4.3对数函数 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）

4.3对数函数北师大版（  2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若，则的取值范围为  (    )

A.  B.  C.  D.

2. 设为曲线上一点，为曲线上一点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知实数，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若实数满足，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知关于的不等式且的解集为，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知，且，，若，则(    )

A.  B.
C.  D.

8. 已知函数，则的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 给出下列结论，其中不正确的结论是(    )

A. 函数的最大值为
B. 已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是
C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D. 已知定义在上的奇函数在内有个零点，则函数的零点个数为

10. 已知函数，则下列结论正确的是 (    )

A. 函数的单调递增区间是
B. 函数的值域是
C. 函数的图象关于对称
D. 不等式的解集是

11. 下面结论中正确的是(    )

A. 函数的最大值为
B. 函数在上是减函数，则实数的取值范围是
C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于直线对称
D. ，则

12. 给出下列结论，其中正确的结论是(    )

A. 函数的最大值为
B. 已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是
C. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D. 若，则的值为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知函数，，若对任意的，都有，则实数的取值范围为______________．
14. 已知函数正实数满足且若在区间上的最大值为则
15. 设是定义在上的偶函数，，都有，且当时，，若函数，在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是____．
16. 给出下列命题：
    函数与函数的图象关于直线对称；
    函数的最小正周期；
    函数的图象关于点成中心对称图形；
    函数的单调递减区间是．
    其中正确的命题序号是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知函数是且的反函数，且的图象过点．
    求与的解析式；
    比较，与的大小．
18. 本小题分

已知函数是奇函数，是偶函数．

求的值；

设，若对任意恒成立，求实数的取值范围．

19. 本小题分

已知且满足不等式．

求实数的取值范围；

求不等式；

若函数在区间有最小值为，求实数值．

20. 本小题分
    已知函数．
    当时，求不等式的解集；
    若的定义域为，求的取值范围．
21. 本小题分

设函数，，

求的值；
若，求取值范围；

求的最值，并给出最值时对应的的值。

22. 本小题分

已知，且，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了指数函数、对数函数的图象和性质及不等式，函数的图象的应用．
在同一坐标系中作出函数，，的图象，然后进行求解即可得．

【解答】

解：在同一坐标系中作出函数，，的图象，如图所示．

数形结合可知当时，，
故的取值范围为．
故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了互为反函数的函数图象的对称性，以及导数的几何意义，曲线的切线方程的求法，同时考查了化归的思想方法，属于中档题．
考虑到两曲线关于直线对称，求丨丨的最小值可转化为求到直线的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为的切线方程，从而得此距离．
【解答】
解：曲线与曲线互为反函数，其图象关于对称，
故可先求点到直线的最近距离，
设曲线上斜率为的切线为，
，由，得，
故切点坐标为，即，
，
丨丨的最小值为．
故选C．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查对数运算性质，函数单调性的应用，属于中难题．
对，利用换底公式等价变形，得，结合的单调性判断，同理利用换底公式得，即，再根据对数运算性质得，结合单调性， ，继而得解．
【解答】
解：由，变形可知，
利用换底公式等价变形，得，
由函数在上单调递增知，，即，排除，；
其次，因为，得，即，
同样利用的单调性知，，
又因为，得，即，所以．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了对数函数的性质，对数的运算，比较大小，属于中档题．
先利用对数的运算性质将，，变形，然后利用作差法结合对数函数的性质可求出答案．

【解答】

解：，
，
，
则
，
，
又
，
，
．
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查对数不等式的解法，考查对数函数的单调性，是中档题．
由已知可得得，利用对数函数的单调性分别求解两不等式，取交集得答案．
【解答】
解：由，
得
由得，当时，，此时．
当时，，则；
由得，．
取交集得：．
的取值范围是．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想以及数形结合思想，属于中档题．
不等式为，在同一直角坐标系中分别作出和的图象，求出函数图象的交点得到的值．

【解答】

解：若时，由对数函数和指数函数图象可知：不等式解集为空集
若时，且，显然和的图象如图所示：

因为不等式的解集为，
设点为两个函数图象的交点，则，
所以，即．
故选A．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查对数函数及其性质，不等式性质及求解，考查学生分类讨论的能力，属于中档题．
对底数分情况讨论，解不等式得范围，得到结果．

【解答】

解：根据题意知，
或
解得或

当时，，，；

当时，，，，

．
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查分段函数、二次函数、对数函数的单调性应用，属于中档题．
由题意分类讨论求得的范围即可．
【解答】
解：函数
当时，，
不等式，即，所以．
当时，，
不等式，即，在不等式恒成立，所以；
当时，，
不等式，即，所以．
综上可得，不等式的解集为，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了指数函数的性质，对数函数的性质，函数的零点个数以及复合函数的单调性，属于中等题．
由指数函数的性质可判断；由对数函数的性质及复合函数的单调性可判断；由反函数的定义可判断；由奇函数的性质可判断．
【解答】
解：对于，令，则的最大值为，
的最小值为，故A错误；
对于，函数在上是减函数，
，解得，B错误；
对于，函数与互为反函数，
函数与的图像关于直线对称，故C正确；
对于，定义在上的奇函数在内有个零点，
在在内有个零点，又，
函数的零点个数为，故D正确．
故选AB  

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查复合函数的性质，以及对数函数的性质．
利用对数函数的性质，以及复合函数的性质，对每个选项逐一判断，即可得．

