7.2古典概型 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）

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7.2古典概型北师大版（ 2019）高中数学必修第一册同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成.为了研究每周累计户外暴露时间(单位：h)与近视发病率的关系，对某中学高一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：在每周累计户外暴露时间不少于28h的4名学生中，随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为(    )A. 34 B. 23 C. 12 D. 13在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．若从鳖臑的六条棱中任取两条棱，则它们互相垂直的概率是P1；若从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面(要求棱不在面上)，则它们互相垂直的概率是P2；若从鳖臑的四个面中任取两个面，则它们互相垂直的概率是P3.则P1，P2，P3的值分别是．(    )A. 13，16，12 B. 13，16，16 C. 16，12，13 D. 13，12，16从1，2，3，4，5这5个数中任选两个不同的数分别作为一个对数的底数和真数构成一个对数值，则所得对数值不大于1的概率为(    )A. 58 B. 12 C. 38 D. 310袋中有红、黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，记事件A表示“3次抽到的球全是红球”，事件B表示“3次抽到的球颜色全相同”，事件C表示“3次抽到的球颜色不全相同”，则(    )A. 事件A与事件B互斥 B. 事件B与事件C不对立C. P(A)=78 D. P(A∪C)=34一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球为X，则下列算式中等于C221C41+C222C262的是(    )A. P(00 THENy=SQR(x)ELSEy=x/2+1END IFPR1NT yEND若输入的x的值为m和输入的x的值为n(m0x2+1,x⩽0的函数值，画出分段函数的图象，由图象可得n−m的范围．【解答】解：由题意，y=x,x>0x2+1,x⩽0,要使y的值相同，则m≤0，n>0，由图可知n−m∈[1,2)，故答案为[1,2)．  16.【答案】1116 【解析】【分析】本题考查了概率的基本性质，属于中档题．先求得P(A)，P(B)，P(AB)，再利用P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)计算可得．【解答】解：因为分别在个、十、百、千位档中各随机拨上一颗下珠或拨下一颗上珠，共可以组成24=16个不同的数，其中能被3整除的数为事件A，有5511,1155,1515,5151,5115,1551，即n(A)=6，则P(A)=616=38，能被5整除的数为事件B，有5555,5515,5115,5155,1115,1515,1155,1555，即n(B)=8，则P(B)=816=12．既能被3整除又能被5整除的数为事件AB，有1155,1515,5115，即n(AB)=3，则P(AB)=316，故P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=38+12−316=1116．故答案为：1116．  17.【答案】解：(1)对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，则有{(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)}共10种，设小明只能答对4个问题的编号为：a，b，c，d，则小明在第一轮得40分，有{(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)}共6种，则小明在第一轮得40分的概率为：610=35;(2)由(1)知，小明在第一轮得40分的概率为35，则小明在第一轮得0分的概率为：1−35=25，依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分，∴当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：P1=0.5×0.5×[0.5×(1−0.5)+(1−0.5)×0.5]=0.125，P2=35×(0.4×0.6+0.6×0.4)=0.288，当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：P3=0.5×0.5×0.5×0.5=0.0625，P4=35×0.4×0.4=0.096;当第一轮得0分，第二轮答对两题得60分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：P5=[0.5×(1−0.5)+(1−0.5)×0.5]×0.5×0.5+(1−0.5)×(1−0.5)×0.5×0.5=0.125+0.0625=0.1875，P6=25×0.4×0.4=0.064;∴小芳晋级复赛的概率为：P1+P3+P5=0.125+0.0625+0.1875=0.375，小明晋级复赛的概率为：P2+P4+P6=0.288+0.096+0.064=0.448，∵0.448>0.375，∴小明更容易晋级复赛． 【解析】本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用，属于中档题．(1)对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e，设小明只能答对4个问题的编号为：a，b，c，d，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率;(2)依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分;或第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分;或第一轮得0分，第二轮答对两题得60分四种情况分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论．18.【答案】解：设A=任选一道灯谜，甲猜对”，B=任选一道灯谜，乙猜对”，C=任选一道灯谜，丙猜对”，A，B，C彼此相互独立，则由古典概型概率计算公式可知，P(A)=1220=35,P(B)=820=25,P(C)=n20，所以P(A)=25,P(B)=35,P(C)=1−n20．(1)记D=“甲、乙两个同学恰有一个人猜对”，则P(D)=P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=35×35+25×25=1325，答：任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率为1325；(2)记E=“甲、乙、丙三个人至少有一个人猜对”，则P(E)=1−P(ABC)=1−P(A)P(B)P(C)=1−25×35×(1−n20)=2225，解得n=10． 【解析】本题考查互斥事件、对立事件以及相互独立事件的概率计算．(1)首先根据古典概型概率公式分别求出三位同学答对的概率，利用互斥事件和相互独立事件的概率公式即可求解；(2)利用对立事件以及相互独立事件的概率公式得到关于n的方程即可求解．19.【答案】解：(1)从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件为A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，根据已知得P(A)+P(B)+P(C)=1P(A)+P(B)=59P(B)+P(C)=23，解得  P(A)=13P(B)=29P(C)=49∴从中任取一球，得到红球、黄球、蓝球的概率分别是13,29,49．(2)由(1)知红球、黄球个数分别为3，2，用1，2，3表示红球，用a，b表示黄球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，(m,n)表示试验的样本点，则样本空间Ω=m,nm,n∈1,2,3,a,b，所以nΩ=25，每个样本点出现的可能性相同，因此这个试验是古典概型，设A=“取出两球颜色相同”，A=1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,3,3,a,a,a,b,b,a,b,b，所以nA=13，所以PA=1325． 【解析】本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用，属于中档题．(1)从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件为A，B，C，由于A，B，C为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到红球、黄球、蓝球的概率;(2)红球、黄球、个数分别为3，2，利用古典概型概率公式即可求解．20.【答案】(1)由服务次数在[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知10M=0.25，所以M=40.因为频数之和为40，所以10+25+m+2=40，解得m=3，故p=340=0.075.因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a=2540×5=0.125．(2)因为该校高一年级的学生有360人，服务次数在[15,20)内的频率是2540=0.625，所以估计该校高一年级的学生参加社区服务的次数在[15,20)内的人数为360×0.625=225．(3)所取样本中，参加社区服务的次数不少于20的学生共有3+2=5(人)，设在区间[20,25)内的人为a1，a2，a3，在区间[25,30]内的人为b1，b2，任选2人，所有的样本点为(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a2,a3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a3,b1)，(a3,b2)，(b1,b2)，共10个样本点，而两人都在[20,25)内的有(a1,a2)，(a1,a3)，(a2,a3)，共3个样本点，所以至多1人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率为1−310 =710． 【解析】略21.【答案】解：(1)用x，y表示两个球的编号，则样本点可以用(x,y)表示，样本空间Ω={(x,y)∣x,y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},x