5.1方程解的存在性及方程的近似解 北师大版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含答案解析）
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 设函数关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
- 方程的解的个数为( )
A. B. C. D.
- 已知关于的方程的两个不相等的实数根都大于，则实数的取值范围是 ( )
A. B.
C. D. 或
- 设，，均为正数，且，，，则( )
A. B. C. D.
- 已知函数满足且，则在上的零点( )
A. 至多有一个 B. 有个或个 C. 有且仅有一个 D. 一个也没有
- 已知函数且在上无零点，在上有零点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
- 已知函数，若存在个零点，则的取值范围是．( )
A. B. C. D.
- 已知函数恰有两个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
- 关于的方程有四个不同的实数解，则实数的值可能是( )
A. B. C. D.
- 已知函数，若关于的方程有个不同的实根，则的值可能为( )
A. B. C. D.
- 已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 若没有零点，则
B. 若恰有个零点，则
C. 若恰有个零点，则或
D. 若恰有个零点，则
- 已知函数，则方程的根的个数可能为
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 设，函数恰有三个不同的零点，，，则实数的值为 ．
- 已知函数若存在，使得，则的取值范围是 ．
- 已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围是 ．
- 函数的零点为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 函数的定义域为，且存在唯一常数，使得对于任意的总有成立．
若，求
求证：函数符合题设条件．
- 已知函数．
若，求不等式的解集；
若关于的方程有解，求的取值范围． - 若函数为上的奇函数，且当时，．
求在的解析式；
若，，试讨论取何值时，零点的个数最多？最少？ - 已知函数，．
若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；
若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． - 利用信息技术，用二分法求函数的零点精确度为．
- 借助信息技术，用二分法求：
方程的最大的根精确度为；
函数和交点的横坐标精确度为．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分段函数的应用及函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．
由题意作函数的图象，由得或，要使方程恰有个不同的实数根，则有个不同的实数根，即函数与有个交点，数形结合即可得解．
【解答】
解：因为 可画函数图象如下所示：
因为，
，
或，
要使方程恰有个不同的实数根，则有个不同的实数根，
即函数与有个交点，由图可得，即．
2.【答案】
【解析】
【分析】
方程的解的个数即为函数与函数的交点个数，结合图象可得论．
本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于中档题．
【解答】
解：因为方程的解的个数即为函数与函数的交点个数，
在同一直角坐标系中，画出草图可得：
交点个数只有一个，
故方程的解的个数为，
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知，二次方程的判别式大于，且对称轴在直线的右侧，当时对应的函数值大于，由此联立不等式组得答案．
本题考查一元二次方程根的分布与系数间的关系，考查利用“三个二次”结合求解字母的取值范围问题，属中档题．
【解答】
解：关于的方程的两个不相等的实数根都大于，
，
解得：或；
解得：；
解得：．
取交集，可得．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数函数与指数函数的图象的应用，考查基本知识的应用．
画出函数的图象，然后推出、、的大小即可．
【解答】
解：在平面直角坐标系中画出函数，，，图象，如图：
可得．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
直接利用函数的零点判断定理以及二次函数的性质判断即可．
本题考查函数的零点判断定理的应用，是基本知识的考查．
【解答】
解：函数是连续函数，且，
由零点判断定理，且由二次函数的性质可知在上的零点个数有且只有一个，
故选C．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的零点与方程的根的关系，涉及指数函数及其性质，对数函数及其性质，属于中档题．
将问题转化成研究方程在上无实数根，在上有实数根，即考查函数的交点情况，作出函数图像数形结合即可得到答案．
【解答】
解：函数在上无零点，在上有零点，
即方程在上无实数根，在上有实数根，
即在上无实数根，在上有实数根，
设，
函数在上单调递增，且，
恒成立，
若，则在时，，故不满足条件．
由于与的图象在上无交点，在上有交点，
根据函数的图象可知，
解得，
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键，属于中档题．
由得，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．
【解答】
解：函数存在个零点，
即关于的方程有个不同的实根，
即函数的图象与直线有个交点，
作出直线与函数的图象，如图所示，
由图可知，，解得．
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了分段函数，函数的零点与方程的根的关系，属于基础题．
当时，显然有一个零点，要使函数恰有两个零点，则必有一个零点，结合的单调性，列式可得结果．
【解答】
解：函数
当时，显然有一个零点，所以要使函数恰有两个零点，则必有一个零点，
又在上单调递增，
所以，解得．
故本题选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
分离参数，把方程变为利用数形结合的思想求解．
本题考查函数的零点与方程根的关系，在解决方程解的个数问题时常常采用分离参数法，把问题转化为直线与函数的图象的交点问题．
【解答】
解：对于关于的方程，
当时，方程只有一个解，则，，
因此方程可变为．
