人教版九年级上册第二十五章 概率初步综合与测试测试题

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第25章 概率初步 解答题

1．（2022·广东河源·九年级期末）如图，一条直线上有两只蚂蚁，甲蚂蚁在点A处，乙蚂蚁在点B处，假设两只蚂蚁同时出发，爬行方向只能沿直线AB在“向左”或“向右”中随机选择，并且甲蚂蚁爬行的速度比乙蚂蚁快．
(1)甲蚂蚁选择“向左”爬行的概率为；
(2)利用列表或画树状图的方法求两只蚂蚁开始爬行后会“触碰到”的概率．

2．（2022·广东揭阳·九年级期末）四川省某地区为了了解2021年初中毕业生毕业去向，对部分九年级学生进行了抽样调查，就九年级学生毕业后的四种去向：A．读普通高中，B．读职业高中，C．直接进入社会就业，D．其他（如出国等），进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图．
（1）该地区共调查了 　 　名九年级学生；
（2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整；
（3）老师想从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选择两位同学了解他们毕业后的去向情况，请用画树状图或列表法求选中甲同学的概率．

3．（2022·广东佛山·九年级期末）某数学小组为调查重庆实验外国语学校周五放学时学生的回家方式，随机抽取了部分学生进行调查，所有被调查的学生都需从“：乘坐电动车，：乘坐普通公交车或地铁，：乘坐学校的定制公交车，：乘坐家庭汽车，：步行或其他”这五种方式中选择最常用的一种，随后该数学小组将所有调查结果整理后绘制成如图不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．

（1）本次调查中一共调查了　　名学生；扇形统计图中，选项对应的扇形圆心角是　　度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若甲、乙两名学生放学时从、、三种方式中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率．
4．（2022·广东肇庆·九年级期末）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A，B，C，D[A等级（0≤x≤100），B等级（80≤x＜90），C等级（70≤x＜80），D等级（x＜70）]四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　 　；扇形统计图中，C等级所占的百分比是 　 　；D等级对应的扇形圆心角为 　 　度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有 　 　人．
（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．

5．（2022·广东·东莞市光明中学九年级期末）2022年冬奥会将在中国北京举行，小明和小刚都计划去观看冬奥项目比赛．他们都喜欢的冬奥项目分别是：A．“短道速滑”、B．“冰球”、C．“花样滑冰”和D．“跳台滑雪”．小明和小刚计划各自在这4个冬奥项目中任意选择一个观看，每个项目被选择的可能性相同．
（1）小明选择项目C．“花样滑冰”的概率是多少？
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率．
6．（2022·广东广州·九年级期末）一只箱子里共3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率．
7．（2022·广东阳江·九年级期末）为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织全体学生进行了党史知识学习，并举行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，学生的得分为整数，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级（81—90分）为一等奖，C级（71—80分）为二等奖，D级（70分及以下）为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)本次被抽取的部分学生人数是 　 　人；并把条形统计图补充完整；
(2)九年级一班有4名获特等奖的学生小明、小亮、小聪、小军，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小军被选中的概率．
8．（2022·广东广州·九年级期末）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，再从中摸取一个小球，又放回．小明摸取了60次，结果统计如下：
标号
1
2
3
4
次数
16
14
20
10
(1)上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是 　 　；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是 　 　；
(2)若小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，再从中摸取一个小球，请用列举法求小明两次摸取到小球的标号相同的概率．
(3)若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率．
9．（2022·广东广州·九年级期末）一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4随机摸取一个小球后，不放回，再随机摸出一个小球，分别求下列事件的概率：
(1)两次取出的小球标号和为奇数；
(2)两次取出的小球标号和为偶数．
10．（2022·广东·东莞市东城中学九年级期末）近几年，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用，下面是某同学收集的四个共享经济领域的图标和数据．

(1)将收集到的四张卡制成标号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）．背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率（这四张卡片分别用它们的编号A，B，C，D表示）．
(2)据调查2021年，某共享公司一月份营业额是5千万，二、三月份的营业额连续增长，到三月份营业额是7.2千万，求该共享公司营业额的月平均增长率．
11．（2022·广东珠海·九年级期末）现有A、B两个不透明的袋子，A袋中的两个小球分别标记数字1，2；B袋中的三个小球分别标记数字3，4，5．这五个小球除标记的数字外，其余完全相同．分别将A、B两个袋子中的小球摇匀，然后小明从A、B袋中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求小明摸出的这两个小球标记的数字之和为5的概率．
12．（2022·广东中山·九年级期末）甲、乙、丙、丁4人聚会，每人带了一件礼物，4件礼物外盒包装完全相同，将4件礼物放在一起．甲先从中随机抽取一件，不放回，乙再从中随机抽取一件，求甲、乙两人抽到的都不是自己带来的礼物的概率．
13．（2022·广东茂名·九年级期末）为了培养学生成为具有“社会责任、学术素养、创新能力、国际视野”的未来人才，我校提出“让每一个孩子成长为一棵参天大树”的“树”课程理念，数学科开发了四门“树”课程供学生选择：A．趣味数学；B．棋海巡航；C．中外数学史；D．数独与幻方．某年级共有100名学生选择了A课程，为了解本年级选择A课程学生的学习情况，从这100名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制）分成六组，绘制成频数分布直方图．

