人教版高考物理一轮复习第13章机械振动与机械波光电磁波与相对论第1讲机械振动学案

第十三章　机械振动与机械波

光　电磁波与相对论

课标解读

第1讲　机械振动

知识梳理·双基自测

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识点1　简谐运动

1．简谐运动的规律：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，质点的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线。

2．平衡位置：

(1)如图所示，平衡位置是物体在振动过程中回复力为零的位置，并不一定是合力为零的位置。

(2)回复力：使振动物体返回到平衡位置的力，其方向总是指向平衡位置。属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。

3．描述简谐运动的物理量：

知识点2　简谐运动的表达式和图像

1．简谐运动的表达式

(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。

(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢。

2．简谐运动的图像

(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图像如图甲所示。

(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图像如图乙所示。

知识点3　单摆、周期公式

简谐运动的两种模型的比较

知识点4　受迫振动和共振

自由振动、受迫振动和共振的比较

双基自测

一、堵点疏通

1．简谐运动是匀变速运动。(　×　)

2．周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。(　√　)

3．振幅等于振子运动轨迹的长度。(　×　)

4．简谐运动的回复力可以是恒力。(　×　)

5．弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。(　√　)

6．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(　×　)

7．物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。(　√　)

8．简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。(　×　)

二、对点激活

1．(多选)下列说法正确的是(　AB　)

A．在同一地点，单摆做简谐振动的周期的二次方与其摆长成正比

B．弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保持不变

C．在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐振动的周期越小

D．已知弹簧振子初始时刻的位置及其振动周期，就可知振子在任意时刻运动速度的方向

[解析]　根据单摆周期公式T＝2π可以知道，在同一地点，重力加速度g为定值，故周期的平方与其摆长成正比，故选项A正确；弹簧振子做简谐振动时，只有动能和势能参与转化，根据机械能守恒条件可以知道，振动系统的势能与动能之和保持不变，故选项B正确；根据单摆周期公式T＝2π可以知道，单摆的周期与质量无关，故选项C错误；若已知弹簧振子初始时刻的位置在平衡位置及其振动周期，在不知道初始时刻的运动方向的情况下，弹簧振子的振动方程可能有两种不同的情况，所以不可判断出振子在任意时刻运动速度的方向，故选项D错误。

2．如图所示为某质点在0～4 s内的振动图像，则(　C　)

A．质点振动的振幅是2 m，质点振动的频率为4 Hz

B．质点在4 s末的位移为8 m

C．质点在4 s内的路程为8 m

D．质点在t＝1 s到t＝3 s的时间内，速度先沿x轴正方向后沿x轴负方向，且速度先增大后减小

[解析]　由题图可知振动的振幅A＝2 m，周期T＝4 s，则频率f＝＝0.25 Hz，选项A错误；振动质点的位移是质点离开平衡位置的位移，4 s末的位移为零，选项B错误；路程s＝4A＝8 m，选项C正确；质点从t＝1 s到t＝3 s的时间内，一直沿x轴负方向运动，选项D错误。

3．(多选)某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f。若驱动力的振幅保持不变，则下列说法正确的是(　BDE　)

A．当f<f0时，该振动系统的振幅随f增大而减小

B．当f> f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大

C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0

D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f

E．当f＝f0时，该振动系统一定发生共振

[解析]　受迫振动的振幅A随驱动力的频率变化的规律如图所示，当f< f0，且f增大时，受迫振动的振幅增大；当f>f0且f减小时，受迫振动的振幅增大，选项A错误，B正确；稳定时系统的频率等于驱动力的频率，即选项C错误，D正确；根据共振产生的条件可知，当f＝f0时，该振动系统一定发生共振，选项E正确。

核心考点·重点突破

HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO

考点一　简谐运动的基本特征及应用

1．动力学特征

F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。

2．运动学特征

简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比，但加速度方向与位移方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。

3．运动的周期性特征

相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。

4．对称性特征

(1)相隔或(n为正整数)的两个时刻，振子的位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。

(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。

(3)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。

(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。

5．能量特征

振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。

例1　(多选)弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s，第一次到达点M，再经过0.2 s第二次到达点M，则弹簧振子的周期不可能为(　BD　)

A．0.53 s　 B．1.4 s

C．1.6 s　 D．2 s

[解析]　从O点出发第一次到达M点，运动情况有下图甲、乙两种可能。如图甲所示，设O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子从O→C所需时间为。因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故＝0.3 s＋ s＝0.4 s，解得T＝1.6 s；如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M′与点M关于点O对称，则振子从点M′经过点B到点M′所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即0.2 s。振子从点O到点M′、从点M′到点O及从点O到点M所需时间相等，为＝ s，故周期为T＝0.5 s＋ s≈0.53 s，所以周期不可能为选项B、D。

名师点拨　分析简谐运动的技巧

(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁。位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。

(2)分析简谐运动的过程时，要特别注意其周期性和对称性。

〔变式训练1〕(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1 sin(2.5πt)m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度g＝10 m/s2。以下判断正确的是(　ABD　)

