到CD=BF，则AD=AF=AB+BF=AB+CD．
解：（1）如图所示，延长DE交AB延长线于F，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠CDE=∠F，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE，
∴∠ADF=∠F，
∴AD=AF，
∴△ADF是等腰三角形，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴DE=FE，
∴E是DF的中点，
∴AE平分∠BAD；

（2）由（1）得△ADF是等腰三角形，AD=AF，E是DF的中点，
∴AE⊥DE；
（3）∵△CDE≌△BFE，
∴CD=BF，
∴AD=AF=AB+BF=AB+CD．
本题主要考查了平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
10．（1）7. 5；（2）图见解析，A1（2，3）；（3）图见解析，D（﹣2，﹣3）或（﹣5，3）或（﹣5，﹣3）．
【解析】
（1）利用三角形的面积公式即可求解；
（2）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置；
（3）直接利用全等三角形的性质作图即可得出对应点位置．
解：（1）△ABC的面积为
故答案为：7. 5；
（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1（2，3）；
（3）如图所示：D（﹣2，﹣3）或（﹣5，3）或（﹣5，﹣3）．

此题主要考查了轴对称变换以及全等三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键．
11．(1)60°
(2)12
【解析】
（1）根据含30度角的直角三角形的性质和垂直平分线的性质解答即可；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质解答即可．
(1)
∵AC边上的垂直平分线是DE，
∴CD=AD，DE⊥AC，
∴∠A=∠DCA=30°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACB-∠DCA=90°-30°=60°，
(2)
∵∠B=60°
∴∠BCD=∠B=60°
∴BD=CD，
∴BD=CD=AD= AB，
∵DE=3，DE⊥AC，∠A=30°，
∴AD=2DE=6，
∴AB=2AD=12．
此题考查含30度角的直角三角形的性质，关键是根据含30度角的直角三角形的性质和垂直平分线的性质解答．
12．（1），；（2）作图见详解；13；（3）作图见详解；，，．
【解析】
（1）利用关于x轴的对称点的坐标特点（横坐标不变，纵坐标互为相反数）直接写出答案即可；
（2）先确定A、B、C点的位置，然后顺次连接，最后运用割补法计算三角形面积即可；
（3）先确定A、B、C三点关于y轴对称的对称点位置，然后顺次连接即可；最后直接写出三个点的坐标即可．
解：（1）∵点关于x轴的对称点P的坐标为，
∴，；
（2）如图：即为所求，

，
故答案为：13；
（3）如图：A、B、C点关于y轴的对称点为：，，，顺次连接，
∴即为所求
，，．
此题主要考查了轴对称变换的作图题，确定组成图形关键点的对称点是解答本题的关键．
13．（1）；（2）见解析；（3）12
【解析】
（1）根据平面直角坐标系写出点的坐标即可；
（2）找到点关于轴对称的对应点，顺次连接，则即为所求；
（3）根据正方形的面积减去三个三角形的面积即可求得的面积
（1）根据平面直角坐标系可得的坐标为，
故答案为：
（2）如图所示，找到点关于轴对称的对应点，顺次连接，则即为所求；

（3）的面积为
故答案为：
本题考查了坐标与图形，轴对称的性质与作图，掌握轴对称的性质是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)∠ADB=60°．
【解析】
（1）利用尺规作出线段AC的垂直平分线即可；
（2）先求出AD=CD，得出∠DAC=∠C=30°，求出AD=CD，进而利用三角形的外角可得∠ADB的度数．
(1)
解：线段AC的垂直平分线如图所示：
,
(2)
解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠C=∠B=30°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠C=30°，
∴∠ADB=30°+30°=60°．
本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及含30°的直角三角形的性质；利用线段垂直平分线得出线段相等、角相等是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)3
【解析】
（1）根据AAS可证明．
（2）根据，得出AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，求出AC＝5，则AE可求出．
(1)
证明：∵，
∴．
又∵，，
∴（AAS）．
(2)
解：∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
16．（1）见解析；（2）50；（3）135°
【解析】
（1）由题意先求出∠BAC=∠EAD，然后根据SAS推出△ABC≌△ADE；
（2）根据题意即可推出四边形ABCD的面积=△ACE的面积，进而分析计算即可得出答案；
（3）根据题意可推出∠CAF=45°，再根据∠EAF＝∠FAC＋∠CAE即可求出∠FAE的度数．
（1）证明：，
，，
，
在和中，
，
．
解:（2），
，
，
，
．
（3），，
，
，
，
，
，
．

本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
17．（1）30；（2）AB＝AC；①证明见解析；②CN-CM=AC，理由见解析
【解析】
（1）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）利用含一个60°角的等腰三角形是等边三角形的判定解答；①利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明△BAM≌△CAN，从而利用全等三角形的性质求解；②利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明△BAM≌△CAN，从而利用全等三角形的性质求解．
解：（1）当∠BAM＝30°时，
∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AB＝2BM；
故答案为30；
（2）∵在△ABC中，∠B=60°
∴当AB=AC时，可得可得△ABC为等边三角形；
故答案为AB＝AC；
①如图1中，

∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC=BC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM与△CAN中， ，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN；
∴AC=BC=BM+CM=CM+CN
即CN+CM＝AC；
②CN-CM=AC，
理由：如图2中，

∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，
∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，
即∠BAM＝∠CAN，
在△BAM与△CAN中， ，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM＝CN
∴AC=BC=BM-CM=CN-CM
即CN-CM=AC
本题考查含30°角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，熟练掌握基本知识点是解题关键.
18．见解析
【解析】
先过点E作EF//AC，交BD延长线与点F，得出△BEF是等边三角形，进而求出△BCE≌△FDE，从而得出CE＝DE.
证明：过点E作EF//AC，交BD延长线与点F

∵EF//AC
∴∠BAC＝∠BEF＝60°，∠ACB＝∠F＝60°
∴△BEF是等边三角形
∴BE＝BF=EF
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC
∴BE－AB＝BF－BC
即AE＝CF
∵BD＝AE
∴BD＝CF
∴BD－CD＝CF－CD
即BC＝DF
在△BCE和△FDE中
，
∴△BCE≌△FDE
∴CE＝DE
此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，解决问题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
19．（1）证明见解析 ；（2）AB=7cm.
【解析】
试题分析：（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可．
试题解析：（1）∵AD∥BC
∴∠ADC=∠ECF ，
∵E是CD的中点，
∴DE=EC ，
∵在△ADE与△FCE中， ，
∴△ADE≌△FCE(ASA) ，
∴FC=AD ；
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF ，
∵BE⊥AE ，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF ，
∴AB=BC+AD=5+2=7(cm).
20．20°
【解析】
试题分析：根据等腰三角形三线合一性质可得到AD同时还是顶角的角平分线和底边的高线，从而可求得∠CAD与∠ADC的度数，再根据AD=AE，利用三角形内角和定理可求得∠ADE的度数，从而不难求解．
试题解析：解：∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠CAD=∠BAD=40°，∠ADC=90°
又∵AD="AE"
∴∠ADE==70°
∴∠CDE=90°—70°=20°
考点：等腰三角形的性质，三角形内角和
21．（1）见解析；（2）P（﹣3，0）．
【解析】
（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；
（2）作点A关于x轴的对称点A″，再连接A″C交x轴于点P．
（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；


（2）作点A关于x轴的对称点A″，再连接A″C交x轴于点P，其坐标为（﹣3，0）．
本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及最短路线问题．
22．(1)见解析；(2)见解析.
【解析】
（1）作出角平分线BQ即可．
（2）根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ=90°，根据角平分线的性质得出∠ABQ=∠PBD，再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP，据此可得出结论．
（1）BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．
（2）∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BPD+∠PBD=90°．
∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°．
∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP．
∵∠BPD=∠APQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ．

23．（1）经过秒或秒，△PCQ是直角三角形（2）∠AMQ的大小不变
【解析】
（1）分两种情形分别求解即可解决问题；
（2）由△AB≌△BCQ（SAS），推出∠BAP＝∠CBQ，可得∠AMQ＝∠PAB+∠ABQ＝∠CBQ+∠ABQ＝∠ABC＝60°即可．
（1）设经过t秒后，△PCQ是直角三角形．
由题意：PC＝（12﹣3t）cm，CQ＝3t，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
当∠PQC＝90°时，∠QPC＝30°，
∴PC＝2CQ，
∴12﹣3t＝6t，
解得t＝；
当∠QPC＝90°时，∠PQC＝30°，
∴CQ＝2PC，
∴3t＝2（12﹣3t），
解得t＝，
∴经过秒或秒，△PCQ是直角三角形；
（2）结论：∠AMQ的大小不变．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，
∵点P，Q的速度相等，
∴BP＝CQ，
在△ABP和△BCQ中，
，
∴△AB≌△BCQ（SAS），
∴∠BAP＝∠CBQ，
∴∠AMQ＝∠PAB+∠ABQ＝∠CBQ+∠ABQ＝∠ABC＝60°．
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
24．（1）见解析；（2）7
【解析】
（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定可证得△ABE≌△CAD（SAS），再根据全等三角形的性质可证得结论；
（2）根据全等三角形的性质和三角形的外角性质可证得∠BPQ=60°，再根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半可得BP=2PQ，即可求解．
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC，又AE=CD，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD；
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABP=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABP+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，又PQ=3，
∴BP=2PQ=6，又PE=1，
∴BE=BP+PE=6+1=7，
∴AD=BE=7．
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、含30°角的直角三角形的性质，属于三角形的基础题，难度适中，熟练掌握全等三角形的判定与性质，熟知直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半是解答的关键．
25．（1）图见解析；（2）；（3）图见解析．
【解析】
（1）先根据轴对称的性质分别描出点，再顺次连接即可得；
（2）根据点坐标关于y轴对称的变化规律即可得；
（3）先根据轴对称的性质可得，再根据两点之间线段最短即可得．
（1）先根据轴对称的性质分别描出点，再顺次连接即可得到，如图所示：
（2）点坐标关于y轴对称的变化规律：横坐标变为相反数，纵坐标不变

；
（3）由轴对称的性质得：
则
由两点之间线段最短得：当三点共线时，取得最小值，最小值为
如图，连接，与y轴的交点P即为所求．

本题考查了画轴对称图形、点坐标关于y轴对称的变化规律、两点之间线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
26．（1）△AOB为等腰直角三角形；（2）OD⊥OE，证明见解析；（3）∠BDE与∠COE互余．
【解析】
（1）根据a2﹣2ab+b2=0，可得a=b，又由∠AOB=90°，所以可得出△AOB的形状；
（2）OD=OE，OD⊥OE，通过证明△OAD≌△OBE可以得证；
（3）由∠DEB+∠BEO=45°，∠ACB=∠COE+∠BEO=45°，得出∠DEB=∠COE，根据三角形外角的性质得出∠ABC=∠BDE+∠DEB=90°，从而得出∠BDE+∠COE=90°，所以∠BDE与∠COE互余．
解：（1）∵a2﹣2ab+b2=0．
∴（a﹣b）2=0，
∴a=b，
又∵∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形；
（2）OD=OE，OD⊥OE，理由如下：
如图 ②，∵△AOB为等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∵BO⊥AC，
∴∠DAO=∠EBO=45°，BO=AO，
在△OAD和△OBE中，

