1.4一元二次函数与一元二次不等式 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
- 关于的不等式的解集为，且，则实数．( )
A. B. C. 或 D. 或
- 已知二次方程的一个根为，则另一个根为．( )
A. B. C. D.
- 若不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值分别为
A. ， B. ， C. ， D. ，
- 已知二次方程的一个根为，则另一个根为( )
A. B. C. D.
- 若函数在上满足恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
- 不等式的解集不为空集，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
- 若不等式的解集为，则函数的图象为( )
A. B.
C. D.
- 若任意取，关于的不等式成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
- 下列结论错误的是( )
A. 若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为；
B. 不等式在上恒成立的条件是且；
C. 若关于的不等式的解集为，则；
D. 不等式的解为．
- 下列不等式恒成立的有( )
A. B.
C. D.
- 设，若无实根，则下列结论成立的有( )
A. 当时， B.
C. D. ，使得成立
- ．多选下列不等式中有解的是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知二次函数，一次函数，不等式的解集为，则；记函数，则的最小值是________．
- 设，当时，恒成立，则的取值范围是______．
- 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是_______．
- 二次函数的部分对应值如下表：
则不等式的解集是_________________．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
- 已知，不等式的解集为．
求的解析式；
若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
若不等式对满足的所有都成立，求的范围．
- 已知二次函数为整数且关于的方程在区间内有两个不同的实根．
求的值；
若在上恒成立，求实数的取值范围． - 已知二次函数的值域为，且不等式的解集为．
求的解析式
若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
- 已知的解集为．
求实数的值；
若恒成立，求实数的取值范围．
- 已知函数．
当时，解不等式；
若不等式的解集为，求实数的取值范围．
- 已知，不等式的解集是，求的值．
若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是多少？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，培养了学生的转化能力，属于基础题．
根据根与系数的关系，得到关于的方程解得即可．
【解答】
解：的解集为，，为方程的两个根，
由韦达定理可得，，
又，，
，
，，．
故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次方程根于系数的关系，属于基础题．
根据韦达定理可求另外一根．
【解答】
解：设另一根为，由韦达定理可知： ，即．
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了一元二次方程与一元二次不等式的相互转化思想的应用及二次函数在闭区间上的最值的求解，属于基础题．
由题意可知，是方程的根，利用根与系数的关系可求，，然后结合二次函数的性质可求．
【解答】
解：的解集为，
，是方程的根，
，，
则二次函数开口向下，对称轴，
在区间上，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值．
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次方程根与系数的关系，属于基础题．
根据韦达定理可求另外一根．
【解答】
解：设另一根为，由韦达定理可知，，
即．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查不等式的恒成立问题，利用二次函数的性质是解决问题的关键，注意要对进行讨论．
分别讨论和时满足的条件即可．
【解答】
解：若，则，满足在上恒成立．
若时，要在上使恒成立，即，
只需函数的图象开口向下且与轴没有交点，
则须满足，解得，
综上，，
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系，属于基础题．
当不等式的解集不是空集时，，解出即可．
【解答】
解：当不等式的解集不是空集时，，即，
解得或．
实数的取值范围是或．
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查一元二次不等式的解法，函数的图象，属于基础题．
由题意可得，且，求出和的值，即可求得函数的解析式，从而得到函数的图象．
【解答】
解：由不等式的解集为，
可得，且的两根为和，
则，
解得，，故，
故，
它的图象是开口向下的抛物线，与轴交于，两点，
故函数的图象为．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：令，，
由题意可得，，
解可得，．
故选：．
由已知结合二次函数的性质及特殊点所对应的函数值的正负即可求解．
本题主要考查了二次不等式在闭区间上恒成立问题的求解，二次函数性质的应用是求解问题的关键．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质与一元二次不等式恒成立和有解问题的解法，考查了分式不等式，属于基础题．
由一元二次函数的图象、方程和不等式之间的关系能判定、、，由分式不等式能确定选项D．
【解答】
解：对于选项A，函数不存在零点，若，则解集为，若，则解集为空集，故选项A错误
对于选项B，不等式可知图像开口向下，说明并且至多与轴有一个交点，故，故选项B正确；