【解答】

解：因为函数，
令，
当时，解得或，
又函数在定义域上单调递增，
所以函数的单调递增区间是，故A错误；
由于真数能取遍所有的正数，故函数的值域为，故B正确；
因为函数的对称轴为，则函数的图象关于对称，故C正确；
不等式，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集是．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．
根据指数函数的单调性二次函数的最值，求得的最小值为
根据对数函数的图象与性质，求得的取值范围是
同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称
由对数运算性质即可判断．
【解答】
解：对于，函数的最大值为，
的最小值为，A错误；
对于，函数且在上是减函数，
，解得的取值范围是，B正确；
对于，在同一坐标系中，函数与互为反函数，两个函数的图象关于轴对称，C正确；
对于，，，
则，，，故D正确．
故选BCD．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．
根据指数函数的单调性二次函数的最值，求得的最小值为
根据对数函数的图象与性质，求得的取值范围是
同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称
由对数运算性质即可判断．
【解答】
解：对于，函数的最大值为，
的最小值为，A错误；

对于，函数且在上是减函数，
，解得的取值范围是，B正确；

对于，在同一坐标系中，函数与互为反函数，两个函数的图象关于轴对称，C正确；

对于，，
则，，故D正确．

故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了函数的最值，指数函数及其性质，二次函数，考查计算能力和推理能力，属于中档题．
根据题意可得且的最小值为，再将问题转化为，从而即可求解的 取值．
【解答】
解：在上是减函数，
故且，，
要使在上有意义，
则，解得；
而在上，
所以的最小值为，
因为对任意的，都有，
故，
即，
解得或舍，
所以，
综上，
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】

【试题解析】

【分析】本题考查对数函数的性质、对数方程属中档题．
由题意知，且又函数在区间上的最大值为，，，，即，解出，即可．

【解答】

解：函数，正实数、满足，且，

，且．

又函数在区间上的最大值为，

，，

，即，

，即，

，，

．
故答案为：

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了数形结合的思想应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点与图象的交点的关系应用．
可判断的周期为，从而作函数与在上的图象，结合图象分类讨论即可．
【解答】
解：是定义在上的偶函数，且，
则，
的周期为，
作函数与在上的图象如下，
，
在区间内恰有三个不同零点等价于函数与在上有个交点，
当时，，
解得，；
当时，，
解得，；
故答案为：  

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的对称性、单调性、周期性等基本性质，属于中档题．
指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线对称；
绝对值三角函数，周期减半，得知最小正周期为；
当时，函数值为，即可判断．
利用诱导公式使自变量的系数为正，然后根据正弦函数的单调性求解即可．

【解答】

解：函数与函数互为反函数，故它们的图象关于直线对称，正确；
函数的最小正周期，错误；
函数过点，图象关于点成中心对称图形，正确；
，
的单调递增区间满足，．
又，所以，
函数的单调递减区间是，正确．
故答案为 ．

17.【答案】解：函数是且的反函数，
且．
的图像过点，
，
，
解之得，
，
，
，
又，且，
，
． 

【解析】本题考查了指数函数及其性质、对数函数及其性质和反函数，属于中档题．
由反函数得且，代入点可得，从而得出与的解析式；
由指数、对数函数及其性质与，进行比较可得结论．
 

18.【答案】解：由于为奇函数，且定义域为，
，即，．
当时，
，
时为奇函数．
，
，
是偶函数，，
，
得到，
由此可得：的值为．
，，
又在区间上是增函数，
当时，，
由题意得
综上，的取值范围 

【解析】本题考查利用函数的奇偶性解决参数问题、利用对数函数的单调性解不等式等知识点，属于中档题．
由为定义在上的奇函数，得，解得；再根据偶函数满足，比较系数可得，由此即可得到的值．
由得，易得而定义在上的增函数在时的最小值为，从而得不等式组不难解出实数的取值范围．
 

19.【答案】解：，由指数函数单调性得
，
即，
．
又，
．
实数的取值范围为．
由知，
，由对数函数单调性得

，
即不等式的解集为．
，
函数在区间上单调递减．
当时，有最小值为，
即，
，
解得． 

【解析】本题考查了指数函数与对数函数函数的单调性、不等式与不等式组的解法，属于中档题．
利用指数函数的单调性求解；
利用对数函数的单调性求解；
利用对数函数的单调性求解．
 

20.【答案】解：当时，不等式，即，
可得，即，解得或．
不等式的解集为；
函数，
由的定义域为，即恒成立．
当时，得且，解得；
当时，恒成立，的定义域为成立．
综上得的取值范围为 

【解析】本题考查了对数函数的图象及性质的运用，属于中档题．
当时，不等式，即，根据真数大于，单调性即可求解．
的定义域为，即恒成立，对讨论即可求解．
 

21.【答案】解：函数，，
则；

，
 ，即，
故取值范围为

函数，

令，则，，
由二次函数性质得

当即时，，

当时，．

【解析】本题主要考查了对数的运算，对数不等式，对数函数的性质，函数的最值，属于中档题．
将直接代入可得结果；

由题意， ，解对数不等式即可

，令，则，利用二次函数球最值即可．

22.【答案】解：由，得，
所以．
同理可得．
由，得，即，
所以．
因为，
所以． 

【解析】本题考查对数运算，属于中档题．
先由条件得，，再利用，得，解之即可．