△OAD≌△OBE（SAS），
∴OD=OE，∠AOD=∠BOE，
∵∠AOD+∠DOB=90°，
∴∠DOB+∠BOE=90°，
∴OD⊥OE；
（3）∠BDE与∠COE互余，理由如下：
如图③，∵OD=OE，OD⊥OE，
∴△DOE是等腰直角三角形，
∴∠DEO=45°，
∴∠DEB+∠BEO=45°，
∵∠ACB=∠COE+∠BEO=45°，
∴∠DEB=∠COE，
∵∠ABC=∠BDE+∠DEB=90°，
∴∠BDE+∠COE=90°
∴∠BDE与∠COE互余．
27．证明见解析
【解析】
根据“等角对等边”得出PA=PB，再结合角平分线的判定定理即可证明．
解∵，
∴．
∵于点A，于点B，
∴P在的角平分线上，
∴平分．
本题考查角平分线的判定定理，等腰三角形等角对等边．掌握在角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题关键．
28．（1）点B和点C的坐标分别为，；（2）见解析.
【解析】
（1）根据点A的坐标为（0，3），即可建立正确的平面直角坐标系，观察建立的直角坐标系即可得出答案；
（2）分别作点A，B，C关于x轴的对称点A′，B′，C′，连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求．
（1）建立平面直角坐标系如图所示．


点B和点C的坐标分别为，．
（2）如图所示．
本题考查了利用轴对称变换作图，熟悉网格结构并找出对应点的位置是解题的关键．.
29．（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）要证BM=EM可证BD=DE，根据三线合一得出BM=EM．
（1）解：作图如下；

（2）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点
∴BD平分∠ABC（三线合一）
∴∠ABC=2∠DBE
∵CE=CD
∴∠CED=∠CDE
又∵∠ACB=∠CED+∠CDE
∴∠ACB=2∠E
又∵∠ABC=∠ACB
∴2∠DBC=2∠E
∴∠DBC=∠E
∴BD=DE
又∵DM⊥BE
∴BM=EM．
30．（1）∠DFE=90°；（2）见解析
【解析】
（1）先求得∠BAD=30°，∠BAE=∠EAD=15°，即可求得∠EAC=75°，由AC=CE，可求得∠EAC=∠AEC=75°，即可求得∠DFE=90°；
（2）在Rt△AFC中，求得∠FCA=30°，AC=2AF=AB，过点E作EG⊥AB于点G，求得AG=AF，得到BG=AG，即可得到△ABF为等腰三角形，即可证明AE=BE．
解：（1）∵△ACD是等边三角形，
∴∠CAD=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD=90°-60°=30°，
∵∠BAE=15°，
∴∠BAE=∠EAD=15°，
∴∠EAC=90°-15°=75°，
∵AC=CE，
∴∠EAC=∠AEC=75°，
∴∠DFE=∠EAD+∠AEC=15°+75°=90°；
（2）由（1）得∠DFE=90°，即∠AFC=∠AFE=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，△ACD是等边三角形，
∴∠CAD=60°，AB=AC，
∴∠FCA=30°，
∴AC=2AF，即AB=2AF，
过点E作EG⊥AB于点G，
∵∠BAE=∠EAD=15°，且∠EFA=90°，EG⊥AB，
∴EG=EF，又AE= AE，
∴Rt△EAG≌Rt△EAF(HL)，
∴AG=AF，
∴AB=2AG，
∴BG=AG，又EG⊥AB，
∴△ABF为等腰三角形，
∴AE=BE．

本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
31．（1）见解析；（2）△DPB是直角三角形，理由见解析；（3）∠APC＝130°
【解析】
（1）由“SAS”可证△ACP≌△BCD，可得∠APC＝∠BDC；
（2）由全等三角形的性质可得∠BDC＝∠APC＝150°，∠PDC＝60°，可得∠BDP＝90°，即可求解；
（3）设∠APC＝x，由周角的性质和等边三角形的性质可得∠BPD＝200°﹣x，∠BDP＝x﹣60°，由等腰三角形的性质可列方程，即可求解．
（1）如图，∵△ABC，△PDC是等边三角形，
∴AC＝BC，PC＝PD＝CD，∠ACB＝∠PCD＝60°，
∴∠ACB-∠PCB＝∠PCD-∠PCB
∴∠ACP＝∠BCD，
∵AC＝BC，PC＝CD，
∴△ACP≌△BCD（SAS）
∴∠APC＝∠BDC；
（2）△DPB是直角三角形．
理由：∵∠BDC＝∠APC＝150°，∠PDC＝60°
∴∠BDP＝∠BDC﹣∠PDC＝90°，
∴△DPB是直角三角形；
（3）设∠APC＝x，则∠BPD＝=360°-100°-60°-x=200°﹣x，∠BDP＝x﹣60°
∵PB＝DB，
∴∠BPD＝∠BDP，
∴200°﹣x＝x﹣60°，
∴x＝130°，
∴∠APC＝130°
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，由角的数量关系列出方程是本题的关键.
32．(1)见解析
(2)等边三角形，见解析
(3)是定值，见解析
【解析】
（1）连接，可证是等边三角形，再由等边三角形的三线合一即可得证；
（2）由是等边三角形，可得，由是等边三角形，可得．由ASA可证得和全等，从而，即可证明是等边三角形；
（3）由，可得面积相等，故，当的长度为定值时，的面积为定值，四边形的面积也为定值．
(1)
证明：连接．