对于选项C，当时，，显然不符合题意，当时，由二次函数的图象特点可知，解得，故选项C正确；
对于选项D，，解得，故选项D错误；
故选AD．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式求解以及恒成立问题，难度一般，属于基础题．
利用其对应一元二次方程根的判别式，以及对应图像的性质与零点的存在性依次判断。
【解答】
对：，恒成立，故A正确，
对：其对应一元二次方程根的判别式为，其对应图像与轴有两个不同的交点，因此该不等式解集不可能为，故B错误，
对：因为对恒成立，于是C正确，
对：恒成立，故D错误．
综上，本题选项为．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数在不等式恒成立方面的应用，属于基础题．由条件可知的图象恒在直线的上方，因而可确定选项AB的正误；设，则成立，即有对任意实数，都成立，因而可确定选项CD的正误．
【解答】
解：若无实根，因为对应的抛物线开口向上，
所以的图象恒在直线的上方，即对任意实数，都有成立，所以选项B成立；
当时，也有，所以选项A也成立；
设，则成立，即对任意实数，都成立，所以选项C正确，而选项D错误．
故选ABC．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考察了一元二次不等式解的存在性问题，可利用其根的判别式与函数图像性质进行判断。
【解答】
根据题意，对选项依次判断。
对选项A：函数开口向上，其对应一元二次方程根的判别式为，图像与轴无交点，即恒成立，故A不正确。
对选项B：函数开口向上，其对应一元二次方程根的判别式，图像仅与轴有一个交点，即有且仅有一解，于是选项B正确。
对选项C：函数开口向下，其其对应一元二次方程根的判别式，，图像仅与轴有一个交点，即有且仅有一解，于是选项C不正确。
对选项D：函数开口向上，其对应一元二次方程根的判别式，图像与轴有两个交点，故选项D正确。
综上，本题答案为
13.【答案】，
【解析】
【分析】
本题主要考查了一元二次不等式求解，以及分段函数最值，属于基础题．
由不等式的解集为，可得，数值，从而求解相应问题．
【解答】
解：已知二次函数，一次函数，
则不等式的解集为
即的解集为，
所以，为的两根，
，解得
，
且，
又
则
可知，当时，单调递减；当时，单调递增，
即时，取最小值，
此时．
故答案为；．
14.【答案】
【解析】解：因为在恒成立，
对称轴，
所以或或，解得：
故答案为：．
结合二次函数的图象，通过对对称轴分类讨论列出不等式组，求出的范围．
本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解二次函数的性质，且能根据二次函数的性质将题设中恒成立的条件转化成关于所求参数的不等式，解出的取值范围，本题求解时要注意转化等价，分类要统一标准，分类清楚，莫因为分类不清，转化不等价导致解题失败．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了不等式恒成立的问题，考查学生的计算能力和推理能力，难度适中．
根据不等式对一切实数都成立，讨论和时，即可求出的取值范围．
【解答】
解：不等式对一切实数都成立，
时，不等式化为恒成立，符合题意，
时，应满足
解得，
综上可得的取值范围是．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次方程与一元二次不等式的关系求解即可得结果．
【解答】解：由表中数据可知函数的两个零点分别为和，这两个零点将轴分为三个区间：，，在区间中取特殊值，由于，因此根据二次函数的性质可得，当时，有；当时，有；当时，有故原不等式的解集为．
17.【答案】解：，
不等式的解集是，即的解集是，
和是方程的两个根，
由根与系数的关系知，，，
，，
．
在上恒成立等价于恒成立，
在上的最大值小于或等于．
设，
则由二次函数的图象可知在区间上为减函数，，
，
即．
因为不等式对满足的所有都成立
设，
，
，
的取值范围为．
【解析】本题主要考查的是一元二次不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，解析式的求法，不等式恒成立问题属于中档题．
根据一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的两个根，可知和是方程的两个根，然后根据韦达定理可得，，求解即可的解析式； ；
原不等式可化为，构造函数，由题意知只需保证的最大值小于或等于，求解即可．
本题考查不等式的恒成立问题，二次函数的性质，考查不等式组的解法，属于中档题．
根据题意可知，构造函数，根据条件列出关于的不等式组，解出不等式组即可．
18.【答案】解：根据题意，，则即，设，
若方程在区间内有两个不同的实根，则在区间上有两个零点，
必有，解可得：，
又由为整数，
故；
若在上恒成立，即在上恒成立，
又由，则有在上恒成立，
又由在上的最小值为，则有，
故的取值范围为．
【解析】根据题意，设，则有在区间上有两个零点，由二次函数的性质可得，解可得的取值范围，分析可得答案；
根据题意，由的值分析可得原问题等价于在上恒成立，分析求出在上的最小值，即可得答案．
本题考查函数的恒成立，涉及二次函数的性质，关键是求出的值，属于基础题．
19.【答案】 设，
由题意可得，
解得即
由得对任意的恒成立，
令，
当时，，
所以，即实数的取值范围是．
【解析】略
20.【答案】解：因为的解集为，
所以而且的两根为和，
，所以．
因为恒成立，即恒成立，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
【解析】本题考查一元二次不等式解集与相应一元二次方程根的关系，及一元二次不等式解法、不等式恒成立问题．
由题意知：，且，是方程的两根，利用韦达定理得出的值；
不等式恒成立，即恒成立，则，解不等式即可．
21.【答案】解：当时，，
，解得或，
不等式的解集为．
若不等式的解集是，
则，
解得，
故实数的取值范围是．
【解析】本题考查不等式的解法及恒成立问题，属于基础题．
时，不等式化为，求解集即可；
利用判别式，求出的取值范围．
22.【答案】解：由不等式的解集是，可知和是方程的根，
即解得
所以
由可知．
所以不等式可化为，．
令，，
由二次函数的性质可知在上单调递减，
则的最小值为，则．
所以实数的取值范围为．
【解析】本题考查一元二次不等式和二次方程的关系以及不等式恒成立问题，属于基础题．
由题意可得的和是方程的根，由韦达定理可得值；
分离参数可得，，令，，由二次函数的最值可得的范围．