(1)该年级学生小李随机选取了一门课程，则小李选中课程C的概率是 ；
(2)根据题中信息，估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数是 ；
(3)该年级每名学生选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程C．那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或树状图的方法加以说明．
14．（2022·广东江门·九年级期末）如图，一个可以自由转动的转盘被均匀分成3等份，每份分别标上数字﹣3，0，2．现做一个游戏，小黄先转动转盘一次，转盘停止后，指针指向的数字记为x，小林再转动转盘一次，转盘停止后，指针指向的数字记为y，从而得到A（x，y）．（注：若指针停在等分线处，则重新转动．）


(1)用列表或画树状图的方法列出所有可能的点A的坐标；
(2)若规定点A（x，y）在第一象限内小黄获胜，点A（x，y）在第三象限内小林获胜，此游戏公平吗？并说明理由．
15．（2022·广东汕头·九年级期末）一个不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球1个，黄球1个，蓝球1个．
(1)现从中任意摸出一个球，则摸到黄球的概率为 ；
(2)现规定：摸到红球得6分，摸到黄球得4分，摸到蓝球得3分，甲同学先随机摸出一个小球（然后放回），乙同学再随机摸出一个小球为一次游戏．请用画树状图或者列表法，求一次游戏甲、乙摸球所得分数之和不低于9分的概率．
16．（2022·广东潮州·九年级期末）从，，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，用列表法或画树状图求该点在第三象限的概率．
17．（2022·广东·广州市番禺区恒润实验学校九年级期末）小英和小明姐弟二人准备一起去观看端午节龙舟赛．但因家中临时有事，必须留下一人在家，于是姐弟二人采用游戏的方式来确定谁去看龙舟赛．游戏规则是：在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同．游戏时先由小英从口袋中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，再由小明从口袋中摸出1个乒乓球，记下颜色．如果姐弟二人摸到的乒乓球颜色相同．则小英赢，否则小明赢．
（1）请用树状图或列表的方法表示游戏中所有可能出现的结果．
（2）这个游戏对游戏双方公平吗？请说明理由．
18．（2022·广东广州·九年级期末）甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．
（1）若已确定甲打第一场，再从其余3位同学中随机选取1位，则恰好选中乙同学的概率是 ．
（2）请用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
19．（2022·广东韶关·九年级期末）将4张印有“梅”“兰”“竹”“菊”字样的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在一个不透明的盒子中，将卡片搅匀．
（1）从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“兰”字的卡片的概率为　　．
（2）先从盒子中任意取出1张卡片，记录后放回并搅匀，再从中任意取出1张卡片，求取出的两张卡片中，至少有1张印有“兰”字的概率（请用画树状图或列表等方法求解）．
20．（2022·广东惠州·九年级期末）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．
（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；
（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．
21．（2022·广东韶关·九年级期末）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率．
（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由．
22．（2022·广东·台山市教师发展中心九年级期末）甲、乙两人分别从A、B、C这3个景点随机选择2个景点游览．
（1）求甲选择的2个景点是A、B的概率．
（2）甲、乙两人选择的2个景点恰好相同的概率是 ．
23．（2022·广东韶关·九年级期末）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球(除标号外无其它差异).从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示.若x＋y为奇数，则甲获胜；若x＋y为偶数，则乙获胜.
(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
24．（2022·广东东莞·九年级期末）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　　；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
25．（2022·广东湛江·九年级期末）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
（）请直接写出袋子中白球的个数．
（）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
26．（2022·广东河源·九年级期末）长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠．
（1）写出所有的选购方案（用列表法或树状图）；
（2）如果在上述选购方案中，每种方案被选中的可能性相同，那么A型器材被选中的概率是多少．
27．（2022·广东·湖景中学九年级期末）在一不透明的袋子中装有四张标有数字的卡片，这些卡片除数字外其余均相同．小明同学按照一定的规则抽出两张卡片，并把卡片上的数字相加，下图是他所画的树状图的一部分．

（1）由上图分析，该游戏规则是：第一次从袋子中随机抽出一张卡片后　　　　(填“放回”或“不放回”)，第二次随机再抽出一张卡片；
（2）帮小明同学补全树状图，并求小明同学两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率．
28．（2022·广东惠州·九年级期末）有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着3cm、7cm、9cm；乙盒子中装有4张卡片，卡片上分别写着2cm、4cm、6cm、8cm；盒子外有一张写着5cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度．
（1）请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；
（2）求这三条线段能组成直角三角形的概率．
29．（2022·广东·铁一中学九年级期末）随着“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某数学兴趣小组随机调查了我区50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：
步数
频数
频率
0≤x＜4000
8
0.16
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
12
a
12000≤x＜16000
b
0.2
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜24000
2
0.04


请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出a，b的值并补全频数分布直方图；
（2）我市约有5000名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？
（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，用树形图或列表法求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．
30．（2022·广东云浮·九年级期末）某学校自主开发了A书法、B阅读，C绘画，D器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．
（1）若学生小玲计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法；
（2）若学生小强和小明各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？
31．（2022·广东北江实验学校九年级期末）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：

(1)这次活动共调查了　 　人；
(2)在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　 　；
(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
32．（2022·广东河源·九年级期末）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有(m，n)可能的结果；
（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
33．（2022·广东广州·九年级期末）为落实“双减”，进一步深化白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，2021年12月3日开展“双减”背景下白云区初中数学提升工程成果展示现场会，其中活动型作业展示包括以下项目：①数独挑战；②数学谜语；③一笔画；④24点；⑤玩转魔方．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：