∵，，
∴是等边三角形．
∵，
∴．
(2)
解：是等边三角形，理由如下：

∵是等边三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
在和中，
∴（ASA）．
∴，
∴是等边三角形．
(3)
解：四边形的面积是定值，理由如下：
∵，
∵
∴当的长度为定值时，的面积为定值，四边形的面积也为定值．
本题考查了全等三角形和等边三角形的判定和性质，难度不大，注意这些知识的综合应用．
33．(1)证明见解析
(2) 理由见解析
(3)
【解析】
（1）先证明再证明再利用证明利用全等三角形的性质可得结论；
（2）先证明 再证明 结合 可得 则 于是可得结论；
（3）如图，过作交于 证明 再证明 可得 而 从而可得答案.
(1)
证明： AH⊥BC，∠ABC＝45°，





(2)
解： 理由如下：



而



(3)
解：如图，过作交于

即




而

本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键.
34．(1)见解析
(2)72°
【解析】
（1）由角平分线的性质推出∠ABE=∠CBE，由等边对等角求出∠ABE=∠DEB，得到∠DEB =∠CBE，即可推出结论；
（2）根据等腰三角形的等边对等角的性质求出∠ABC和∠C的度数得到∠CBE的度数，利用三角形内角和定理求出∠BEC．
(1)
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵DB＝DE．
∴∠ABE=∠DEB，
∴∠DEB =∠CBE，
∴；
(2)
解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC=，
∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴∠BEC=．
此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，平行线的判定定理，三角形的内角和定理，熟记等腰三角形的等边对等角的性质是解题的关键．
35．（1）90；（2）45°；（3）可以，45°或90°或0°
【解析】
（1）根据平行线性质求出∠BCP，即可得出答案．
（2）求出∠ACP，根据三角形内角和定理求出∠PDC，即可得出答案；
（3）分为三种情况：当PC=PD时，当PD=CD时，当PC=CD时，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得出关于α的方程，求出即可．
解：（1）∵PN∥BC，∠MPN＝30°，
∴∠BCP＝∠MPN＝30°．
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACP＝∠ACB－∠BCP＝120°-30°=90°．                                 
（2）∵∠ACB＝120°，∠PCB＝15°，
∴∠PCD＝∠ACB－∠PCB＝120°-15°=105°．
∴∠PDC＝180°－∠PCD－∠MPN＝180°－105°－30°＝45°．
∴∠ADN＝∠PDC＝45°．                      
（3）△PCD的形状可以是等腰三角形．
由题意知∠PCA＝120°－α，∠CPD＝30°．
①若PC＝PD，则∠PCD＝∠PDC．
∴∠PCD＝（180°－∠MPN）＝（180°－30°）＝75°，
即120°－α＝75°，
解得α＝45°．
②若PD＝CD，则∠PCD＝∠CPD＝30°，
即120°－α＝30°，
解得α＝90°；
③若PC＝CD，则∠CDP＝∠CPD＝30°．
∴∠PCD＝180°－2×30°＝120°，
即120°－α＝120°，
解得α＝0°，
此时点P与点B重合，点D和点A重合．
综合上述，当α＝45°或α＝90°或α＝0°时，△PCD是等腰三角形，
即α的大小是45°或90°或0°．
本题考查了等腰三角形性质和判定平行线性质的应用，注意要进行分类讨论．
36．(1)30°
(2)1
【解析】
（1）先说明△ABD是等腰三角形，再根据三角形的内角和即可得出答案；
（2）设DC的长为y，根据直角三角形的性质列出关于y方程，解出y即可．
(1)
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠B=∠EAD，
又∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
设∠CAD=x，则3x=90°，
∴x=30°，
∴∠CAD=30°；
(2)
∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
设DC=y，则DE=y，BD=3-y，
又∵∠B=30°，
∴y=，
解得y=1，
∴DE=1．
本题主要考查中垂线的性质和角平分线的性质，关键是要牢记垂直平分线的性质和角平分线的性质．
37．（1）图详见解析；（2）详见解析，A1（﹣2，﹣1）、C1（﹣3，﹣2）．
【解析】
（1）根据四顶点的坐标描点、连线可得；
（2）分别作出四顶点关于x轴的对称点，再顺次连接可得．
（1）如图所示，四边形ABCD即为所求；

