新高考数学模拟卷分类汇编（三期)专题11《数列》解答题(2份打包，解析版+原卷版)

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专题11 数列解答题 1．（2021·重庆八中高三月考）已知是等差数列的前项和，若， .（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意得：∴即∴.（2）由（1）知，∴∴.2．（2021·山东省淄博实验中学高三月考）已知数列满足，，设.（1）证明：为等差数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1），为等差数列；（2），，，，①，②①②得：，3．（2021·山东济南市历城二中高三月考）已知首项为的数列的前项和为，且．（1）求证：数列为等差数列；（2）记数列的前项和为，求．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）依题意，，则，两边都加1可得，，故，则，故数列是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）可知，，故，则，故.4．（2021·河北沧州高三月考）设为数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为数列的前项和，且，则当时，，又，满足上式，于是得，所以的通项公式为；(2)由(1)知，，显然，，而，因此，数列是以为首项，为公比的等比数列，则有，所以数列的前项和.5．（2021·河北石家庄实验中学高三质检）已知数列的前项和为，且对任意正整数，成立．（1），求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在中令得．因为对任意正整数，成立，所以，两式相减得，所以，又，所以为等比数列，所以，所以．（2）当为偶数时，，当为奇数时，．所以．6．（2021·河北武强中学高三月考）已知数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：，求的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，，可得，所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以，所以；（2），前n项和，，两式相减可得，所以．7．（2021·湖北黄石高三月考）已知数列前n项和为，若，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1），，当时，，，，.又，，成等比数列.，，或.又，，.（2），.8．（2021·湖南湘潭高三一模）已知为数列的前项和，且，(，为常数)，若，．求：(1)数列的通项公式；(2)的最值．【答案】(1)或；(2)当时，的最小值为3，无最大值；当时，的最大值为12，无最小值．【解析】(1)在数列中，，(，为常数)，则数列是等差数列，公差为，由得：，又，即，于是有，或，由得：，，此时，，由得：，，此时，，所以数列的通项公式是或；(2)当时，，显然是关于正整数的增函数，所以为的最小值，无最大值；当时，，而为正整数，则当或时，有最大值，无最小值，所以是的最大值，无最小值.9．（2021·湖南长郡中学高三月考）已知在数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】，，，，左右两边同时相加得，=，，当时也符合上式，所以（2）由得所以，=  =10．（2021·江苏海安高级中学高三期中）已知数列{an}的前n项和Sn，满足Sn＝n(n－6)，数列{bn}满足b2＝3，bn＋1＝3bn(n∈N*)（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）记数列{cn}满足cn＝求数列{cn}的前n项和Tn.【答案】（1） an＝2n－7，bn＝3n－1；（2） 【解析】（1）当n＝1时，a1＝S1＝－5，当n ≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－6n－(n－1)2＋6(n－1)＝2n－7，∵n＝1也适合上式，∴an＝2n－7∵bn＋1＝3bn(n∈N*)，且b2≠0，∴＝3，∴{bn}为等比数列，∴bn＝3n－1，（2）由（1）得，cn＝当n为偶数时，Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＝＋.当n为奇数时，Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＝＋.综上所述：Tn＝11．（2021·江苏苏州高三月考）分形几何号称“大自然的几何”，是研究和处理自然与工程中不规则图形的强有力的理论工具，其应用已涉及自然科学､社会科学､美学等众多领域.图1展示了“科赫雪花曲线”的分形过程.其生成方法是：（i）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；（ii）将图②的每边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；（ⅲ）再按上述方法继续做下去，就得到了“科赫雪花曲线”.设图①的等边三角形的边长为1，并且分别将图①､②､③…中的图形依次记作､､､…､…请解决如下问题：（1）设中的边数为，中每条边的长度为，写出数列和的递推公式与通项公式；（2）设的周长为，求数列的通项公式.【答案】（1）且，且，，；（2）.【解析】（1）由题意，可得数列的递推关系为且，所以数列构成首项为，公比为4的等比数列，所以;又由每个图形的边长都相等，且长度变为原来的，所以边长满足递推关系式且，即数列构成首项为1，公比为的等比数列，所以;（2）由周长等于边长乘以边数可得，所以数列构成首项为3，公比为的等比数列，12．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）已知正项等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和为，．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和的取值范围．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设正项等差数列的公差为d，则， ∵，且成等比数列，∴，解得，∴，由得，即是等比数列，又，∴；（2） ∴ ∵，∴.13．（2021·广东珠海高三月考）已知数列为等差数列，且，，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为数列是等差数列，，（2），数列的下标为偶数的项为以为首项，为末项，项数为的等差数列；下标为奇数的项为以4为首项，公比为64的等比数列，项数为n；14．（2021·广东深圳市七中高三月考）已知等比数列中，，且是和的等差中项.等差数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设数列的公比为，数列的公差为，由题意可得：，即，联立，可得，则数列的通项公式为；由题意可得：，即，则数列的通项公式为.（2）则15．（2021·广东广雅中学高三月考）已知数列的前n项和为，满足.（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析，； （2）.【解析】（1）因为，可得，即，可得，即，又由，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，所以，所以.（2）由，则数列的前n项和： ，即.16．（2021·广东茂名高三月考）已知等比数列的前项和．（1）求的值；（2）若且，问取何值时，取得最小值，并求此最小值．【答案】（1）；（2）或5时，取得最小值，最小值为．【解析】（1）当时，，∴．（*）则．当时，，因为为等比数列，所以．由（*）式可知，，∴，解得；（2）时，．∵，∴，．，即，．于是，所以或5时，取得最小值，最小值为．17．（2021·福建上杭一中高三月考）公差为2的等差数列中，，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）若数列满足：，求，的前20项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，公差为2的等差数列中，，，成等比数列，所以，即，解得，故数列的通项公式．（2）由数列满足，所以，所以．18．（2021·福建龙岩高三月考）等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设数列的公差为，因为，，所以，解得，所以的通项公式为；（2）由（1）知：，所以当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时，所以数列的前10项和为.19．（2021·重庆西南大学附中高三月考）已知数列的前n项和为，且，．(1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列前项和．【答案】(1)证明见解析；；(2) .【解析】(1)因为，所以，又因为，所以数列是以首项为，公比为的等比数列，从而，故.(2)由(1)中结论可知，  ①，所以  ②，由①②得，                化简整理得，，所以，故，所以，故.20．（2021·辽宁实验中学高三月考）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前项之积为，且．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．（3）设，若数列的前项和，证明：．【答案】（1），（2）（3）证明见解析【解析】（1）设等比数列的公比为，，，成等差数列，，，化为：，，解得．又满足，， 即，解得．，数列的前项之积为，，，即，是以2为公差的等差数列.又，即，所以（2），，，两式相减得，，（3）所以数列的前项和，又，是单调递增，所以.