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人教版高考物理一轮复习第9章磁场第2讲磁场对运动电荷的作用学案
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这是一份人教版高考物理一轮复习第9章磁场第2讲磁场对运动电荷的作用学案，共20页。
知识梳理·双基自测
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理
知识点1 洛伦兹力
1．洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力。
2．洛伦兹力的方向(左手定则)：
(1)伸出左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内。
(2)让磁感线从掌心进入，并使四指指向正电荷运动的方向(或负电荷运动的反方向)。
(3)拇指所指的方向就是运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向。
如图，①表示正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向，②表示磁场的方向，③表示洛伦兹力的方向。
3．洛伦兹力的大小：F＝qvBsin θ，θ是v与B之间的夹角。
(1)当v∥B时，F＝0。
(2)当v⊥B时，F＝qvB。
知识点2 带电粒子在匀强磁场中的运动
1．洛伦兹力的特点：由于洛伦兹力F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面，所以洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功。
2．粒子的运动性质：
(1)若v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动。
(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。
3．基本公式
(1)由qvB＝meq \f(v2,r)，得r＝eq \f(mv,qB)。
(2)由v＝eq \f(2πr,T)，得T＝eq \f(2πm,qB)。
注意：应用带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时的半径和周期公式时，一定要进行推导，不能直接应用。
(3)f＝eq \f(1,T)＝eq \f(qB,2πm)。
(4)ω＝eq \f(2π,T)＝2πf＝eq \f(qB,m)。
思考：(1)为什么带电粒子在电场力、重力和洛伦兹力共同作用下的直线运动只能是匀速直线运动？
[答案] 如果是变速，则洛伦兹力会变化，而洛伦兹力总是和速度方向垂直，所以就不可能是直线运动。
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，T、 f和ω的大小与速度v有关吗？与哪些因素有关？
[答案] T、 f和ω的大小与轨道半径R和运行速率v无关，只与磁场的磁感应强度B和粒子的比荷eq \f(q,m)有关。比荷eq \f(q,m)相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中，T、 f和ω相同。
双基自测
一、堵点疏通
1．带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。( × )
2．洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。( × )
3．根据公式T＝eq \f(2πr,v)，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比。( × )
4．由于安培力是洛伦兹力的宏观表现，所以洛伦兹力也可能做功。( × )
5．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。( √ )
6．利用质谱仪可以测得带电粒子的比荷。( √ )
7．经过回旋加速器加速的带电粒子的最大动能是由D形盒的最大半径、磁感应强度B、加速电压的大小共同决定的。( × )
二、对点激活
1．(2020·四川石室中学期中)(多选)带电荷量为＋q的粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是( BD )
A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同
B．如果把＋q改为－q，且速度反向、大小不变，则洛伦兹力的大小不变
C．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直
D．粒子只受到洛伦兹力的作用，不可能做匀速直线运动
[解析] 本题考查对洛伦兹力的认识。粒子速度大小相同，由f＝qvBsin θ可知，如果速度v与磁场B的夹角不同，洛伦兹力大小就可能不同，故A错误；如果把＋q改为－q，且速度反向，大小不变，则洛伦兹力的大小、方向均不变，故B正确；洛伦兹力方向一定与电荷运动方向垂直，磁场方向与电荷运动方向不一定垂直，故C错误；洛伦兹力方向一定与电荷运动方向垂直，所以粒子只受到洛伦兹力的作用，不可能做匀速直线运动，故D正确。
2．(2021·安徽安庆月考)美丽的安庆处在北纬30度附近，一束带负电的粒子从太空沿地球半径方向飞向安庆振风塔，由于受到地磁场的作用，粒子的运动方向将会发生偏转，该束带电粒子偏转方向是( B )
A．向东 B．向西
C．向南 D．向北
[解析] 运动粒子带负电，而地磁场的水平分量由南向北，所以根据左手定则可以判断，粒子所受洛伦兹力的方向向西，应向西偏转，B正确。
核心考点·重点突破
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
考点一 对洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力的特点
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向负电荷运动的反方向。
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
3．洛伦兹力与电场力的比较
例1 如图所示，在竖直平面内放一个光滑绝缘的半圆形轨道，水平方向的匀强磁场与半圆形轨道所在的平面垂直。一个带负电荷的小滑块由静止开始从半圆形轨道的最高点M滑下到最右端的过程中，下列说法中正确的是( D )
A．滑块经过最低点时的速度比磁场不存在时大
B．滑块经过最低点的加速度比磁场不存在时小
C．滑块经过最低点时对轨道的压力比磁场不存在时小
D．滑块从M点到最低点所用时间与磁场不存在时相等
[解析] 由于洛伦兹力不做功，故与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的速度不变，A错误；由圆周运动中a＝eq \f(v2,R)，与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的加速度不变，B错误；由左手定则，滑块经过最低点时受到的洛伦兹力向下，而滑块所受的向心力不变，故滑块经过最低点时对轨道的压力比磁场不存在时大，C错误；由于洛伦兹力方向始终与运动方向垂直，在任意一点，滑块经过时的速度与磁场不存在时相比均不变，则运动所用时间相等，D正确。
