人教版高考物理一轮复习第9章磁场专题强化10带电粒子在交变电磁场中的运动学案

专题强化十　带电粒子在交变电磁场中的运动

带电粒子在交变电磁场中的运动问题的基本思路

一、带电粒子在“交变磁场”中的运动

例1　如图甲所示，质量为m带电量为－q的带电粒子在t＝0时刻由a点以初速度v0垂直进入磁场，Ⅰ区域磁场磁感应强度大小不变、方向周期性变化如图乙所示(垂直纸面向里为正方向)；Ⅱ区域为匀强电场，方向向上；Ⅲ区域为匀强磁场，磁感应强度大小与Ⅰ区域相同均为B0。粒子在Ⅰ区域内一定能完成半圆运动且每次经过mn的时刻均为整数倍，则

(1)粒子在Ⅰ区域运动的轨道半径为多少？

(2)若初始位置与第四次经过mn时的位置距离为x，求粒子进入Ⅲ区域时速度的可能值(初始位置记为第一次经过mn)。

[解析]　(1)带电粒子在Ⅰ区域做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，

即qv0B0＝m

解得r＝。

(2)符合第(2)问的两种运动轨迹示意图。

第一种情况：粒子在Ⅲ区域运动半径R＝

qv2B0＝m，

解得粒子在Ⅲ区域速度大小：v2＝

第二种情况：

粒子在Ⅲ区域运动半径R＝，

粒子在Ⅲ区域速度大小：v2＝－2v0。

[答案]　(1)或　(2)　－2v0

二、带电粒子在“交变电场”中的运动

例2　在图甲中，加速电场A、B板水平放置，半径R＝0.2 m 的圆形偏转磁场与加速电场的A板相切于N点，有一群比荷为＝5×105C/kg的带电粒子从电场中的M点处由静止释放，经过电场加速后，从N点垂直于A板进入圆形偏转磁场，加速电场的电压U随时间t的变化如图乙所示，每个带电粒子通过加速电场的时间极短，可认为加速电压不变。时刻进入电场的粒子恰好水平向左离开磁场，(不计粒子的重力)求：

(1)粒子的电性；

(2)磁感应强度B的大小；

(3)何时释放的粒子在磁场中运动的时间最短？最短时间t是多少(π取3)

[解析]　(1)由题意可知，粒子水平向左离开磁场，则粒子所受洛伦兹力向左，根据左手定则得，粒子带负电。

(2)由图乙可知，在时刻，U＝100 V，

根据动能定理得：Uq＝mv－0，

粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，

由牛顿第二定律得：qv1B＝m

粒子恰好水平向左离开磁场，粒子轨道半径：r1＝R

解得：B＝0.1 T。

(3)速度越大，粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，时间越短，则当t＝kT＋(k＝0,1,2,3…)时进入电场的粒子在磁场中运动的时间最短，

根据动能定理得：U′q＝mv，

根据牛顿第二定律得：qv2B＝m

设圆弧所对的圆心角为2θ，

由几何关系得：＝tan θ，

根据周期公式得：T＝，

粒子在磁场中的运动时间：t＝T。

解得t＝2×10－5s。

[答案]　(1)负电　(2)0.1 T　(3)kT＋(k＝0,1,2，3，…)　2×10－5s

三、带电粒子在“交变电、磁场”中的运动

例3　如图a所示的xOy平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间做周期性变化的图像如图b所示，y轴正方向为E的正方向，垂直于纸面向里为B的正方向。t＝0时刻，带负电粒子P(重力不计)由原点O以速度v0沿y轴正方向射出，它恰能沿一定轨道做周期性运动。v0、E0和t0为已知量，图b中＝，在0～t0时间内粒子P第一次离x轴最远时的坐标为。求：

(1)粒子P的比荷；

(2)t＝2t0时刻粒子P的位置；

(3)带电粒子在运动中距离原点O的最远距离L。

[解析]　(1)0～t0时间内粒子P在匀强磁场中做匀速圆周运动，当粒子所在位置的纵、横坐标相等时，粒子在磁场中恰好经过圆周，所以粒子P第一次离x轴的最远距离等于轨道半径R，即R＝                            ①

又qv0B0＝m  ②

代入＝，解得＝。  ③

(2)设粒子P在磁场中运动的周期为T，则T＝ ④

联立①④解得T＝4t0  ⑤

即粒子P做圆周运动后磁场变为电场，粒子以速度v0垂直电场方向进入电场后做类平抛运动，设t0～2t0时间内水平位移和竖直位移分别为x1、y1，

则x1＝v0t0＝  ⑥

y1＝at，  ⑦

其中加速度a＝

由③⑦解得y1＝＝R，

因此t＝2t0时刻粒子P的位置坐标为，如图中的b点所示。

(3)分析知，粒子P在2t0～3t0时间内，电场力产生的加速度方向沿y轴正方向，由对称关系知，在3t0时刻速度方向为x轴正方向，位移x2＝x1＝v0t0；在3t0～5t0时间内粒子P沿逆时针方向做匀速圆周运动，往复运动轨迹如图所示，由图可知，带电粒子在运动中距原点O的最远距离L即O、d间的距离L＝2R＋2x1                            ⑧

解得L＝2v0t0。

[答案]　(1)　(2)　(3)2v0t0

〔专题强化训练〕

1．如图甲所示，竖直面内矩形ABCD区域内存在磁感应强度按如图乙所示的规律变化的磁场(规定垂直纸面向外为正方向)，区域边长＝，一带正电的粒子从A点沿AB方向以速度v0射入磁场，在T1时刻恰好能从C点平行DC方向射出磁场。现在把磁场换成按如图丙所示规律变化的电场(规定竖直向下为正方向)，相同的粒子仍以速度v0从A点沿AB方向射入电场，在T2时刻恰好能从C点平行DC方向射出电场。不计粒子的重力，则磁场的变化周期T1和电场的变化周期T2之比为(　C　)

甲

A．1︰1　 B．2π︰3

C．2π︰9　 D．π︰9

[解析]　设粒子的质量为m，带电量为q，设粒子的偏转半径为r，经粒子转过的圆心角为α，则有：

2rsin α＝，2(r－rcos α)＝

又＝，

联立解得α＝60°，所以有：＝TB，TB＝，

解得：T1＝；

如果把磁场换为电场，则有＝v0T2，解得：T2＝，所以＝，故C项正确，A、B、D三项错误。`

2．回旋加速器的工作原理如图甲所示，置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间狭缝的间距为d，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，被加速粒子的质量为m，电荷量为＋q，加在狭缝间的交变电压如图乙所示，电压值的大小为U0，周期T＝。一束粒子在0～时间内从A处均匀地飘入狭缝，其初速度视为0。现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够射出的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子间的相互作用力。求：

(1)出射粒子的动能；

(2)粒子从飘入狭缝至动能达到Ek所需的总时间。

[答案]　(1)　(2)－

[解析]　(1)粒子运动半径为R时，有qvB＝m，

且Ek＝mv2，解得Ek＝。

(2)粒子被加速n次达到动能Ek，则Ek＝nqU。

粒子在狭缝间做匀加速运动，设n次经过狭缝的总时间为Δt，加速度a＝，

匀加速直线运动nd＝a·(Δt)2

由t0＝(n－1)·＋Δt，

解得t0＝－。