（2）如图，四边形A1B1C1D1即为所求，A1（﹣2，﹣1）、C1（﹣3，﹣2）．
本题考查了轴对称作图的知识，解答本题的关键是熟练掌握轴对称的性质，注意规范作图．
38．(1)△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由见解析
(2)见解析
(3)45°
【解析】
（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，分别证明∠BEC=∠ACB=67.5°，∠A=∠ACD=45°，∠CPE=∠CEP=67.5°，可得结论；
（2）在线段DA上取一点H，使得DH=DB，连接CH，利用全等三角形的性质证明BH=EC，可得结论；
（3）作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的值最小，证明∠M+∠F=67.5°，可得结论．
(1)
解：△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠A=45°，
∴∠ABC = ∠ACB = (180°-45°)=67.5°，
∵∠ABE＝∠ABC，
∴∠ABE = 22.5°，
∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC = ∠CDB = 90°，
∴∠ACD = 90°–∠A = 45°
∴∠A=∠ACD=45°，
∴DA= DC，
∴△ADC是等腰三角形，
∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，
∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，
∴CP=CE，
∴△CPE是等腰三角形，
综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；
(2)
证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，


∵DH=DB，CD⊥AB，
∴BC=CH，
∴∠BHC=∠ABC=67.5°，
∵∠BEC=∠ACB=67.5°，
∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，
∵BC=CB，
∴△BCH≌△CBE，
∴BH=CE，
∵CE=CP，
∴BH=CP，
∴ ；
(3)
解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，


∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，
∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，
∵DM⊥CB，
∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵DA=DC，DF⊥AC，
∴∠CDF=∠CDA=45°，
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，
∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，
∵GD=GM，HF=HD，
∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，
∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，
∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，
∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．
39．（1）18；是；（2）．
【解析】
（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“完美三角形”的概念判断；
（2）根据同角的补角相等得到∠EFC=∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF=∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE=∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠B=∠BCD，根据“完美三角形”的定义求解即可．
（1）解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB=90°，
∴∠ABO=90°-∠MON=90°-72°=18°，
∵∠MON=4∠ABO，
∴△AOB为“完美三角形”，
故答案为：18；是；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
是“完美三角形”，且∠BDC为钝角
，
，
∴．
本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，“完美三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
40．（1）证明见解析；（2）AD=CE，证明见解析.
【解析】
（1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出AD=DC，即可得出答案；
（2）过D作DF∥BC，交AB于F，证△BFD≌△DCE，推出DF=CE，证△ADF是等边三角形，推出AD=DF，即可得出答案．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∵D为AC中点，
∴∠DBC=30°，AD=DC，
∵BD=DE，
∴∠E=∠DBC=30°
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=30°=∠E，
∴CD=CE，
∵AD=DC，
∴AD=CE；

（2）AD=CE，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，
则∠ADF=∠ACB=60°，
∵∠A=60°，∴△AFD是等边三角形，
∴AD=DF=AF，∠AFD=60°，
∴∠BFD=∠DCE=180°﹣60°=120°，
∵DF∥BC，
∴∠FDB=∠DBE=∠E，
在△BFD和△DCE中，
∴△BFD≌△DCE，
∴CE=DF=AD，
即AD=CE．
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．
41．（1）见详解；（2）△A1B1C1即为所求，见详解，（-2，1）；（3）（0，3）．
【解析】
（1）根据点A及点B的坐标，易得y轴在A的左边一个单位，x轴在A的下方3个单位，建立直角坐标系即可；
（2）根据平面直角坐标系求出点C坐标，根据ABC关于y轴对称的图形为△A1B1C1，求出A1(-1，3)，B1(-2，1)，C1（-4，7），描点A1(-1，3)，B1(-2，1)，C1（-4，7），再顺次连接即可画出ABC关于y轴对称的图形为△A1B1C1；
（3）过C1作y轴平行线与过B作x轴平行线交于G，BG交y轴于H，直接利用轴对称求最短路线的方法，根据点C的对称点为C1，连接BC1与y轴相交，此交点即为点P即可得出PB+PC的值最小，先证△GBC1为等腰直角三角形，再证△PHB为等腰直角三角形，最后求出y轴交点坐标即可．
解：（1）点A坐标为（1 ，3），点B坐标为（2 ，1）
点A向左平移1个单位为y轴，再向下平移3个单位为x轴，建立如图平面直角坐标系，
如图所示：即为作出的平面直角坐标系；

（2）根据图形得出出点C（4，7）
∵△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，关于y轴对称的点的特征是横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∵A(1，3)，B (2，1)，C（4，7），
∴A1(-1，3)，B1(-2，1)，C1（-4，7），
在平面直角坐标系中描点A1(-1，3)，B1(-2，1)，C1（-4，7），
顺次连接A1B1， B1C1， C1 A1，
如图所示：△A1B1C1即为所求，
故答案为：（-2，1）；
（3）如图所示：点P即为所求作的点．过C1作y轴平行线与过B作x轴平行线交于G，BG交y轴于H，
∵点C的对称点为C1，
∴连接BC1与y轴相交于一点即为点P，此时PB+PC的值最小，
∵B（2，1），C1（-4，7），
∴C1G=7-1=6，BG=2-（-4）=6，
∴C1G=BG，
∴△GBC1为等腰直角三角形，
∴∠GBC1=45°，
∵∠OHB=90°，
∴△PHB为等腰直角三角形，
∴yP-1=2-0，
解得yP=3，
∴点P（0，3）．
故答案为（0，3）．

本题考查了建立平面直角坐标系，画轴对称图形，等腰直角三角形判定与性质，最短路径，掌握轴对称的性质及轴对称与坐标的变化规律并利用其准确作图，待定系数法求解析式是解答本题的关键．
42．(1)①证明见解析；②证明见解析
(2)
【解析】
（1）①由等腰直角三角形的性质得：，，，，和同角的余角相等可证，继而利用边角边可证得②根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质可证
（2）证明 ，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的面积公式，求出与之间的关系式．
(1)
证明：①与都是以点为直角顶点的等腰直角三角形
，，，