（1）本次随机抽查的学生人数为__________人，补全图（Ⅰ）；
（2）参加活动的学生共有500名，可估计出其中最喜爱①数独挑战的学生人数为__________人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为__________度；
（3）计划在①，②，③，④四项活动中随机选取两项作为重点直播项日，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中①，④这两项活动的概率
34．（2022·广东珠海·九年级期末）一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球．
（1）请你用树状图或列表法列出所有可能的结果；
（2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率．
35．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学九年级期末）面对突如其来的疫情，全国人民响应党和政府的号召，主动居家隔离．随之而来的，则是线上买菜需求激增．某小区为了解居民使用买菜APP的情况，通过制作无接触配送置物架，随机抽取了若干户居民进行调查（每户必选且只能选最常用的一个APP），现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：（A：美团优选，B：叮咚买菜，C：每日优鲜，D：盒马生鲜）

(1)本次随机调查了 　 　户居民；
(2)补全条形统计图的空缺部分；
(3)某日下午，张阿姨想购买苹果和生菜，各APP的供货情况如下：美团优选（A）仅有苹果在售；叮咚买菜（B）仅有生菜在售；每日优鲜（C）仅有生菜在售；盒马鲜生（D）的苹果和生菜均已全部售完．求张阿姨随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率．
36．（2022·广东茂名·九年级期末）为了解学校落实“双减”政策情况，教育局到某校九年级随机对部分学生就课后作业量做了问卷调查，将调查平均每天完成作业时间分成四类，A：90分钟以内．B：90-120分钟；C：120-150；D：150分钟以上；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：


(1)本次调查一共调查了________名同学、其中D类扇形的圆心角为_______度；
(2)将上面的条形统计图补充完整；
(3)为了解作业设置科学合理性，调查人员想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
37．（2022·广东广州·九年级期末）为了更好地宣传垃圾分类，某校九（1）班学生成立了一个“垃圾分类”宣传小组，其中男生2人，女生3人．
（1）若从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是 　 　；
（2）若从这5人中选2人进社区宣传，请用树状图或列表法求恰好选中一男一女的概率．
38．（2022·广东佛山·九年级期末）小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小明任意按下一个开关，则小明打开走廊灯的概率是多少？
（2）若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明．

39．（2022·广东惠州·九年级期末）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题；

（1）接受问卷调查的学生共有 人，并补全统计图；
（2）扇形统计图中“不了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（3）若该中学共有学生人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为 人；
（4）若从对校园安全知识达到“基本了解”程度的名男生和名女生中随机抽取人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到名男生和名女生的概率．
40．（2022·广东佛山·九年级期末）某省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、英语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在思想政治、化学、生物、地理4科中任选2科．
(1)假定在“1”中选择历史，在“2”中已选择地理，则选择生物的概率是________；
(2)求同时选择物理、化学、生物的概率．
41．（2022·广东深圳·九年级期末）深圳某地铁站入口有A，B，C三个安全检查口，假定每位乘客通过任意一个安全检查口的可能性相同．张红与李萍两位同学需要通过该地铁入口乘坐地铁．
(1)张红选择A安全检查口通过的概率是 　　；
(2)请用列表或画树状图的方法求出她俩选择相同安全检查口通过的概率．
42．（2022·广东广州·九年级期末）某校数学社团活动小组进行“用数据谈生活节水”的项目研究，从该学校随机抽取部分学生所在的家庭进行月用水量x（单位：立方米）调查，绘制如下不完整的统计图表：
月用水量/立方米
频数/户
频率
0≤x＜5
1
0.02
5≤x＜10
4
0.08
10≤x＜15
10
n
15≤x＜20
15
0.3
20≤x＜25
m
0.24
25≤x＜30
5
0.1
30≤x＜35
3
0.06


请根据图表提供的信息，回答下列问题：
(1)直接写出m，n的值，并补全频数分布直方图；
(2)数学社团活动小组从用水量为5≤x＜10立方米的甲，乙，丙，丁4户家庭中随机抽取2户进行采访，恰好选中甲和乙两户家庭的概率是多少？
43．（2022·广东阳江·九年级期末）将一副扑克牌中点数为“2”、“3”、“4”、“6”的四张牌背面朝上洗匀，先从中抽出1张牌，记录下牌面点数为x，再从余下的3张牌中抽出1张牌，记录下牌面点数为y．设点P的坐标为（x，y）．
（1）请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标．
（2）求点P在抛物线y＝x2+x上的概率．
44．（2022·广东广州·九年级期末）在“双减”政策下，某学校自主开设了A书法、B篮球、C足球、D器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．若小明和小刚两位同学各计划选修一门课程，请用列表或树状图求他们两人恰好同时选修球类的概率．
45．（2022·广东清远·九年级期末）国庆期间，某电影院上映了《长津湖》《我和我父辈》《五个扑水的少年》三部电影．甲、乙两同学从中选取一部电影观看．求甲、乙两同学选取同一部电影的概率．
46．（2022·广东揭阳·九年级期末）我国新冠灭活疫苗主要来自三家生物制品公司，分别是A：科兴中维、B：北京所、C：武汉所．灭活疫苗一般需要接种2针，假如一人两次接种的疫苗的生产公司随机，请你用列表或树状图的方法求出一个人两次接种的疫苗刚好是同一家公司生产的概率．
47．（2022·广东佛山·九年级期末）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是黄球的概率为．
(1)求袋中黄球的个数；
(2)第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色一次是红色、另一次是黄色的（第一次可能是红色也可能是黄球）概率．
48．（2022·广东韶关·九年级期末）举世瞩目的港珠澳大桥已于2018年10月24日正式通车，这座大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“新世界七大奇迹”，车辆经过这座大桥收费站时，从已开放的4个收费通道、、、中可随机选择其中一个通过．
(1)一辆车经过收费站时，选择通道通过的概率是______．
(2)用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
49．（2022·广东·兴宁市实验学校九年级期末）某市准备举行初中生“党史知识竞赛”，学校通过初赛选出了2位男生A、B和2位女生C、D共4位选手，准备从4人中任选2人代表学校参加比赛．求所选代表都是女生的概率．
50．（2022·广东汕尾·九年级期末）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A：篮球   B：乒乓球C：羽毛球   D：足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有　 　人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）