〔变式训练1〕(多选)初速度为v0的电子，沿平行于通电长直导线的方向射出，直导线中电流方向与电子的初始运动方向如图所示，则( AD )
A．电子将向右偏转，速率不变
B．电子将向左偏转，速率改变
C．电子将向左偏转，轨迹半径不变
D．电子将向右偏转，轨迹半径改变
[解析] 由安培定则判定直线电流右侧磁场的方向垂直纸面向里，再根据左手定则判定电子所受洛伦兹力向右，由于洛伦兹力不做功，电子动能不变，速率不变，A正确，B、C错误；又由R＝eq \f(mv,qB)知，在电子偏离直线电流时，B减弱，故R变大，D正确。
考点二 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1．带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定
(1)圆心的确定
①基本思路：与速度方向垂直的直线和图中弦的中垂线一定过圆心。
②两种常见情形：
Ⅰ.已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲a所示，图中P为入射点，M为出射点)。
Ⅱ.已知入射点和出射点的位置时，可以先通过入射点作入射方向的垂线，再连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲b所示，图中P为入射点，M为出射点)。
(2)半径的计算方法
①由物理方法求：半径R＝eq \f(mv,qB)。
②由几何方法求：一般由数学公式(勾股定理、三角函数等)计算来确定。
(3)运动时间的确定
①粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间由下式表示：
t＝eq \f(α,360°)T(或t＝eq \f(a,2π)·T)。
②用弧长与线速度的比t＝eq \f(s,v)。
2．带电粒子在有界磁场中运动的常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)
(3)圆形边界
①圆形边界的对称性：粒子沿半径方向进入有界圆形磁场区域时，若入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射时速度方向的反向延长线必经过该区域圆的圆心，如图甲。
②若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ，如图乙。
③若粒子做匀速圆周运动的半径等于磁场区域的半径，则有如下两个结论：
a．当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方向一定平行，(磁发散)如图丙。
b．当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时，粒子会从同一点离开磁场区域，(磁聚焦)如图丁。
题型(一) 直线边界磁场
例2 (2021·曲靖模拟)如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则t1︰t2为( A )
A．3︰1 B．2︰3
C．3︰2 D．2︰1
[解析] 电子在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出电子的运动轨迹，如图所示，电子1垂直射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据半径r＝eq \f(mv,qB)可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则粒子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t1＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)，电子2运动的时间t2＝eq \f(T,6)＝eq \f(πm,3Bq)，所以eq \f(t1,t2)＝3，故A正确。
题型(二) 平行边界磁场和圆形边界磁场
例3 (2021·山东济南月考)如图(甲)所示有界匀强磁场Ⅰ的宽度与图(乙)所示圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一不计重力的粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场Ⅰ，从右边界射出时速度方向偏转了θ角；该粒子以同样的初速度沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了2θ角。已知磁场Ⅰ，Ⅱ的磁感应强度大小分别为B1，B2，则B1与B2的比值为( C )
A．2cs θ B．sin θ
C．cs θ D．tan θ
[解析] 设有界磁场Ⅰ宽度为d，则粒子在磁场Ⅰ和磁场Ⅱ中的运动轨迹分别如图(a)、图(b)所示，由几何关系知d＝r1sin θ，d＝r2tan θ，由洛伦兹力提供向心力知Bqv＝meq \f(v2,r)，得B＝eq \f(mv,rq)，联立得eq \f(B1,B2)＝cs θ，选项C正确。
题型(三) 三角形或多边形边界磁场
例4 如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从a点沿ad方向射入磁场，当速度大小为v1时，粒子从b点离开磁场；当速度大小为v2时，粒子从c点离开磁场，不计粒子重力，则v1与v2的大小之比为( A )
A．1︰3 B．1︰2
C．2︰1 D．1︰4
[解析] 本题考查带电粒子在正六边形边界匀强磁场中的运动。设正六边形abcdef的边长为L，带电粒子从a点沿ad方向射入磁场，当速度大小为v1时，粒子从b点离开磁场，当速度大小为v2时，粒子从c点离开磁场，作出带电粒子运动轨迹如图所示，由图中几何关系可知轨迹半径r1＝eq \f(L,\r(3))，r2＝eq \r(3)L；由qvB＝meq \f(v2,r)可得v＝eq \f(qBr,m)，则v1︰v2＝r1︰r2＝eq \f(L,\r(3))︰eq \r(3)L＝1︰3，选项A正确。
名师点拨 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动解题“三步法”
(1)画轨迹：即确定圆心，画出运动轨迹。
(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度的联系，偏转角度与圆心角、运动时间的联系，在磁场中的运动时间与周期的联系。
(3)用规律：即牛顿运动定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。
考点三 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
解决此类问题常用的结论有：
(1)临界值
刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)时间极值
①当速度v一定时，弧长(弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
②当速度v变化时，圆心角大的运动时间长。
(3)磁场区域面积极值
若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，可求出圆形磁场区的最小面积。
例5 如图所示，平行边界MN、PQ之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，两边界间距为d，边界MN上A点有一粒子源，可沿纸面内任意方向射出完全相同的质量为m，电量为q的带正电的粒子，粒子射出的速度大小均为v＝eq \f(2qBd,3m)，若不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为( C )
A．1 B．2︰3
C．eq \r(3)︰2 D．2eq \r(7)︰7
[解析] 粒子在磁场中运动的轨道半径为r＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(2,3)d，则能达到PQ上的粒子长度为2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)d))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)d))2)＝eq \f(2\r(3),3)d；能打到MN上的粒子的长度为2r＝eq \f(4,3)d，故粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为eq \f(\r(3),2)，故选C。
〔变式训练2〕一带电质点，质量为m，电荷量为q，重力忽略不计，以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入如图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度射出，可在适当的地方加一垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，求这圆形磁场区域的最小半径。
[答案] eq \f(\r(2)mv,2qB)
[解析] 质点进入xOy平面的磁场区域内做匀速圆周运动，由
qvB＝meq \f(v2,R)得R＝eq \f(mv,qB)
据题意，要求质点垂直x轴射出，它在磁场区域内必经过eq \f(1,4)圆周，且此圆周应与入射速度和出射速度所在的直线相切，如图所示，过这两个切点M、N作入射和出射方向的垂线，其交
点O′即为圆心。因此该质点在磁场内的轨迹就是以O′为圆心，R＝eq \f(mv,qB)为半径的一段圆弧eq \x\t(MN)(图中虚线圆弧)，在过M、N两点的所有圆周中，以MN为直径的圆周最小(如图中实线所示)，因此所求圆形区域的最小半径为rmin＝eq \f(1,2)MN＝eq \f(1,2)·eq \r(2)R＝eq \f(\r(2)mv,2qB)。
考点四 带电粒子在磁场中运动的多解问题
1．带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。
如图(1)，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。
2．磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。
如图(2)，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3．临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图(3)所示，于是形成了多解。
4．运动的往复性形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解 。如图(4)所示。
例6 (2020·海南月考)(多选)如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率的质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子(重力不计)，若所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是( AB )
A．eq \f(\r(3)BqL,6m) B．eq \f(\r(3)BqL,3m)
C．eq \f(\r(3)BqL,2m) D．eq \f(\r(3)BqL,m)
[解析] 本题考查带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题。由题意可知粒子部分可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为120°，所以带电粒子的运动半径为r＝eq \f(\r(3),3)eq \f(L,n)(n＝1,2,3，…)，由洛伦兹力提供向心力有Bqv＝meq \f(v2,r)，可得v＝eq \f(\r(3)BqL,3nm)(n＝1,2,3，…)，故A、B正确。
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
“数学圆”模型在电磁学中的应用
一、“平移圆”模型的应用
例7 如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1︰t2为( C )
A．2︰1 B．2︰3
C．3︰2 D．eq \r(3)︰eq \r(2)
[解析] 画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为R＝L，从C点射出的粒子运动时间为t1＝eq \f(T,4)；由P点运动到M点所用时间为t2，圆心角为θ，则cs θ＝eq \f(\f(R,2),R)，则cs θ＝eq \f(1,2)，θ＝60°，故t2＝eq \f(T,6)，所以eq \f(t1,t2)＝eq \f(\f(T,4),\f(T,6))＝eq \f(3,2)，C正确。
二、“旋转圆”模型的应用
例8 如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。
(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径；
(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。
[解析] (1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得Bqv＝meq \f(v2,r)，则r＝eq \f(mv,Bq)。
(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越大，偏转角越大则运动时间越长，当粒子的轨迹圆的弦长等于磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，sineq \f(φmax,2)＝eq \f(R,r)＝eq \f(1,2)，即φmax＝60°。