又，

②，
．
，
，
；
(2)
解：

又，

，




．
本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，三角形面积的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
43．（1）（﹣1，3），（2，0），（﹣3，﹣1）；（2）见解析；（3）9．
【解析】
（1）利用点的坐标的表示方法求解；
（2）先根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．
（1）A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）；
（2）如图，△A1B1C1为所作；

（3）△A1B1C1的面积＝4×5﹣×4×2﹣×3×3﹣×5×1＝9．
故答案为（﹣1，3），（2，0），（﹣3，﹣1）；9．
本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
44．见解析
【解析】
先证明，可得，，再证明，从而可得答案.
证明：∵AB，CD互相平分
∴，
又∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，证明是解本题的关键.
45．(1)见解析
(2)△BDC是黄金三角形，理由见解析
【解析】
（1）作∠ABC的角平分线，交AC于点D；
（2）由角平分线的定义得∠ABD=∠CBD=36°，再由等腰三角形的性质得∠ABC=∠C=72°，然后证证∠BDC=∠C，则BD=BC，即可得出结论．
(1)
解：如图所示，BD即为所求；

(2)
△BDC是黄金三角形，理由如下：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-36°）=72°，
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴△BDC是黄金三角形．
本题考查了黄金三角形的判定、等腰三角形的判定与性质以及尺规作图等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
46．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
（1）根据角的平分线的基本作图画图即可；
（2）根据角的平分线，垂直的定义，计算∠FAD是直角即可．
(1)
如图1，射线即为所求．

图1
(2)
证明（如图2）：

图2
∵，
为边上的高线，
∴．
∵平分，
∴，
∴
∴．
本题考查了角的平分线作图，等腰三角形的三线合一性质，垂直的定义即相交两直线的交角中有一个角是直角，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，作图的基本要领是解题的关键．
47．（1）见解析；（2）点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，∠CAD=60°；（3）当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
【解析】
（1）先根据等边三角形的性质得∠OBA=∠CBD=60°，OB=BA，BC=BD，则∠OBC=∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD；
（2）由△AOB是等边三角形知∠BOA=∠OAB=60°，再由△OBC≌△ABD知∠BAD=∠BOC=60°，根据∠CAD=180°-∠OAB-∠BAD可得结论；
（3）由（2）易求得∠EAC=120°，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，求得AC=AE=2，据此得到OC=1+2=3，即可得出点C的位置．
解：（1）∵△AOB，△CBD都是等边三角形，
∴OB=AB，CB=DB，∠ABO=∠DBC，
∴∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
∵，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；
（2）点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：
∵△AOB是等边三角形，
∴∠BOA=∠OAB=60°，
∵△OBC≌△ABD，
∴∠BAD=∠BOC=60°，
∴∠CAD=180°-∠OAB-∠BAD=60°；
（3）由（2）得∠CAD=60°，
∴∠EAC=180°-∠CAD =120°，
∴∠OEA=∠EAC-90°=30°，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，
在Rt△AOE中，OA=1，∠OEA=30°，
∴AE=2，
∴AC=AE=2，
∴OC=1+2=3，
∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．
本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决本题的关键是利用等腰三角形的性质求出点C的坐标．
48．(1)见解析
(2)MC=1.5
【解析】
（1）由∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，得∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，再根据CE平分∠ACF，得∠ACF=2∠ECF，则∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，从而证明结论；
（2）连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，利用HL证明Rt△QNA≌Rt△QMC，得NA=MC，再证明Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），得NB=MB，则BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，从而得出答案．
(1)
证明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，
∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠ECF，
∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，
∴BD平分∠ABC；
(2)
解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，

∵QG垂直平分AC，
∴AQ=CQ，
∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，
∴QM=QN，
∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），
∴NA=MC，
∵QM=QN，BQ=BQ，
∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），
∴NB=MB，
∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，
∴7=4+2MC，
∴MC=1.5．
本题主要考查了角平分线的定义和性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
49．(1)①见解析；②作图见解析，
(2)或
【解析】
（1）①尺规作图作∠EAC的角平分线即可；②作线段的垂直平分线，交于点，连接，则即为所求；
（2）分分别求解即可
(1)
①如图，射线即为所求

②作线段的垂直平分线，交于点，连接，则即为所求；



又平分


(2)
存在，当时，
当时，
综上所述，的值为或
本题考查了作角平分线，垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确的作图是解题的关键．
50．(1)见解析，A1（1，﹣4），B1（4，﹣2），C1（3，﹣5）
(2)3.5
【解析】
（1）依据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出△的位置以及顶点坐标．
（2）依据割补法进行计算，即可得出△的面积．
(1)
解：如图所示，关于轴的对称图形△的顶点坐标为：，，．

(2)
解：的面积为：．
本题主要考查了利用轴对称变换作图，解题的关键是依据轴对称的性质得出对称点的位置．
51．(1)见解析
(2)∠ACO＝45°
(3)EF＝OE，且EF⊥OE，见解析
【解析】
（1）根据加减消元法解二元一次方程组，求出a、b，进而根据等边对等角即可解决问题；
（2）如图1中，过点O作OD⊥OC交AC于点D，证明△ADO≌△BCO（ASA），即可得到结论．
（3）过点F作FG⊥OF交OE的延长线于G，过点F作FH⊥FB交x轴于H，延长DE交HG于I，利用已知条件证明△HFG≌△BFO（SAS），得到GH＝OB＝OA，再证明△EIG≌△EDO（AAS）得到EG＝EO，进而FE＝EO且FE⊥EO（三线合一）．
(1)
解：
①-②得
解得
将代入①得
解得