参考答案：
1．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，由爬行方向只能沿直线AB在“向左”或“向右”中随机选择，直接利用概率公式求解即可求得答案．
（2）根据题意画出树状图或列表，然后由图表求得所有等可能的结果与两只蚂蚁开始爬行后会“触碰到”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：解：（1）∵爬行方向只能沿直线AB在“向左”或“向右”中随机选择，
∴甲蚂蚁选择“向左”爬行的概率为：．
（2）画树状图得：

∵共有4种情况，由于甲蚂蚁爬行的速度比乙蚂蚁快，两只蚂蚁开始爬行后会“触碰到”的2种情况：甲向右乙向右，甲向右乙向左，
∴两只蚂蚁开始爬行后会“触碰到”的概率为：．
考点：1．列表法或树状图法；2．概率．
2．（1）200，8%；（2）见解析；（3）
【解析】
（1）根据统计图由A的人数和百分比可以得到本次调查的九年级学生数，根据C的人数除以总人数可得百分比；
（2）根据题目中的数据可以得到统计图中未知的数据，从而可以解答本题；
（3）根据列表法求选中甲同学的概率．
解：（1）该地区调查的九年级学生人数为110÷55%=200（人），
故答案为200；
（2）B类别人数为200×35%=70（人），C类别所占百分比为×100%=8%，
补全图形如下：

（3）列表如下，

甲
乙
丙
丁
甲

甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲

乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙

丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙


共有12中等可能情况，选中甲的有6中情况，
选中甲同学的概率为
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
3．（1）200，72；（2）见解析；（3）．
【解析】
（1）根据B的人数以及百分比得到被调查的人数，再根据扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°进行计算即可；
（2）求出C组的人数即可补全图形；
（3）列表得出所有等可能结果，即可运用概率公式得甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具回家的概率．
解：（1）本次调查的学生人数为（名，
扇形统计图中，项对应的扇形圆心角是，
故答案为：200；72；
（2）选项的人数为（名，
补全条形图如下：

（3）画树状图如图：

共有9个等可能的结果，甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的结果有3个，
甲、乙两名学生恰好选择同一种交通工具上班的概率为．
此题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图和概率公式，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出解题的有关信息，正确画出树状图．
4．（1）20，30%，42，450；（2）
【解析】
（1）由A等级的人数和所对应的圆心角的度数求出抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，再由概率公式求解即可．
解：（1）抽取的学生人数为：15÷＝60（人），
∴a＝60−15−18−7＝20，C等级所占的百分比是18÷60×100%＝30%，D等级对应的扇形圆心角为：360°×＝42°，
估计成绩为A等级的学生共有：1800×1560＝450（人），
故答案为：20，30%，42，450；
（2）95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，其他两人记为丙、丁，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，
∴甲、乙两人至少有1人被选中的概率为．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（1）；（2）
【解析】
（1）根据概率的概念直接求解即可；
（2）同过画树状图的方法，列出所有可能，继而得出概率．
解：（1）∵在这四个项目任选一项，每项被选中的可能性相同，
∴在四个项目中，李欣选择项目C．“花样滑冰”的概率是；
（2）画树状图分析如下：

共有16种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一项目观看的结果有4种，
∴小明和小刚恰好选择同一项目观看的概率为．
本题考查了用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．掌握概率的概念和求概率的方法是解题的关键．
6．（1）P（摸出白球）= ；（2）P（两次摸出白球）
【解析】
（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是白球的结果数，然后根据概率公式，即可求解．
解：（1）P（摸出白球）=
(2)根据题意画出树状图，如下：

共有6种等可能的结果，其中两次摸出白球有2种结果
所以P（两次摸出白球）．
本题主要考查了列表法与树状图法，能利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率是解题的关键．
7．(1)60，图见解析
(2)
【解析】
（1）利用抽样比例，抽样人数比百分占比即可求解；利用数据补充完成即可；
（2）把小明、小亮、小伟、小军分别记为A、B、C、D，画树状图如图即可求解；
(1)
本次抽样测试的人数为：24÷40%＝60（人），故答案为：60；
D组人数：60-3-18-24=15
把条形统计图补充完整如图：


(2)
把小明、小亮、小伟、小军分别记为A、B、C、D，画树状图如图：


共有12种等可能的结果，小军被选中的结果有6种，
则小军被选中的概率为：．
本题主要考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，关键在仔细分析和对应数据的计算；
8．(1)，

(2)

(3)