[答案] (1)见解析 (2)60°
三、“放缩圆”模型的应用
例9 (多选)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法中正确的是( ABD )
A．若该粒子的入射速度为v＝eq \f(qBl,m)，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为l
B．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝eq \f(\r(2)＋1qBl,m)
C．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝eq \f(\r(2)qBl,m)
D．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为eq \f(πm,qB)
[解析] 若粒子射入磁场时速度为v＝eq \f(qBl,m)，则由qvB＝meq \f(v2,r)可得r＝l，由几何关系可知，粒子一定从CD边上距C点为l的位置离开磁场，选项A正确；因为r＝eq \f(mv,qB)，所以v＝eq \f(qBr,m)，因此，粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，速度就越大，由几何关系可知，当粒子在磁场中的运动轨迹与三角形的AD边相切时，能从CD边射出的轨迹半径最大，此时粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r＝(eq \r(2)＋1)l，故其最大速度为v＝eq \f(\r(2)＋1qBl,m)，选项B正确，C错误；粒子在磁场中的运动周期为T＝eq \f(2πm,qB)，故当粒子从三角形的AC边射出时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于此时粒子做圆周运动的圆心角为180°，故其最长时间应为t＝eq \f(πm,qB)，选项D正确。
2年高考·1年模拟
2 NIAN GAO KAO 1 NIAN MO NI
1．(2020·课标Ⅰ，18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示， eq \\ac(ab,\s\up10(︵)) 为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( C )
A．eq \f(7πm,6qB) B．eq \f(5πm,4qB)
C．eq \f(4πm,3qB) D．eq \f(3πm,2qB)
[解析] 本题考查带电粒子在组合边界磁场中的运动。带电粒子在磁场中运动，有qvB＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r，又T＝eq \f(2πr,v)，可得T＝eq \f(2πm,qB)，带电粒子在有界磁场中运动时间t＝eq \f(θ,2π)T，则粒子在同一有界磁场中运动的时间与粒子速率无关，而与粒子运动轨迹所对应的圆心角有关，当粒子的出射点与c点的连线与 eq \\ac(ab,\s\up10(︵)) 相切时粒子在磁场中运动的轨迹所对应圆心角最大，粒子运动的时间最长，其运动轨迹如图所示，由几何知识知，α＝60°，则粒子在磁场中运动的最长时间为t＝eq \f(180°＋60°,360°)T＝eq \f(4πm,3qB)，C正确，A、B、D错误。
2．(2020·课标Ⅱ，17)CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线(如图中带箭头的虚线所示)，将电子束打到靶上的点记为P点。则( D )
图(a)
图(b)
A．M处的电势高于N处的电势
B．增大M、N之间的加速电压可使P点左移
C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外
D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移
[解析] 本题结合CT扫描机考查带电粒子的加速、偏转问题。电子束在M、N之间需要加速，故N处的电势高于M处的电势，A错误；若增大M、N之间的加速电压，会使得电子获得的速度变大，电子在磁场中偏转，洛伦兹力提供向心力，有Bvq＝meq \f(v2,R)，可得电子的偏转轨迹半径R＝eq \f(mv,qB)，则电子在磁场中运动轨迹的半径变大，电子出磁场时偏转角减小，P点向右移，B错误；电子进入磁场中向下偏转，由左手定则可知，偏转磁场的方向垂直于纸面向里，故C错误；根据R＝eq \f(mv,qB)可知，偏转磁场的磁感应强度越大，电子的运动轨迹半径越小，在偏转磁场中偏转越明显，P点向左移，故D正确。
3．(2020·课标Ⅲ，18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( C )
A．eq \f(3mv,2ae) B．eq \f(mv,ae)
C．eq \f(3mv,4ae) D．eq \f(3mv,5ae)
[解析] 本题考查电子在有界磁场中的运动。设电子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有Bev＝eq \f(mv2,r)，可得r＝eq \f(mv,Be)，要求磁场的磁感应强度最小，即圆周运动的半径最大，如图所示，圆周运动的半径最大时，轨迹圆与外圆相切，根据两圆内切可知，边界圆圆心O、轨迹圆圆心A与切点D在一条直线上，根据几何关系可得(3a－r)2＝r2＋a2，解得r＝eq \f(4,3)a，则磁感应强度的最小值Bmin＝eq \f(3mv,4ae)，故C正确，A、B、D错误。
洛伦兹力
电场力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
方向
F⊥B且F⊥v
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功，可能做负功，也可能不做功
适用条件
速度大小一定，方向一定，入射点不同，但在同一直线上
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝eq \f(mv0,qB)，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线，该直线与入射点的连线平行
界定方法
将半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
适用条件
速度大小一定，方向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝eq \f(mv0,qB)。如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆上
界定方法
将一半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
适用条件
速度方向一定，大小不同
