专题04 直棱柱模型练习-新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

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专题04 直棱柱模型（解析版）一、解题技巧归纳总结1．直棱柱模型：如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）         图1                        图2                         图3第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出二、典型例题例1.正三棱柱内接于半径为2的球，若，两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为　      ．【解析】正三棱柱内接于半径为2的又，两点的球面距离为，故，又是等腰直角三角形，，则的外接圆半径为，则点到平面的距离为，正三棱柱高，又的面积，正三棱柱的体积．故答案为：．例2.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于　　．【解析】设底面三角形的外心是，，在中，，可得，由正弦定理，，可得外接圆半径，设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为故答案为：．例3.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为      . 【解析】设正六边形边长为，高为，底面外接圆的半径为，则，底面积为，， 解得，代入，解得，所以球的体积为.三、配套练习1．一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】由俯视图是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，故底面外接圆半径，由主视图可得几何体的高为2，故球心到底面的距离，故球半径，故该直三棱柱外接球的表面积为，故选：．2．在直三棱柱中，，，，若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为　　A．624 B．576 C．672 D．720【解析】在直三棱柱中，，，，，构造长方体，长方体的外接球就是直三棱柱的外接球，直三棱柱外接球的半径为13，，，直三棱柱的表面积为：．故选：．3．在直三棱柱中．侧棱长为，，则此三棱柱的外接球的半径　　A．1 B． C．2 D．4【解析】在直三棱柱中．侧棱长为，，取上底和下底的中心分别为、，则的中点为三棱柱的外接球的球心，为三棱柱的外接球的半径，，，．此三棱柱的外接球的半径．故选：．4．已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为　　A． B． C． D．【解析】该直三棱柱的底面外接圆直径为，所以，外接球的直径为，则，因此，该三棱柱的外接球的体积为．故选：．5．已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】由题意可知直三棱柱中，底面小圆的半径为，由正弦定理得到，所以，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：，外接球的表面积为：；故选：．6．在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积　　A． B． C． D．【解析】如图，把直三棱柱补形为长方体，则其外接球的半径，该三棱柱外接球的体积为．故选：．7．直三棱柱中，，，则该三棱柱的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】在直三棱锥中，，，，面，即直三棱柱的底面为等腰直角三角形，把直三棱柱补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，设，分别为，的中点，则的中点为球心，球的半径，故表面积为．故选：．8．某直三棱柱的侧棱长等于2，底面为等腰直角三角形且腰长为1，则该直三棱柱的外接球的表面积是　　A． B． C． D．【解析】由于直三棱柱的底面为等腰直角三角形，把直三棱柱补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为，表面积为．故选：．9．正四棱柱中，，二面角的大小为，则该正四棱柱外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】如图，，交于，易证为二面角的平面角，即，从而，，，，外接球直径为，外接球半径为，．故选：．10．正六棱柱的侧面是正方形，若底面的边长为，则该正六棱柱的外接球的表面积是　　A． B． C． D．【解析】正六棱柱的侧面是正方形，若底面的边长为，底面对角线的长度为：；所以该正六棱柱的外接球的半径为：．所以该正六棱柱的外接球的表面积是：．故选：．11．正六棱柱的侧面是正方形，若底面的边长为1，则该正六棱柱的外接球的表面积是　　A． B． C． D．【解析】正六棱柱的侧面是正方形，底面的边长为1，则底面最长对角线的长度为2．因此该正六棱柱的外接球的半径．该正六棱柱的外接球的表面积．故选：．12．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】正六棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的直径，就是正六棱柱的对角线的长，所以球的直径为：，所以球的表面积为：．故选：．13．已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】设正六棱柱的底面边长为，高为，则，，正六棱柱的体积，当且仅当时，等号成立，此时，可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为，外接球的表面积为．故选：．14．一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，则它的外接球的体积为　　A． B． C． D．【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，直六棱柱的外接球的直径为，外接球的半径为5，外接球的体积为．