【解析】
（1）摸取到“2”号小球的频率为，摸到“2”号小球的概率是；
（2）小明两次摸取到小球的标号为共16种可能的情况，其中两次标号相同的为共4种可能的情况，进而可求概率；
（3）列举法可知一次摸出两个小球的有标号为共6种可能情况，标号和为5有两种情况，进而可求概率．
(1)
解：摸取到“2”号小球的频率为
摸到“2”号小球的概率是
故答案为： ．
(2)
解：列举法求小明两次摸取到小球的标号为共16种可能的情况，其中两次标号相同的为共4种可能的情况
∵
∴小明两次摸取到小球的标号相同的概率为．
(3)
解：列举法可知一次摸出两个小球的有标号为共6种可能情况，标号和为5有两种情况
∵
∴小明摸出两个小球标号的和为5的概率为．
本题考查了频率，列举法求概率．解题的关键在于正确的列举所有事件．
9．(1)；
(2)．
【解析】
（1）列出表格展示所有可能的结果，根据表格即可知共有12种可能的情况，再找到两次取出的小球标号和为奇数的情况数，利用概率公式，即可求解；
（2）找出两次取出的小球标号和为偶数的情况数，再利用概率公式，即可求解．
(1)
解：根据题意列出表格，如下表：
根据表格可知：共有12种可能的情况，其中两次取出的小球标号和为奇数的情况有8种，
故两次取出的小球标号和为奇数的概率为；
(2)
根据表格可知：两次取出的小球标号和为偶数的情况有4种．
故两次取出的小球标号和为偶数的概率为．

1
2
3
4
1

1+2=3，奇数
1+3=4，偶数
1+4=5，奇数
2
2+1=3，奇数

2+3=5，奇数
2+4=6，偶数
3
3+1=4，偶数
3+2=5，奇数

3+4=7，奇数
4
4+1=5，奇数
4+2=6，偶数
4+3=7，奇数


本题考查列表法或画树状图求概率，正确的列出表格或画出树状图是解题的关键．
10．(1)
(2)20%
【解析】
（1）列树状图求解；
（2）设该共享公司营业额的月平均增长率为x，列一元二次方程求解．
(1)
解：树状图如下：

共有12种等可能的情况，其中恰好是“共享出行”和“共享知识”的有2种，
∴P（恰好是“共享出行”和“共享知识”）=；
(2)
解：设该共享公司营业额的月平均增长率为x，依题意得
，
解得（不合题意，舍去），
答：该共享公司营业额的月平均增长率为20%．
此题考查了利用列举法求事件的概率，一元二次方程的实际应用，综合掌握各知识点是解题的关键．
11．
【解析】
作列表，共有6种可能的结果，摸出的这两个小球标记的数字之和为5的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：列表如下：

1
2
3
（1，3）
（2，3）
4
（1，4）
（2，4）
5
（1，5）
（2，5）

共有6种等可能结果，其中小明摸出的两个小球标记的数字之和为5有2种，
∴P（摸出的两个小球标记的数字之和为5）＝＝
本题考查了树状图法或列表求概率，正确画出树状图或列表是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．
【解析】
画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．
解：设甲、乙、丙、丁4人的礼物分别记为a、b、c、d，
根据题意画出树状图如图：

一共有12种等可能的结果，甲、乙2人抽到的都不是自己带来的礼物的结果有7个，
∴甲、乙两人抽到的都不是自己带来的礼物的概率为．
本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．(1)
(2)30
(3)
【解析】
（1）根据题意可以写出该年级学生小李随机选取了一门课程，小李选中课程C的概率；
（2）根据题意和直方图中的数据，可以计算出该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数；
（3）根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可得到相应的概率．
(1)
解：∵数学科开发了四门“树”课程供学生选择：A．趣味数学；B．棋海巡航；C．中外数学史；D．数独与幻方，
∴该年级学生小李随机选取了一门课程，则小李选中课程C的概率是，
故答案为：；
(2)
解：100×＝30（人），
即估计该年级选择A课程学生成绩在80≤x＜90的总人数是30，
故答案为：30；
(3)
解：树状图如下所示：

由图可得，第二次他们选择的可能性一共有9种，其中他俩第二次同时选择课程A或课程B的有两种，
故他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是．
本题考查了概率计算，由样本估计总体，树状图求概率，掌握概率=所求事件的结果数÷总的结果数是解题关键．
14．(1)见解析
(2)此游戏公平，理由见解析
【解析】
（1）画树状图，即可得出答案；
（2）共有9种等可能的结果，其中A（x，y）在第一象限内的结果有1种，点A（x，y）在第三象限内的结果有1种，再由概率公式求出小黄获胜的概率和小林获胜的概率，即可得出结论．
(1)
解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，即（-3，-3）、（-3，0）、（-3，2）、（0，-3）、（0，0）、（0，2）、（2，-3）、（2，0）、（2，2）；
(2)
解：此游戏公平，理由如下：
共有9种等可能的结果，其中A（x，y）在第一象限内的结果有1种，点A（x，y）在第三象限内的结果有1种，
∴小黄获胜的概率=小林获胜的概率=，
∴此游戏公平．
本题考查了游戏公平性、树状图法、点的坐标以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
15．(1)
(2)
【解析】
（1）根据概率公式，求得任意摸出一个球的结果总数以及摸到黄球的结果数，即可求解；
（2）利用列表法求解概率即可．
(1)
由题意可得，小球总数为3个，从中任意摸出一个球，结果总数为3，摸到黄球的结果数为1，则摸到黄球的概率为，
(2)
根据题意，列表如下：

红(6分)
黄(4分)
蓝(3分)
红(6分)
12
10
9
黄(4分)
10
8
7
蓝(3分)
9
7
6

由表可知：共有9个等可能的结果，甲、乙摸球所得分数之和不低于9分的结果有5个，
∴甲、乙摸球所得分数之和不低于9分的概率为，
此题考查了概率的有关计算，涉及了概率公式以及利用列表法或树状图求解概率，解题的关键是掌握概率公式以及列表法或树状图求解概率的方法．
16．
【解析】
根据画树状图法列出所有情况，进而根据第三象限的点的特征求得合题意的点，进而求得该点在第三象限的概率．
解：画树状图如下，