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定方法
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
知识梳理·双基自测
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理
知识点1 洛伦兹力
1．洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力。
2．洛伦兹力的方向(左手定则)：
(1)伸出左手，使拇指与其余四个手指垂直，并且都与手掌在同一个平面内。
(2)让磁感线从掌心进入，并使四指指向正电荷运动的方向(或负电荷运动的反方向)。
(3)拇指所指的方向就是运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向。
如图，①表示正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向，②表示磁场的方向，③表示洛伦兹力的方向。
3．洛伦兹力的大小：F＝qvBsin θ，θ是v与B之间的夹角。
(1)当v∥B时，F＝0。
(2)当v⊥B时，F＝qvB。
知识点2 带电粒子在匀强磁场中的运动
1．洛伦兹力的特点：由于洛伦兹力F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面，所以洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功。
2．粒子的运动性质：
(1)若v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动。
(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。
3．基本公式
(1)由qvB＝meq \f(v2,r)，得r＝eq \f(mv,qB)。
(2)由v＝eq \f(2πr,T)，得T＝eq \f(2πm,qB)。
注意：应用带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时的半径和周期公式时，一定要进行推导，不能直接应用。
(3)f＝eq \f(1,T)＝eq \f(qB,2πm)。
(4)ω＝eq \f(2π,T)＝2πf＝eq \f(qB,m)。
思考：(1)为什么带电粒子在电场力、重力和洛伦兹力共同作用下的直线运动只能是匀速直线运动？
[答案] 如果是变速，则洛伦兹力会变化，而洛伦兹力总是和速度方向垂直，所以就不可能是直线运动。
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，T、 f和ω的大小与速度v有关吗？与哪些因素有关？
[答案] T、 f和ω的大小与轨道半径R和运行速率v无关，只与磁场的磁感应强度B和粒子的比荷eq \f(q,m)有关。比荷eq \f(q,m)相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中，T、 f和ω相同。
双基自测
一、堵点疏通
1．带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。( × )
2．洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。( × )
3．根据公式T＝eq \f(2πr,v)，说明带电粒子在匀强磁场中的运动周期T与v成反比。( × )
4．由于安培力是洛伦兹力的宏观表现，所以洛伦兹力也可能做功。( × )
5．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。( √ )
6．利用质谱仪可以测得带电粒子的比荷。( √ )
7．经过回旋加速器加速的带电粒子的最大动能是由D形盒的最大半径、磁感应强度B、加速电压的大小共同决定的。( × )
二、对点激活
1．(2020·四川石室中学期中)(多选)带电荷量为＋q的粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是( BD )
A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同
B．如果把＋q改为－q，且速度反向、大小不变，则洛伦兹力的大小不变
C．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直
D．粒子只受到洛伦兹力的作用，不可能做匀速直线运动
[解析] 本题考查对洛伦兹力的认识。粒子速度大小相同，由f＝qvBsin θ可知，如果速度v与磁场B的夹角不同，洛伦兹力大小就可能不同，故A错误；如果把＋q改为－q，且速度反向，大小不变，则洛伦兹力的大小、方向均不变，故B正确；洛伦兹力方向一定与电荷运动方向垂直，磁场方向与电荷运动方向不一定垂直，故C错误；洛伦兹力方向一定与电荷运动方向垂直，所以粒子只受到洛伦兹力的作用，不可能做匀速直线运动，故D正确。
2．(2021·安徽安庆月考)美丽的安庆处在北纬30度附近，一束带负电的粒子从太空沿地球半径方向飞向安庆振风塔，由于受到地磁场的作用，粒子的运动方向将会发生偏转，该束带电粒子偏转方向是( B )
A．向东 B．向西
C．向南 D．向北
[解析] 运动粒子带负电，而地磁场的水平分量由南向北，所以根据左手定则可以判断，粒子所受洛伦兹力的方向向西，应向西偏转，B正确。
核心考点·重点突破
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
考点一 对洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力的特点
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向负电荷运动的反方向。
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
3．洛伦兹力与电场力的比较
例1 如图所示，在竖直平面内放一个光滑绝缘的半圆形轨道，水平方向的匀强磁场与半圆形轨道所在的平面垂直。一个带负电荷的小滑块由静止开始从半圆形轨道的最高点M滑下到最右端的过程中，下列说法中正确的是( D )
A．滑块经过最低点时的速度比磁场不存在时大
B．滑块经过最低点的加速度比磁场不存在时小
C．滑块经过最低点时对轨道的压力比磁场不存在时小
D．滑块从M点到最低点所用时间与磁场不存在时相等
[解析] 由于洛伦兹力不做功，故与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的速度不变，A错误；由圆周运动中a＝eq \f(v2,R)，与磁场不存在时相比，滑块经过最低点时的加速度不变，B错误；由左手定则，滑块经过最低点时受到的洛伦兹力向下，而滑块所受的向心力不变，故滑块经过最低点时对轨道的压力比磁场不存在时大，C错误；由于洛伦兹力方向始终与运动方向垂直，在任意一点，滑块经过时的速度与磁场不存在时相比均不变，则运动所用时间相等，D正确。