故选：．二．填空题（共20小题）15．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是　　．【解析】棱长均为6的直三棱柱，即正三棱柱的底面边长为6，底面所在平面截其外接球所成的圆的半径，又由正三棱柱的侧棱长为6，则球心到圆的球心距，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径满足：，外接球的表面积．故答案为：．16．已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为　　．【解析】因为是直三棱柱，所以侧棱垂直于底面，并且底面是直角三角形，故可以将该三棱柱嵌入长方体中，长、宽、高分别为，设外接球半径为，则，所以，所以体积．故答案为：．17．在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为　　．【解析】如图所示，设与△的外接圆的圆心分别为，，半径为．连接，取中点为，则为此三棱柱外接球的球心．在中，．．此三棱柱外接球的表面积．故答案为：．18．已知在直三棱柱中，，，若此三棱柱的外接球的体积为，则　2　【解析】如图，设三棱柱的外接球的半径为，则，得．由于直三棱柱的外接球的球心是的中点，，在中，，在中，．故答案为：2．19．在直三棱柱中，侧棱长为，在底面中，，则此直三棱柱的外接球的表面积为　　．【解析】由题意可知直三棱柱中，底面小圆的半径为，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：，外接球的表面积为：．故答案为．20．在直三棱柱中，，，，，则该三棱柱的外接球表面积为　　．【解析】由题意可知直三棱柱中，，，，可得，设底面的小圆半径为，则，可得；连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，则外接球的表面积；故答案为：．21．在直三棱柱中，且，，则此三棱柱外接球的表面积为　　．【解析】由题意可知直三棱柱中，，，，底面小圆的半径满足：，即，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：三棱柱的外接球的表面积为：；故答案为：．22．在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为　　．【解析】三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，可将棱柱补成长方体，长方体的对角线，即为球的直径，球的半径为，球的表面积为，故答案为：．23．已知直三棱柱的高为，，，则该三棱柱外接球的表面积为　　；【解析】设直三棱柱的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点，，设的外接圆半径为，直三棱柱的外接球的半径为，如图所示：，直三棱柱的外接球的球心为线段的中点，在中，，，由正弦定理得：，，在中，，，，，直三棱柱的外接球的表面积为：，故答案为：．24．已知直三棱柱中，，侧面的面积为16，则直三棱柱外接球的半径的最小值为　　．【解析】设，，则，直三棱柱中，，直三棱柱外接球的半径为，直三棱柱外接球半径的最小值为．故答案为：．25．在正四棱柱中，，，则正四棱柱的外接球的表面积为　　．【解析】正四棱柱的各顶点均在同一球的球面上，正四棱柱的体对角线等于球的直径，正四棱柱中，，，正四棱柱的体对角线，球的直径，即球的半径，球的表面积为，故答案为．26．已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为　　．【解析】设正四棱柱的底面边长为，高为，则，，正四棱柱的外接球半径为，当且仅当时，半径的最小值，外接球的表面积的最小值为．故答案为．27．正四棱柱中，，，设四棱柱的外接球的球心为，动点在正方形的边长，射线交球的表面点，现点从点出发，沿着运动一次，则点经过的路径长为　　．【解析】由题意，点从点出发，沿着运动一次，则点经过的路径是四段大圆上的相等的弧．正四棱柱中，，，四棱柱的外接球的直径为其对角线，长度为，四棱柱的外接球的半径为，，所在大圆，所对的弧长为，点经过的路径长为．故答案为：．28．在直四棱柱中，，，四边形的外接圆的圆心在线段上．若四棱柱的体积为36，则该四棱柱的外接球的体积为　　．【解析】由题意四边形的外接圆的圆心在线段上，可得和都是以为斜边的直角三角形，因为，所以．因为，所以，所以四边形的面积．因为四棱柱的体积为36，所以，所以该四棱柱的外接球的半径，故该四棱柱的外接球的体积为．故答案为：．29．已知六棱柱的底面是正六边形，侧棱与底面垂直，若该六棱柱的侧面积为48，底面积为，则该六棱柱外接球的表面积等于　　．【解析】设，，则六棱柱的侧面积为48，底面积为，，，，，该正六棱柱的外接球的半径．该正六棱柱的外接球的表面积．故答案为：．30．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为　　．【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，直六棱柱的外接球的直径为5，外接球的半径为，外接球的表面积为．故答案为：．31．正六棱柱的底面边长为，高为，则它的外接球的表面积为　　．【解析】正六棱柱的12个顶点都在同一球面上，球的直径等于正六棱柱的体对角线．正六棱柱的底面边长为，高为，正六棱柱的体对角线为，设球的半径为，则．球的半径，外接球的表面积为．故答案为：．32．已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为　　．【解析】设正六棱柱的底面边长为，高为，则，，正六棱柱的体积，当且仅当时，等号成立，此时，可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为，外接球的表面积为．故答案为：．33．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为　　．【解析】如图，；正六棱柱的外接球的直径是正六棱柱体对角线的长，侧棱垂直于底面，；在中，由勾股定理得：，，即；它的外接球的表面积为．故答案为：．34．已知正六棱柱的高为8，侧面积为144，则它的外接球的表面积为　　．【解析】设正六棱柱的底面正六边形的边长为，则正六棱柱的侧面积为，得，因此，底面正六边形的外接圆直径为，设它的外接球的半径为，则，，因此，该正六棱柱的外接球的表面积为．故答案为：．