A．h＝1.7 m

B．简谐运动的周期是0.8 s

C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m

D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相同

E．t＝0.6 s时，物块与小球的加速度方向相同

[解析]　t＝0.6 s时，物块的位移为y＝0.1 sin(2.5π×0.6)m＝－0.1 m，则对小球有h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，选项A正确；简谐运动的周期是T＝＝s＝0.8 s，选项B正确；0.6 s内物块运动的路程是3 A＝0.3 m，选项C错误；t＝0.4 s＝时，物块经过平衡位置向下运动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D正确；t＝0.6 s＝T，此时物块正运动到最低点，速度为0，加速度向上，选项E错误。

考点二　简谐运动的图像

1．图像特征

(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，是正弦曲线还是余弦曲线取决于质点初始时刻的位置。

(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。

(3)任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小，正负表示速度的方向，正时沿x轴正方向，负时沿x轴负方向。

2．图像信息

(1)由图像可以看出质点振动的振幅、周期。

(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。

(3)可以确定某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向。

①回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度的方向在图像上总是指向t轴。

②速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，若下一时刻位移增加，速度方向就是远离t轴；若下一时刻位移减小，速度方向就是指向t轴。

(4)可以确定某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能等的变化情况。

例2　(2021·北京海淀区模拟)如图甲所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动。以其平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立坐标轴，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是(　C　)

A．振子的振幅为4 cm

B．振子的振动周期为1 s

C．t＝1 s时，振子的速度为正的最大值

D．t＝1 s时，振子的加速度为正的最大值

[解析]　本题考查机械振动图像。由振动图像可知，该弹簧振子的振幅为2 cm，周期为2 s，故A、B错误；t＝1 s时，振子在平衡位置，速度为正的最大值，振子在平衡位置时加速度为零，故C正确，D错误。

〔变式训练2〕(多选)甲、乙两弹簧振子振动图像如图所示，则可知(　ACE　)

A．甲速度为零时，乙速度最大

B．甲加速度最小时，乙速度最小

C．两个振子的振动频率之比f甲︰f乙＝1︰2

D．任一时刻两个振子受到的回复力都不相同

E．任意2 s内，甲、乙两振子运动的路程相等

[解析]　本题根据振动图像考查两振子相关物理量的比较。t＝0.5 s时，甲位于最大位移处，图像的斜率表示速度，速度为零，而此时乙位于平衡位置，图像的斜率最大，速度最大，故A正确；在t＝1.0 s或t＝2.0 s时，甲的加速度最小，位于平衡位置，回复力为零，此时，乙也位于平衡位置，回复力为零，速度最大，故B、D错误；频率与周期互为倒数，频率之比为周期之比的反比，由图像可知，甲、乙的周期之比为2︰1，故频率之比为1︰2，故C正确；在位置2 s内，甲的路程为4A甲＝40 cm，乙的路程为8A乙＝40 cm，故E正确。

考点三　受迫振动和共振

1．共振曲线：如图所示的共振曲线，曲线表示受迫振动的振幅A(纵坐标)随驱动力频率f(横坐标)的变化而变化。驱动力的频率f跟振动系统的固有频率f0相差越小，振幅越大；驱动力的频率f等于振动系统的固有频率f0时，振幅最大。

2．受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。

例3　(多选)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则下列说法正确的是(　BCE　)

A．此单摆的固有周期约为0.5 s

B．此单摆的摆长约为1 m

C．若摆长增大，单摆的固有频率减小

D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动

E．若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动

[解析]　由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，则固有周期为2 s；由T＝2π，得摆长约为1 m；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动，故B，C，E正确，A，D错误。

〔变式训练3〕(多选)关于受迫振动和共振，下列说法正确的是(　BCD　)

A．火车过桥时限制速度是为了防止火车发生共振

B．若驱动力的频率为5 Hz，则受迫振动稳定后的振动频率一定为5 Hz

C．当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大

D．一个受迫振动系统在非共振状态时，同一振幅对应的驱动力频率一定有两个

E．在连续均匀的海浪冲击下停在海面的小船上下振动是共振现象

[解析]　火车过桥时限制速度是为了防止桥发生共振，选项A错误；对于一个受迫振动系统，若驱动力的频率为5 Hz，则振动系统稳定后的振动频率也一定为5 Hz，选项B正确；由共振的定义可知，选项C正确；根据共振曲线可知，选项D正确；停在海面的小船上下振动，是受迫振动，选项E错误。

考点四　单摆及其周期公式

1．单摆的受力特征

(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F向＝－mgsinθ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。

(2)向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcosθ。

(3)两点说明

①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcosθ。

②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋m。

(4)单摆是一个理想化模型，摆角θ≤5°时，单摆的周期为T＝2π，与单摆的振幅A、摆球质量m无关，式中的g单摆所处位置，当地的重力加速度。

2．等效摆长及等效重力加速度

(1)l′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆的摆长l′＝r＋Lcosα。乙图中小球(可看做质点)在半径为R的光滑圆槽中靠近A点的附近振动，其等效摆长为l′＝R。