〔变式训练1〕(多选)初速度为v0的电子，沿平行于通电长直导线的方向射出，直导线中电流方向与电子的初始运动方向如图所示，则( AD )
A．电子将向右偏转，速率不变
B．电子将向左偏转，速率改变
C．电子将向左偏转，轨迹半径不变
D．电子将向右偏转，轨迹半径改变
[解析] 由安培定则判定直线电流右侧磁场的方向垂直纸面向里，再根据左手定则判定电子所受洛伦兹力向右，由于洛伦兹力不做功，电子动能不变，速率不变，A正确，B、C错误；又由R＝eq \f(mv,qB)知，在电子偏离直线电流时，B减弱，故R变大，D正确。
考点二 带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1．带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定
(1)圆心的确定
①基本思路：与速度方向垂直的直线和图中弦的中垂线一定过圆心。
②两种常见情形：
Ⅰ.已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲a所示，图中P为入射点，M为出射点)。
Ⅱ.已知入射点和出射点的位置时，可以先通过入射点作入射方向的垂线，再连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲b所示，图中P为入射点，M为出射点)。
(2)半径的计算方法
①由物理方法求：半径R＝eq \f(mv,qB)。
②由几何方法求：一般由数学公式(勾股定理、三角函数等)计算来确定。
(3)运动时间的确定
①粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间由下式表示：
t＝eq \f(α,360°)T(或t＝eq \f(a,2π)·T)。
②用弧长与线速度的比t＝eq \f(s,v)。
2．带电粒子在有界磁场中运动的常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)
(3)圆形边界
①圆形边界的对称性：粒子沿半径方向进入有界圆形磁场区域时，若入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射时速度方向的反向延长线必经过该区域圆的圆心，如图甲。
②若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ，如图乙。
③若粒子做匀速圆周运动的半径等于磁场区域的半径，则有如下两个结论：
a．当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方向一定平行，(磁发散)如图丙。
b．当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时，粒子会从同一点离开磁场区域，(磁聚焦)如图丁。
题型(一) 直线边界磁场
例2 (2021·曲靖模拟)如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则t1︰t2为( A )
A．3︰1 B．2︰3
C．3︰2 D．2︰1
[解析] 电子在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出电子的运动轨迹，如图所示，电子1垂直射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据半径r＝eq \f(mv,qB)可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则粒子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t1＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)，电子2运动的时间t2＝eq \f(T,6)＝eq \f(πm,3Bq)，所以eq \f(t1,t2)＝3，故A正确。
题型(二) 平行边界磁场和圆形边界磁场
例3 (2021·山东济南月考)如图(甲)所示有界匀强磁场Ⅰ的宽度与图(乙)所示圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一不计重力的粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场Ⅰ，从右边界射出时速度方向偏转了θ角；该粒子以同样的初速度沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了2θ角。已知磁场Ⅰ，Ⅱ的磁感应强度大小分别为B1，B2，则B1与B2的比值为( C )
A．2cs θ B．sin θ
C．cs θ D．tan θ
[解析] 设有界磁场Ⅰ宽度为d，则粒子在磁场Ⅰ和磁场Ⅱ中的运动轨迹分别如图(a)、图(b)所示，由几何关系知d＝r1sin θ，d＝r2tan θ，由洛伦兹力提供向心力知Bqv＝meq \f(v2,r)，得B＝eq \f(mv,rq)，联立得eq \f(B1,B2)＝cs θ，选项C正确。
题型(三) 三角形或多边形边界磁场
例4 如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从a点沿ad方向射入磁场，当速度大小为v1时，粒子从b点离开磁场；当速度大小为v2时，粒子从c点离开磁场，不计粒子重力，则v1与v2的大小之比为( A )
A．1︰3 B．1︰2
C．2︰1 D．1︰4
[解析] 本题考查带电粒子在正六边形边界匀强磁场中的运动。设正六边形abcdef的边长为L，带电粒子从a点沿ad方向射入磁场，当速度大小为v1时，粒子从b点离开磁场，当速度大小为v2时，粒子从c点离开磁场，作出带电粒子运动轨迹如图所示，由图中几何关系可知轨迹半径r1＝eq \f(L,\r(3))，r2＝eq \r(3)L；由qvB＝meq \f(v2,r)可得v＝eq \f(qBr,m)，则v1︰v2＝r1︰r2＝eq \f(L,\r(3))︰eq \r(3)L＝1︰3，选项A正确。
名师点拨 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动解题“三步法”
(1)画轨迹：即确定圆心，画出运动轨迹。
(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度的联系，偏转角度与圆心角、运动时间的联系，在磁场中的运动时间与周期的联系。
(3)用规律：即牛顿运动定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。
考点三 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
解决此类问题常用的结论有：
(1)临界值
刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)时间极值
①当速度v一定时，弧长(弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
②当速度v变化时，圆心角大的运动时间长。
(3)磁场区域面积极值