A（0，2），B（－2，0）

∠OAB＝∠OBA；
(2)
如图，O作OD⊥OC交AC于点D，




BC⊥AC，


又

即
在△ADO与△BCO中，

△ADO≌△BCO（ASA），

是等腰直角三角形，
；
(3)
证明：过点F作FG⊥OF交OE的延长线于G，过点F作FH⊥FB交x轴于H，延长DE交HG于I，

∵∠EOF＝45°，∠HBF＝∠ABO＝45°，
∴△OFG、△HFB为等腰直角三角形，
∵∠HFG+∠GFB＝90°，∠BFO+∠GFB＝90°，
∴∠HFG＝∠BFO，
∵FG＝FO．FH＝FB，
∴△HFG≌△BFO（SAS），
∴GH＝OB＝OA，
又∵∠GHF＝∠OBF＝135°，
∴∠GHO＝90°，
∴HI＝OD＝IG，
∴△EIG≌△EDO（AAS），
∴EG＝EO，
∴FE＝EO且FE⊥EO（三线合一）．
此题考查了加减消元法解二元一次方程组，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
52．(1)①证明见解析；②BE＝或；
(2)2
【解析】
（1）①证明△ADF≌△BED，从而命题得证；②当∠BED＝90°时，此时BD＝2BE，进而求得BE，当∠BDE＝90°时，此时BE＝2BD，同样求得此时的BE．
（2）在BC上截取BH＝BD，连接DH，证明△BDE≌△FEH，推出∠CH60°，CH＝2FH，再证明CF平分∠ACB，得出点F的轨迹，进一步求得GF的最小值．
(1)
①证明：∵△ABC是等边三角形，△DEF是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，DF＝DE，∠EDF＝60°，
∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠A＝120°，
∠ADF+∠BDE＝180°﹣∠EDF＝120°，
∴∠AFD＝∠BDE，
∴△ADF≌△BED（AAS），
∴AD＝BE；
②解：


当∠BED＝90°时，
由（1）得：△ADF≌△BED，
∴AD＝BE，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣BE，
∵∠B＝60°，
∴∠BDE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BD＝2BE，
∴8﹣BE＝2BE，
∴BE＝；
如图2，

当∠BDE＝90°时，
∵BD＝8﹣AD＝8﹣BE，∠BED＝30°，
∴BE＝2BD，
∴BE＝2•（8﹣BE），
∴BE＝，
综上所述：BE＝或；
(2)
（3）如图3，

设AD＝2x，BE＝x，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2x，
在BC上截取BH＝BD，连接DH，
∵∠B＝60°，
∴△BDH是等边三角形，
∴∠BDH＝60°，DH＝BD，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠BDH＝∠EDF，
∴∠BDH﹣∠EDH＝∠EDF﹣∠EDH，
即：∠BDE＝∠HDF，
∴△BDE≌△FEH（SAS），
∴EH＝BD＝8﹣2x，FH＝BE＝x，∠DHF＝∠B＝60°，
∴CH＝BC﹣BE﹣EH＝8﹣x﹣（8﹣2x）＝x，∠FHC＝180°﹣∠BHD﹣∠DHF＝60°，
作射线CF，
如图4，

在△CFH中，CH＝2x，FH＝x，∠FHC＝60°，
取CH的中点M，连接FM，
∴HM＝CM＝，
∴HF＝HM，
∴△FHM是等边三角形，
∴FM＝HM＝CM＝x，∠FMH＝60°，
∴∠FCM＝∠CFM，
∵∠FMH＝∠FCM+∠CFM，
∴2∠FCM＝60°，
∴∠FCM＝30°，
∴CF是∠ACB的平分线，
即：F点在∠ACB的角平分线上运动，
作GF′⊥CF于F′，此时，GF最小；
∵G是BC的中点，
∴CG＝＝4，
∴GF′＝＝2．
故GF的最小值为2．
本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是构造全等，找到F的运动轨迹．
53．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【解析】
（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；
（2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE＋∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．
(1)
解：∵、都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，   
在和中
，
∴，
∴．
(2)
解：∵，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∴，
，
，
，
，        
∴，
答：的度数是．
(3)
证明：∵，
∴，，
又∵点M、N分别是线段、的中点，
∴，，
∴，   
在和中
，
∴，
∴，
，
又，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．
54．(1)30°
(2)①；②
【解析】
（1）根据等边三角形的性质可得，根据角度计算可得，由折叠的性质可得，根据即可求解；
（2）①连接，在上取一点，使，证明，是等边三角形，即可得到；②先证明三点共线，结合①的结论求解即可．
(1)
是等边三角形