共有6种等可能情况，分别为
，，，，，．
该点在第三象限的情况有和这2种结果．
∴该点在第三象限的概率．
本题考查了画树状图法求概率，第三象限的点的特征，掌握求概率的方法是解题的关键．
17．（1）见解析；（2）该游戏不公平，理由见解析．
【解析】
（1）利用树状图分别列举出所有可能即可．
（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两球颜色是否相同的概率，求出概率比较，即可得出结论．
（1）如图，

（2）根据树状图可知，
P（小英赢）=，
P（小明赢）=，
P（小英赢）＞P（小明赢），
所以该游戏不公平．
此题主要考查了游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
18．（1）；（2）
【解析】
（1）确定甲打第一场，再从乙、丙、丁3位同学中随机选取1位，根据概率的性质分析，即可得到答案；
（2）结合题意，根据树状图的性质分析，即可完成求解．
（1）确定甲打第一场
∴从其余3位同学中随机选取1位，选中乙同学的概率为
故答案为：；
（2）树状图如下：

共有12种情况，所选2名同学中有甲、乙两位同学的有2种结果
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为：．
本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握概率定义和树状图的性质，从而完成求解．
19．（1）；（2）
【解析】
（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得．
（1）从盒子中任意取出1张卡片，恰好取出印有“兰”字的卡片的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

由树状图知，共有16种等可能结果，其中至少有1张印有“兰”字的有7种结果，
∴至少有1张印有“兰”字的概率为．
本题考查了用列表法或树状图法求随机事件的概率，解题时需要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（1）；（2）．
【解析】
解：（1）画树状图如下：

所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种．                              
∴P（恰好选中甲、乙两位同学）=
（2） P（恰好选中乙同学）=．
列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（1）；（2）这个游戏规则对双方是不公平的．
【解析】
（1）首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与两数和为6的情况，再利用概率公式求解即可；
（2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性．
（1）列表如下：
小亮和小明
2
3
4
2
2+2＝4
2+3＝5
2+4＝6
3
3+2＝5
3+3＝6
3+4＝7
4
4+2＝6
4+3＝7
4+4＝8

由表可知，总共有9种结果，其中和为6的有3种，
则这两数和为6的概率＝；
（2）这个游戏规则对双方不公平．
理由：因为P（和为奇数）＝，P（和为偶数）＝，而≠，
所以这个游戏规则对双方是不公平的．
此题考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（1）；（2）
【解析】
（1）列举出所有可能出现的结果，利用概率公式求解即可；
（2）根据树状图求得恰好只有两人选择相同的情况，再根据概率公式求解即可．
（1）甲的选择可以有：AB，AC，BC共有3种，其中选择A、B的有2种，
∴P（A、B）=；
（2）解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有9种可能出现的结果，其中选择景点相同的有3种，
∴P（景点相同）=．
故答案为：．
本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键．
23．(1)见解析；(2)这个游戏对双方公平，理由见解析.
【解析】
(1)通过列表法即可得(x,y)所有可能出现的结果数；
(2)根据(1)的结果，分别找出x+y为奇数、x+y为偶数的结果数，利用概率公式分别求解后进行比较即可.
(1)列表如下：

1
2
3
4
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)

由表格可知(x，y)所有可能出现的结果共有16种；
(2)这个游戏对双方公平，理由如下：
由列表法可知，在16种可能出现的结果中，它们出现的可能性相等，
∵x＋y为奇数的有8种情况，∴P(甲获胜)＝，
∵x＋y为偶数的有8种情况，∴P(乙获胜)＝ ，
∴P(甲获胜)＝P(乙获胜)，
∴这个游戏对双方公平.
本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．（1）；（2）
【解析】
（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=．
本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．（1）袋子中白球有2个；（2）．
【解析】
（1）设袋子中白球有x个，根据概率公式列方程解方程即可求得答案；
（2）根据题意画出树状图，求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：（1）设袋子中白球有x个，
根据题意得：，
解得：x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解，
∴袋子中白球有2个；
（2）画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：．
26．（1）答案见解析；（2）
【解析】
（1）画出树状图即可；
（2）根据树状图可以直观的得到共有6种情况，选中A的情况有2种，进而得到概率．
解：（1）如图所示：
（2）所有的情况有6种，
A型器材被选中情况有2种中，
概率是．

本题考查概率公式，即如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
27．（1）不放回；（2）．
【解析】
（1）根据图形填空即可；
（2）补全树状图，并依据树状图判断其概率即可．
（1）不放回；
（2）如图：

由树状图可知，共有种可能出现的结果，并且它们是等可能的．
事件“甲同学两次抽到的数字之和为偶数”的发生有种可能，
所以它的概率．
本题考查了树状图的问题，掌握树状图的性质和概率公式是解题的关键．
28．(1) ;(2) .
【解析】
（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这三条线段能组成三角形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先由树状图求得这三条线段能组成直角三角形的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：(1)画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，这三条线段能组成三角形的有7种情况，
∴这三条线段能组成三角形的概率为：；
(2)∵这三条线段能组成直角三角形的只有：3cm，4cm，5cm；
∴这三条线段能组成直角三角形的概率为：.
本题考查了树状图法与列表法 求概率的知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
29．（1）0.24，10，补全频数分布直方图见解析；（2）估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有1500名；（3）
【解析】
（1）根据频率＝频数÷总数可得a、b的值；
（2）用总人数乘以样本中第4、5、6组的频率之和即可；
（3）步数超过16000步（包含16000步）的三名教师用A、B、C表示，步数超过20000步（包含20000步）的两名教师用a、b表示，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
解：（1）a＝12÷50＝0.24，b＝50×0.2＝10，
补全频数分布直方图如下：