若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，可求出圆形磁场区的最小面积。
例5 如图所示，平行边界MN、PQ之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，两边界间距为d，边界MN上A点有一粒子源，可沿纸面内任意方向射出完全相同的质量为m，电量为q的带正电的粒子，粒子射出的速度大小均为v＝eq \f(2qBd,3m)，若不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为( C )
A．1 B．2︰3
C．eq \r(3)︰2 D．2eq \r(7)︰7
[解析] 粒子在磁场中运动的轨道半径为r＝eq \f(mv,qB)＝eq \f(2,3)d，则能达到PQ上的粒子长度为2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)d))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)d))2)＝eq \f(2\r(3),3)d；能打到MN上的粒子的长度为2r＝eq \f(4,3)d，故粒子能从PQ边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为eq \f(\r(3),2)，故选C。
〔变式训练2〕一带电质点，质量为m，电荷量为q，重力忽略不计，以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入如图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度射出，可在适当的地方加一垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，求这圆形磁场区域的最小半径。
[答案] eq \f(\r(2)mv,2qB)
[解析] 质点进入xOy平面的磁场区域内做匀速圆周运动，由
qvB＝meq \f(v2,R)得R＝eq \f(mv,qB)
据题意，要求质点垂直x轴射出，它在磁场区域内必经过eq \f(1,4)圆周，且此圆周应与入射速度和出射速度所在的直线相切，如图所示，过这两个切点M、N作入射和出射方向的垂线，其交
点O′即为圆心。因此该质点在磁场内的轨迹就是以O′为圆心，R＝eq \f(mv,qB)为半径的一段圆弧eq \x\t(MN)(图中虚线圆弧)，在过M、N两点的所有圆周中，以MN为直径的圆周最小(如图中实线所示)，因此所求圆形区域的最小半径为rmin＝eq \f(1,2)MN＝eq \f(1,2)·eq \r(2)R＝eq \f(\r(2)mv,2qB)。
考点四 带电粒子在磁场中运动的多解问题
1．带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。
如图(1)，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。
2．磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。
如图(2)，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3．临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图(3)所示，于是形成了多解。
4．运动的往复性形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解 。如图(4)所示。
例6 (2020·海南月考)(多选)如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率的质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子(重力不计)，若所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是( AB )
A．eq \f(\r(3)BqL,6m) B．eq \f(\r(3)BqL,3m)
C．eq \f(\r(3)BqL,2m) D．eq \f(\r(3)BqL,m)
[解析] 本题考查带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题。由题意可知粒子部分可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为120°，所以带电粒子的运动半径为r＝eq \f(\r(3),3)eq \f(L,n)(n＝1,2,3，…)，由洛伦兹力提供向心力有Bqv＝meq \f(v2,r)，可得v＝eq \f(\r(3)BqL,3nm)(n＝1,2,3，…)，故A、B正确。
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
“数学圆”模型在电磁学中的应用
一、“平移圆”模型的应用
例7 如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1︰t2为( C )
A．2︰1 B．2︰3
C．3︰2 D．eq \r(3)︰eq \r(2)
[解析] 画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为R＝L，从C点射出的粒子运动时间为t1＝eq \f(T,4)；由P点运动到M点所用时间为t2，圆心角为θ，则cs θ＝eq \f(\f(R,2),R)，则cs θ＝eq \f(1,2)，θ＝60°，故t2＝eq \f(T,6)，所以eq \f(t1,t2)＝eq \f(\f(T,4),\f(T,6))＝eq \f(3,2)，C正确。
二、“旋转圆”模型的应用
例8 如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。
(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径；
(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。
[解析] (1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得Bqv＝meq \f(v2,r)，则r＝eq \f(mv,Bq)。
(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越大，偏转角越大则运动时间越长，当粒子的轨迹圆的弦长等于磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，sineq \f(φmax,2)＝eq \f(R,r)＝eq \f(1,2)，即φmax＝60°。
[答案] (1)见解析 (2)60°
三、“放缩圆”模型的应用
例9 (多选)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法中正确的是( ABD )