把△ABD沿BD对折，得到△，



故答案为：
(2)
①，理由如下：
连接，在上取一点，使，如图，

是等边三角形



，

是等边三角形
，

即
②如图，

由①可得

由（1）可知
把△ABD沿BD对折，得到△，





三点共线
折叠
,




由①可得




本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
55．(1)126°
(2)证明见详解
(3)
【解析】
（1）由EA＝EC可得∠ACE=∠CEA=18°则∠CED=36°，且∠ABE＝2∠ACE＝36°，由此可知∠AEB＝126°；
（2）作EF⊥AB于点F,EG⊥AC与点G，GH=FB，首先证明，根据全等可得，， ，进而证明，AG=AF，进而证明AC=AG+GH+HC=AF+FB+EB=AB+BE；
（3）设，通过推导可知，，，进而可知，从而证明两角相等．
(1)
解：∵∠ACE＝18°，EA＝EC，
∴∠ACE=∠CEA=18°，
∴∠CED=2×18°=36°，
且∠ABE＝2∠ACE＝2×18°＝36°，
∴∠AEB＝180°－∠DAB－∠ABE＝180°－18°－36°＝126°．
(2)
解：如图所示：作EF⊥AB于点F,EG⊥AC与点G，GH=FB，

∵AD是∠BAC的平分线，
∴GE=EF，
在Rt△EGH与Rt△EFB中， ，
∴（HL）,
∴，
又∵，
∴，
∴，
且 ，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴，
在Rt△AGE与Rt△AFE中，，
∴（HL）,
∴AG=AF，
则：AC=AG+GH+HC=AF+FB+EB=AB+BE，
故AB+BE＝AC．
(3)
解：设，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，能够根据需要构造适合的辅助线是解决本题的关键．
56．(1)见解析
(2)60°-α
(3)①30；②QB=2QP+QC
【解析】
（1）由CE平分∠ACD，得∠ACE=60°，从而证明∠BAC=∠ACE，则AB∥CE；
（2）首先利用SAS证明△ACP≌△FCP，得AC=CF，从而有BC=CF，∠BFC=∠CBF=（180°−∠BCF）=（180°−∠ACB−∠ACE−∠ECF），代入即可得出答案；
（3）①根据角之间的转化可得∠AFB=∠AFC-∠BFC=∠CAP-∠BFC，代入化简即可；
②过C作CN⊥BF于N，得∠NCQ=∠AFB=30°，从而有QC=2QN，QF=2QP，由BN=FN，得QB=QF+2QN，从而解决问题．
(1)
解：证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=BC，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=120°，∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AB∥CE；
(2)
如图，

∵点A关于直线CE的对称点为F，
∴CE⊥AF，AP=PF，
∴∠APC=∠FPC=90°，
又∵CP=CP，
∴△ACP≌△FCP（SAS），
∴AC=CF，∠ACE=∠ECF=α，∠CAP=∠CFP，
∴BC=CF，
∴∠BFC=∠CBF=（180°−∠BCF）=（180°−∠ACB−∠ACE−∠ECF），
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠BFC=（180°−∠ACB−∠ACE−∠ECF）=60°-α；
(3)
①∠AFB=∠AFC-∠BFC
=∠CAP-∠BFC
=180°-∠CPA-∠ACE-∠BFC
=90°-α-∠BFC
=90°-α-（60°-α）
=30°，
故答案为：30；
②QB=2QP+QC，理由如下：
过C作CN⊥BF于N，
∴∠NCQ=∠AFB=30°，
∴QC=2QN，QF=2QP，
∵BC=CF，
∴BN=FN，
∴QB=QF+2QN，
∴QB=2QP+QC．
本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，平行线判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，利用角之间的转化是解题的关键．
57．(1)证明见解析
(2)（1）中结论仍成立；证明见解析
(3)证明见解析
【解析】
（1）由，，可得，可证，进而可说明；
（2）证明方法同（1）；
（3）如图，作，，交的延长线分别于点，可知，，，可证，有；然后证明，有，进而可说明，由等边对等角可知，进而得证．
(1)
证明：，，
∴
在和中
∵
∴
∴得证．
(2)
解：（1）中结论仍成立．
证明：∵，，
∴
在和中
∵
∴
∴得证．
(3)
解：如图，作，，交的延长线分别于点

∴，，
在和中
∵
∴
∴
在和中
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴得证．
本题考查了三角形全等，等腰三角形的性质．解题的关键在于运用适当的方式多次证明三角形全等．
58．（1）证明见解析；（2）40°；（3）当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形
【解析】
（1）由已知证明△AOB≌△ADC，根据全等三角形的性质即可证得；
（2）由∠BOC=130°，根据周角的定义可得∠BOA+∠AOC=230°，再根据全等三角形的性质继而可得∠ADC+∠AOC=230°，由∠DAO=90°，在四边形AOCD中，根据四边形的内角和即可求得∠DCO的度数；
（3）分三种情况进行讨论即可得.
（1）∵∠BAC=∠OAD=90°，
∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO，
∴∠DAC=∠OAB，
在△AOB与△ADC中，
，
∴△AOB≌△ADC，
∴OB=DC；
（2）∵∠BOC=130°，
∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°，
∵△AOB≌△ADC
∠AOB=∠ADC，
∴∠ADC+∠AOC=230°，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴∠DAO=90°，
∴四边形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°；
（3）当CD=CO时，
∴∠CDO=∠COD==70°，
∵△AOD是等腰直角三角形，
∴∠ODA=45°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°，
又∠AOB=∠ADC=α，
∴α=115°；
当OD=CO时，
∴∠DCO=∠CDO=40°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°，
∴α=85°；
当CD=OD时，
∴∠DCO=∠DOC=40°，
∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC=180°﹣40°﹣40°=100°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°，
∴α=145°，
综上所述：当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形．
本题考查了全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、等腰三角形的判定和性质等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关性质和定理是解题的关键.