（2）5000×（0.2+0.06+0.04）＝1500，
答：估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有1500名；
（3）步数超过16000步（包含16000步）的三名教师用A、B、C表示，步数超过20000步（包含20000步）的两名教师用a、b表示，
画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的结果数为2，
所以被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率＝＝．
本题考查频数分布表及频数分布直方图、用样本估计总体、用树形图或列表法求概率等，读懂统计图及频数分布直方图的意义，熟练掌握用树形图求概率的步骤是解题的关键.
30．（1）共有6种等可能的结果数，它们是：AB、AC、AD、BC、BD、CD；（2）他们两人恰好选修同一门课程的概率为．
【解析】
（1）利用直接列举得到所有6种等可能的结果数；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．
（1）共有6种等可能的结果数，它们是：AB、AC、AD、BC、BD、CD；
（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，
所以他们两人恰好选修同一门课程的概率＝＝．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
31．(1)200
(2)81°
(3)
【解析】
（1）用银行卡的人数除以其百分比即可得到总人数；
（2）先求出微信支付的人数，得到支付宝支付的人数，再利用公式计算；
（3）将微信记为A，支付宝记为B，银行卡记为C，列表利用公式求概率．
(1)
解：这次活动共调查了（人），
故答案为：200；
(2)
解：微信支付的人数为（人），
支付宝支付的人数为200-60-30-50-15=45（人），
表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为，
故答案为：81°；
(3)
解：将微信记为A，支付宝记为B，银行卡记为C，列表格如下：

A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）

共有9种等可能性的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种，
则P（两人恰好选择同一种支付方式）＝．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
32．（1）见解析；（2）小明获胜的概率大，见解析
【解析】
（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有4个，m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，然后根据概率公式求解．
（1）树状图如图所示：

所有(m，n)可能的结果有(1，2) ，(1，3)，(1，4)，(2，2) ，(2，3) ，(2，4) ，(3，2)， (3，3) ，(3，4)，(4，2) ，(4，3)，(4，4)共12种结果；
（2）∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，
∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，
由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有4个（包括m＝n＝2，和m＝n＝3两种情况），m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，
小明获胜的概率为，小利获胜的概率为，
∴小明获胜的概率大．
本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式，画出树状图是解题的关键．
33．（1）60，见解析；（2）125、90；（3）
【解析】
（1）由②的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校人数乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例得出该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数，再用360°乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
解：（1）本次随机抽查的学生人数为：18÷30%=60（人），
则喜爱⑤玩转魔方游戏的人数为：60-15-18-9-6=12（人），
补全图（Ⅰ）如下：

故答案为：60；
（2）估计该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数为：500×=125（人），
图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为：360°×=90°，
故答案为：125，90；
（3）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好选中“①，④”这两项活动的结果有2个，
∴恰好选中“①，④”这两项活动的概率为=．
本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
34．（1）答案见解析；（2）
【解析】
分析：（1）根据题意画出表格，即可得所有可能的结果；（2）在（1）的基础上，根据概率公式列式进行计算即可得解．
详解：（1）根据题意列表如下：

1
2
3
4
1

（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）

（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）

（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）


由以上表格可知：有12种可能结果
（2）在（1）中的12种可能结果中，两个数字之积为奇数的只有2种，
所以，P（两个数字之积是奇数） ．
点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
35．(1)200
(2)见解析
(3)
【解析】
（1）根据题意即可得本次随机调查的户数；
（2）根据题意计算出选择A：天虹到家的户数即可补全条形统计图的空缺部分；
（3）根据题意画出树状图，即可得张阿姨随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率．
(1)
根据题意，得
30÷15%=200，
所以，本次随机调查了200户居民；
故答案为：200；
(2)
∵200-80-40-30=50，
∴条形统计图的A：美团优选为50，
如图为补全的条形统计图，

(3)
根据题意画出树状图，

根据树状图可知：
所有等可能的结果有12种，
随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的有4种，
所以随机选择两个不同的APP能买到苹果和生菜的概率是．
本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图，解决本题的关键是掌握树状图法求概率．
36．(1)；
(2)见解析
(3)
【解析】
（1）用类学生的人数除以类学生所占比例即为调查的总人数，求出类所占百分比，再求其圆心角度数．
（2）先利用、所占比例求出其人数，再进行作图；
（3）用列表法或树状图法列出所有可能的情况，然后计算其概率．
(1)
解：（人）；
，．
本次调查一共调查了名同学，其中类扇形的圆心角为．
(2)
解：类女生：（人）；
类男生：（人）．
补全条形统计图如下：


(3)
解：列出所有等可能的结果如下：
　　　　　类
　类
男
女
女
男
男男
男女
男女
女
男女
女女
女女

共有种等可能的结果，其中恰好是一男一女的有种情况，
．
本题考查了条形统计图与扇形统计图，列表法或树状图法求概率，解题的关键是能够从统计图中获取有用的数据，并加以利用．
37．（1）；（2）
【解析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，恰好选到一男一女的结果有12种，再根据概率公式求解即可．
解：（1）根据题意，
∵男生2人，女生3人，
∴从这5人中选1人进社区宣传，恰好选中女生的概率是：；
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有20种等可能的结果，恰好选到一男一女的结果有12种，
∴恰好选到一男一女的概率为：．
本题考查了利用列表或树状图求概率；用的的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
38．（1）；（2）．
【解析】
（1）直接利用概率公式求解，即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：（1）小明任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：；，
（2）画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
39．（1）60，图形见解析；（2）；（3）600；（4）
【解析】
（1）根据样本容量=计算样本容量后，变形计算需要的数据，再补全统计图；
（2）按照圆心角=计算即可；
（3）利用样本估计总体的思想计算即可；
（4）利用列表法或画树状图法计算即可．
（1）根据题意，得样本容量=＝，
故答案为：60；
了解的人数：60-30-10-15=5（人），
补条形统计图如下：