作出函数的图象和直线，如图，
函数为偶函数，且当时，，当且仅当时取等号，
所以函数的最小值为，
因此当，即时，直线与函数的图象有四个不同的交点，即原方程有四个解．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数零点性质的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．
结合题意可先对进行分类：分及两种情况，结合函数的零点性质分别进行求解．
【解答】
解：由题意可得时，显然不成立；
当时，令，
则由得，，，，
又方程有个不同的实根，
由题意结合可得，即，解得，
故答案选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数零点问题，属于中档题．
当时，，所以不是的零点；当时，则的零点个数等价于直线与函数图象的交点个数，结合图象即可作答．
【解答】
解：当时，，所以不是的零点；
当时，由，即，得，
则的零点个数等价于直线与函数图象的交点个数，
作出函数的大致图象如图所示，
由图象知：要使与函数没有交点，则的取值范围为，
故若没有零点，则，故A正确；
由图象知：要使与函数有个交点，则的取值范围为，
故若恰有个零点，则，故B错误；
由图象知：要使与函数有个交点，则或，故若恰有个零点，则或，故C正确；
由图象知：：要使与函数有个交点，则的取值范围为，故若恰有个零点，则，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的图象的应用，考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
作出函数的图象，设，则，分类讨论结合的图象，即可得到结论．
【解答】
解：函数
作出函数的图象，如图所示：
由于，
设，则，若这个方程有根，则两根关于直线对称．
若，则此时，根据图象有两个交点；
若，则此时，，
当，，此时图象有个交点；
当，，此时图象有个交点．
找不到个交点的情况．
故答案ACD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的零点与方程根的关系，根据函数为偶函数，然后分类讨论即可求出结果，属于中档题．
设函数问题转化为的三个实数解，根据函数为偶函数，然后分类讨论即可求出结果．
【解答】
解：设是偶函数，
故方程的三个零点转化为的三个实数根，
则三个实数解关于数轴原点对称分布，从而必有．
当时，，所以，，进而可得，
即
，等号成立的条件是当且仅当，
当时，在上单调递增，且当时，
当时，在上单调递减，且当时，
又因为是其中的一个零点，所以，结合，所以．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了根与系数的关系，属于中档题．
作出函数的图象，令，再分段解方程，利用根与系数的关系即可求解．
【解答】
解：作出函数的图象如图，
令，
由图可知，
则方程的两根为，，
由得，
故由韦达定理可知：，
根据函数的对称性可知，
所以，
由于，故，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的零点与方程根的关系和函数的图象．
由函数有三个零点，则与的图象有三个交点，由图象可得结果．
【解答】
解：函数的图象如图，
由函数有三个零点，
则与的图象有三个交点，
如图，可得，
故答案为 ．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查函数零点的求解，指数方程以及指数和对数的转化公式是解决本题的关键．根据函数零点的定义结合指数方程进行求解即可．
【解答】
解：由得，
即，
，，
即，即，
即函数零点为，
故答案为：．
17.【答案】解：由条件，得，又，所以．
而，又，所以，所以．
易知的定义域为，
假设存在常数满足，等价于，
设，易知该函数为增函数，又，，
所以，存在唯一的常数使函数满足题设条件．
【解析】本题考查抽象函数及其应用，属于中档题．
由题意求得，，即可得解；
假设存在常数满足，等价于，设，由零点存在性定理即可得解．
18.【答案】解：当时，由，得，
即，
则，解得，
故不等式的解集为；
，即，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
的取值范围是．
【解析】本题考查指数不等式的解法，考查函数零点与方程根的关系，利用基本不等式求最值，是中档题．
把代入，求解关于的一元二次不等式，进一步求解指数不等式得答案；
由，分离，再由基本不等式求最值即可．
19.【答案】解：当时，；
当时，，根据定义可知，，
故．
在坐标系中，作出函数的图象，
当时，有个零点；
当或时，有个零点；
当时，有个零点；
当或时，有个零点；
当或时，有个零点；
故当时，零点的个数最多；当或时，零点的个数最少．
【解析】本题考查函数的奇偶性，函数的零点个数问题，属于中档题．
利用奇函数的定义求出函数的解析式；
作出函数的图象，数形结合进行讨论．
20.【答案】解：方程，即，变形得，
显然，已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程有且仅有一个等于的解或无解，
．
当时，不等式恒成立，即对恒成立，
当时，显然成立，此时；
当时，可变形为，
令
因为当时，，当时，，所以，故此时．
综合，得所求实数的取值范围是．
【解析】将方程变形，利用已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程有且仅有一个等于的解或无解，从而可求实数的取值范围；
将不等式分离参数，确定函数的值域，即可求得实数的取值范围．
本题考查函数零点与方程根的问题，考查分离参数法的运用，考查恒成立问题，正确变形是解题的关键．
21.【答案】解：用信息技术作出函数的图象如图所示，
它在内与轴有交点．
因为，，则，函数在内至少有一个零点．
因为函数在上是增函数，所以它在内只有一个零点．
用二分法可得函数的零点的近似值可取为．
【解析】本题考查二分法求函数的零点．
先用信息技术作出的图象，知它在内与轴有交点，由零点判定定理可得它在内只有一个零点，再由二分法可得所求的零点．
22.【答案】解：令，由函数图象可知，
它分别在，和内与轴有交点，
所以方程的最大的根应该在内．
由下面的表格：
区间 | 区间长度 | 区间中点 | 区间中点的函数 |
| |||
． | |||
| |||
|
|
|
由于，
可得原方程的最大根约为．
交点的横坐标即为方程的根，由图象可知两函数只有一个交点，
令．
因为，，，
于是可知，交点在内．
区间 | 中点 | 中点 |
|
|
，
交点的横坐标为．
【解析】本题考查的知识点是二分法求函数的近似解，本题运算量大，必须借助计算器才能完成，熟练掌握二分法的步骤及零点存在定理，是解答的关键．
令，由函数图象可知最大的实根在区间内，再由二分法，结合精确度得到最大根的估计值，
令，由函数图象结合二分法即可求得交点的横坐标约为．