(2)g′——等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。①在不同星球表面：g′＝，M为星球的质量，R为星球的半径。

②单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g′＝g＋a和g′＝g－a，a为超重或失重时单摆系统整体竖直向上或竖直向下的加速度大小。单摆在斜面上加速时，等效重力加速度：可用相对于摆动圆弧的圆心静止时，摆线或圆弧轨道对摆球作用力可产生的加速度。

例4　如图所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点的正下方的O′点钉一个光滑钉子，使OO′＝，将单摆拉至A处释放，小球将在A、B、C间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°，则此摆的周期是(　D　)

A．2π　　 B．2π

C．2π　 D．π

[解析]　根据T＝2π，该单摆有周期摆长为L，周期摆长为L。故T＝π＋π＝π，故D正确。

〔变式训练4〕(多选)如图所示，用绝缘细线悬挂的单摆，摆球带正电，悬挂于O点，摆长为l，当它摆过竖直线OC时便进入或离开匀强磁场，磁场方向垂直于单摆摆动的平面向里，A，B点分别是最大位移处(摆球看作质点)。下列说法中正确的是(　ACD　)

A．A点和B点处于同一水平面

B．A点高于B点

C．摆球在A点和B点处线上的拉力大小相等

D．单摆的振动周期仍为T＝2π

E．单摆向右或向左摆过D点时，线上的拉力大小相等

[解析]　摆球运动过程中机械能守恒，所以A，B在同一高度，选项A正确，B错误；摆球在B点不受洛伦兹力，与摆球在A点时受拉力大小相等，选项C正确；摆球在磁场中运动时虽然受洛伦兹力，但洛伦兹力总与速度方向垂直，不能提供回复力，所以不改变振动的周期，选项D正确；单摆向右或向左摆过D点时，速度大小相等，但洛伦兹力的方向相反，所以线上的拉力不相等，选项E错误。

2年高考·1年模拟

2 NIAN GAO KAO 1 NIAN MO NI

1．(2019·全国卷Ⅱ，34(1))如图，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方l的O′处有一固定细铁钉。将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时。当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正。下列图像中，能描述小球在开始一个周期内的x-t关系的是(　A　)

A B

C D

[解析]　摆长为l时单摆的周期T1＝2π ，振幅A1＝lα(α为摆角)，摆长为l时单摆的周期T2＝2π ＝π＝，振幅A2＝lβ(β为摆角)。

根据机械能守恒得mgl(1－cos α)＝mg(1－cos β)，利用cos α＝1－2sin2，cos β＝1－2sin2，以及利用α很小时，近似计算sin α＝tan α＝α，解得β＝2α，故A2＝A1，故选项A正确。

2．(2019·江苏13B)(多选)一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的(　AC　)

A．位移增大　　 B．速度增大

C．回复力增大　 D．机械能增大

[解析]　在单摆的偏角增大的过程中，摆球远离平衡位置，故位移变大，速度变小，回复力变大，机械能保持不变，选项A、C正确。

3．(2020·宁夏大学附中模拟)(多选)有时候当我们打开铁质的水龙头时，它就会发出很大、很刺耳的响声，稍微开大或开小一点它就不响了，下面的解释或者说法中正确的是(　BCD　)

A．水龙头的振动是自由振动，振动频率是固有频率

B．水龙头的振动是受迫振动，振动频率是驱动力的频率

C．这是共振现象，稍微开大或开小改变了驱动力的频率

D．换用塑料水龙头，可能就不会出现这个现象了

[解析]　根据题干中的“稍微开大或开小一点它就不响了”，可知这是改变了振动频率，所以可以确定发出响声是因为发生了共振，水龙头的振动是受迫振动，所以A错，B、C对；换用别的材质的水龙头，改变了固有频率，可能远离了驱动力的频率，就不会发生共振了，所以D也对。

4．(2020·全国Ⅱ理综，34(1))用一个摆长为80.0 cm的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5°，则开始时将摆球拉离平衡位置的距离应不超过6.9 cm(保留1位小数)。(提示：单摆被拉开小角度的情况下，所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程)

某同学想设计一个新单摆，要求新单摆摆动10个周期的时间与原单摆摆动11个周期的时间相等。新单摆的摆长应该取为96.8 cm。

[解析]　设开始时将摆球拉离平衡位置的最大距离为d，根据题意可知，d约等于摆球沿圆弧移动的最大弧长s。根据已知圆心角对应的弧长公式s＝×2πL，有≈＝，摆长L＝80.0 cm，解得d≈6.98 cm，取不大于d并保留一位小数的数值，则距离应不超过6.9 cm。

假设新单摆的周期为T1，原单摆的周期为T2。根据T＝2π，得出＝＝，L1＝L＝96.8 cm.