A．若该粒子的入射速度为v＝eq \f(qBl,m)，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为l
B．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝eq \f(\r(2)＋1qBl,m)
C．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝eq \f(\r(2)qBl,m)
D．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为eq \f(πm,qB)
[解析] 若粒子射入磁场时速度为v＝eq \f(qBl,m)，则由qvB＝meq \f(v2,r)可得r＝l，由几何关系可知，粒子一定从CD边上距C点为l的位置离开磁场，选项A正确；因为r＝eq \f(mv,qB)，所以v＝eq \f(qBr,m)，因此，粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，速度就越大，由几何关系可知，当粒子在磁场中的运动轨迹与三角形的AD边相切时，能从CD边射出的轨迹半径最大，此时粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r＝(eq \r(2)＋1)l，故其最大速度为v＝eq \f(\r(2)＋1qBl,m)，选项B正确，C错误；粒子在磁场中的运动周期为T＝eq \f(2πm,qB)，故当粒子从三角形的AC边射出时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于此时粒子做圆周运动的圆心角为180°，故其最长时间应为t＝eq \f(πm,qB)，选项D正确。
2年高考·1年模拟
2 NIAN GAO KAO 1 NIAN MO NI
1．(2020·课标Ⅰ，18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示， eq \\ac(ab,\s\up10(︵)) 为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( C )
A．eq \f(7πm,6qB) B．eq \f(5πm,4qB)
C．eq \f(4πm,3qB) D．eq \f(3πm,2qB)
[解析] 本题考查带电粒子在组合边界磁场中的运动。带电粒子在磁场中运动，有qvB＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r，又T＝eq \f(2πr,v)，可得T＝eq \f(2πm,qB)，带电粒子在有界磁场中运动时间t＝eq \f(θ,2π)T，则粒子在同一有界磁场中运动的时间与粒子速率无关，而与粒子运动轨迹所对应的圆心角有关，当粒子的出射点与c点的连线与 eq \\ac(ab,\s\up10(︵)) 相切时粒子在磁场中运动的轨迹所对应圆心角最大，粒子运动的时间最长，其运动轨迹如图所示，由几何知识知，α＝60°，则粒子在磁场中运动的最长时间为t＝eq \f(180°＋60°,360°)T＝eq \f(4πm,3qB)，C正确，A、B、D错误。
2．(2020·课标Ⅱ，17)CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线(如图中带箭头的虚线所示)，将电子束打到靶上的点记为P点。则( D )
图(a)
图(b)
A．M处的电势高于N处的电势
B．增大M、N之间的加速电压可使P点左移
C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外
D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移
[解析] 本题结合CT扫描机考查带电粒子的加速、偏转问题。电子束在M、N之间需要加速，故N处的电势高于M处的电势，A错误；若增大M、N之间的加速电压，会使得电子获得的速度变大，电子在磁场中偏转，洛伦兹力提供向心力，有Bvq＝meq \f(v2,R)，可得电子的偏转轨迹半径R＝eq \f(mv,qB)，则电子在磁场中运动轨迹的半径变大，电子出磁场时偏转角减小，P点向右移，B错误；电子进入磁场中向下偏转，由左手定则可知，偏转磁场的方向垂直于纸面向里，故C错误；根据R＝eq \f(mv,qB)可知，偏转磁场的磁感应强度越大，电子的运动轨迹半径越小，在偏转磁场中偏转越明显，P点向左移，故D正确。
3．(2020·课标Ⅲ，18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( C )
A．eq \f(3mv,2ae) B．eq \f(mv,ae)
C．eq \f(3mv,4ae) D．eq \f(3mv,5ae)
[解析] 本题考查电子在有界磁场中的运动。设电子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有Bev＝eq \f(mv2,r)，可得r＝eq \f(mv,Be)，要求磁场的磁感应强度最小，即圆周运动的半径最大，如图所示，圆周运动的半径最大时，轨迹圆与外圆相切，根据两圆内切可知，边界圆圆心O、轨迹圆圆心A与切点D在一条直线上，根据几何关系可得(3a－r)2＝r2＋a2，解得r＝eq \f(4,3)a，则磁感应强度的最小值Bmin＝eq \f(3mv,4ae)，故C正确，A、B、D错误。
洛伦兹力
电场力
产生条件
v≠0且v不与B平行
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
方向
F⊥B且F⊥v
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功，可能做负功，也可能不做功
适用条件
速度大小一定，方向一定，入射点不同，但在同一直线上
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝eq \f(mv0,qB)，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线，该直线与入射点的连线平行
界定方法
将半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
适用条件
速度大小一定，方向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝eq \f(mv0,qB)。如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆上
界定方法
将一半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
适用条件
速度方向一定，大小不同
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定方法
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
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