（2）根据题意，得圆心角==；
故答案为：；
（3）了解和基本了解的人数为：5+15=20（人），
∴达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为=；
故答案为：600；
（4）由题意，令两名男生分别为，，两名女生为，，则树状图如下图所示．

由图可知，共有种等可能情况，其中恰好抽到名男生和名女生的情况共有8种，则概率为：．
本题考查了扇形统计图，条形统计图，样本容量的计算，列表法或画树状图发求概率，熟练掌握统计图的意义和概率的计算方法是解题的关键．
40．(1)
(2)
【解析】
（1）直接根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
(1)
解：在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，
因此选择生物的概率为．
故答案为：；
(2)
解：用树状图表示所有可能出现的结果如下：

共有12种等可能的结果数，其中选中“化学”“生物”的有2种，
则．
在“1”中选择物理的概率，
同时选择物理、化学、生物的概率．
故答案为：．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
41．(1)
(2)
【解析】
（1）根据概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和选择相同安全检查口通过的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【小题1】
解：（1）∵有A．B、C三个闸口，
∴张红选择A安全检查口通过的概率是，
故答案为：；
【小题2】
根据题意画图如下：

共有9种等情况数，其中她俩选择相同安全检查口通过的有3种，
则她俩选择相同安全检查口通过的概率是．
本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，正确画出树状图．
42．(1)，，频数分布直方图见解析
(2)
【解析】
（1）求出该学校随机抽取的学生所在的家庭户数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两户家庭的结果有2种，再由概率公式求解即可．
(1)
解：（1）该学校随机抽取的学生所在的家庭户数为：（户，
，，
补全频数分布直方图如下：

(2)
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两户家庭的结果有2种，
恰好选中甲和乙两户家庭的概率为．
本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用两步或两步以上完成的事件．注意：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布表和频数分布直方图．
43．（1）12种，见解析；（2）
【解析】
（1）利用画树状图展示所有12种等可能的结果数即可；
（2）先找出点P在抛物线y＝x2+x上的情况数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）画树状图为：

共有12种等可能的结果数；
（2）只有（2，3）在抛物线y＝x2+x上，
∴点P在抛物线y＝x2+x上的上的结果数为1，
所以点P在抛物线y＝x2+x上的概率是．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了二次函数图像上点的坐标特征.
44．
【解析】
画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修球类的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修球类的结果数为4，
所以他们两人恰好选修球类的概率==．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
45．
【解析】
通过画树状图可知：共有9种等可能的结果，甲、乙两同学选取同一部电影的结果有3种，再由概率公式求解即可．
解：把《长津湖》《我和我父辈》《五个扑水的少年》三部电影分别记为A、B、C，
画树状图如下：

共有9种等可能的结果，甲、乙两同学选取同一部电影的结果有3种，
∴甲、乙两同学选取同一部电影的概率为．
本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比．
46．
【解析】
画树状图，共有9种等可能的结果，其中同一家公司生产的结果有3种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中同一家公司生产的结果有3种，
∴一个人两次接种的疫苗刚好是同一家公司生产的概率为．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
47．(1)1个；
(2)
【解析】
（1）设袋中黄球x个，利用概率公式列出方程求解即可；
（2）画树状图，得出全部的可能结果总数和符合条件的结果数，利用概率公式求解即可．
(1)
解：设袋中黄球个数是x个，根据题意，得：，
解得：x=1，
经检验，x=1是所列方程的解，
答：袋中黄球的个数是1个；
(2)
解：画树状图为：

由图可知，一共有12种等可能的结果，其中两次摸到球的颜色一次是红色，另一次是黄色的有4种，
∴两次摸到球的颜色一次是红色，另一次是黄色的概率为．
本题考查列表法或树状图法求概率、简单的概率计算，理解题意，正确画出树状图是解答的关键．
48．(1)
(2)
【解析】
（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图即可得到结论．
(1)
一辆车经过收费站时，选择通道通过的概率是．
故答案为
(2)
画树状图如下：

由表可知，共有16种等可能结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，
∴选择不同通道通过的概率
本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．
49．
【解析】
画树状图，共有12种等可能的结果，其中所选2人都是女生的有2种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中所选2人都是女生的有2种，即、，
（所选代表都是女生）．
此题考查的是用树状图法求概率，解题的关键是掌握树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
50．解：（1）200．
（2）补全图形，如图所示：

（3）列表如下：


甲

乙

丙

丁

甲

﹣﹣﹣

（乙，甲）

（丙，甲）

（丁，甲）

乙

（甲，乙）

﹣﹣﹣

（丙，乙）

（丁，乙）

丙

（甲，丙）

（乙，丙）

﹣﹣﹣

（丁，丙）

丁

（甲，丁）

（乙，丁）

（丙，丁）

﹣﹣﹣


∵所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
【解析】
（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数：（人）．
（2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可．
（3）根据题意列出表格或画树状图，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．