人教版高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第4节核心素养科学思维_双星模型和多星模型学案

科学思维—双星模型和多星模型

　双星模型

1．定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。

2．特点

(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即

＝m1ωr1，＝m2ωr2。

(2)两颗星的周期及角速度都相同，

即T1＝T2，ω1＝ω2。

(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。

(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即

＝。

(5)双星的运动周期T＝2π。

(6)双星的总质量m1＋m2＝。

[示例1]　双星系统中两个星球A、B的质量都是m，A、B相距L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于按照力学理论计算出的周期理论值T0，且＝k(k<1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C位于双星A、B的连线正中间，相对A、B静止，求：

(1)两个星球A、B组成的双星系统周期理论值T0；

(2)星球C的质量。

[解析]　(1)两星球的角速度相同，根据万有引力充当向心力知：＝mr1ω＝mr2ω

可得：r1＝r2 ①

两星绕连线的中点转动，则有：

＝m×ω

解得ω1＝ ②

所以T0＝＝2π。 ③

(2)由于C的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，则

＋G＝m·L·ω ④

T＝＝kT0 ⑤

联立③④⑤式解得M＝。

[答案]　(1)2π　(2)

　多星模型

1．定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。

2．三星模型

(1)三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。

(2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。

　　           　甲　　　　乙　　　　丙　　　　丁

3．四星模型

(1)其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。

(2)另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。

[示例2]　宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则下列说法不正确的是(　　)

A．每颗星做圆周运动的线速度为

B．每颗星做圆周运动的角速度为

C．每颗星做圆周运动的周期为2π

D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关

D　[每颗星受到的合力为F＝2Gsin 60°＝G，轨道半径为r＝R，由向心力公式F＝ma＝m＝mω2r＝m，解得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，显然加速度a与m有关，选项A、B、C正确，D错误。]

解决双星、多星问题的关键点

(1)双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。

(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。

(3)星体的角速度相等。

(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。

[即时训练]

1．(2019·云南昆明一中月考)如图所示，A、B两颗恒星分别绕它们连线上某一点做匀速圆周运动，我们通常称之为“双星系统”，A的质量为B的2倍，忽略其他星球对二者的引力，下列说法正确的是(　　)

A．恒星A的向心加速度是B的一半

B．恒星A的线速度是B的2倍

C．恒星A的公转周期是B的一半

D．恒星A的动能是B的2倍

A　[A、B之间的引力提供各自的向心力，由牛顿第二定律可知，A、B的向心力相等，角速度和周期相等，则有2MrA＝MrB，解得恒星A与恒星B的轨道半径之比为rA∶rB＝1∶2，由v＝ωr，a＝ω2r，TA＝TB，可得A正确，B、C错误；由动能Ek＝mv2可得＝·＝×＝，故D错误。]

2．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每颗星的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法不正确的是(　　)

A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动

B．四颗星的轨道半径均为

C．四颗星表面的重力加速度均为

D．四颗星的周期均为2πa

B　[其中一颗星在其他三颗星的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为a，故A正确，B错误；在每颗星表面，根据万有引力近似等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正确；由万有引力定律和向心力公式得＋＝m·，解得T＝2πa，故D正确。]