2021-2022学年广西南宁市宾阳中学高一（下）月考数学试卷（5月份）（Word解析版）

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2021-2022学年广西南宁市宾阳中学高一（下）月考数学试卷（5月份）

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 用分层抽样的方法从盆红花和盆蓝花中选出盆，则所选红花和蓝花的盆数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

2. 化简：(    )

A.  B.  C.  D.

3. 以下结论正确的是(    )

A. 已知一个圆锥的母线长为，其侧面积为，则该圆锥的高为
B. 在水平平面上用斜二测画法作出边长为的正方形的直观图的面积为
C. 若平面平面，直线，直线，则
D. 若平面平面，，直线，，则

4. 已知，，和的夹角为，则为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在平面直角坐标系中，向量，则下列结论中一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 与的夹角为

6. 中，已知其面积为，则角的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列关于平面向量的说法，正确的是(    )

A. 若，且，则
B. 若点是的重心，则
C. 在平面直角坐标系中，已知，则在方向上的射影为
D. 在平面直角坐标系中，已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

8. 在中国古代数学典籍九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”如图，四面体是一个鳖臑，且平面，在下列判断中：
   平面；
   ；
   平面平面；
   若，点在棱上运动不包括，两点，则三棱锥的体积是长度的正比例函数．
   判断正确的共有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面．下列命题中，假命题是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

10. 已知为虚数单位，复数，下列命题中，真命题是(    )

A. 若，则是正实数
B. 若，则是纯虚数
C. 存在虚数，使是实数
D. 存在实数，使复数在复平面上对应的点在第三象限

11. 在的三个内角，，所对的边依次为，，，若，则的面积可能为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，则有(    )

A. 平面
B. 二面角大小的余弦值为
C. 三棱锥的内切球半径为
D. 过直线与平面平行的平面截该正方体所得截面的面积为
 

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 设向量，，且，则实数的值是          ．
14. 某工厂名工人在一小时内生产某种零件的个数依次为，，，，，，则该组数据的平均数为______，中位数为______，方差是______．
15. 已知，，是直线上不同三点，是直线外任意一点，且，若，，则的最小值为______．
16. 已知三棱锥中，平面，，三棱锥外接球的表面积为，则球的体积为______，异面直线，所成角的余弦值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知是复数的共轭复数，且满足，为虚数单位，求复数．
18. 本小题分
    已知直角坐标平面上有不共线三点，，．
    求以线段，为邻边的平行四边形两条对角线，的长；
    设点满足，试判断点是在的边上？还是在的外部？请说明理由．
19. 本小题分
    为了解某市家庭用电情况，该市统计局用简单随机抽样法调查了市区户居民去年全年的月均用电量，发现这些家庭的月均用电量都在至之间，进行适当分组后，已作出这些家庭月均用电量的频率分布直观图，如图所示．
    
    求的值；
    为了既要满足市区居民家庭的基本用电需求，又能提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯式用电递增电价第一档用电量满足市内居民家庭基本用电需求，电价最低；第二档用电量反映部分市区居民家庭合理用电需求，电价较高；第三档用电量反映部分市区居民家庭合理用电需求，电价最高定价，希望使得不少于的市区家庭用电缴费在第一档．若是用这户家庭去年全年的月均用电量作为参考标准，求第一档市区居民家庭月均用电量的最低标准值单位：．
20. 本小题分
    设是锐角三角形，内角，，所对的边分别为，，，且．
    求证：的最大值是；
    求的取值范围．
21. 本小题分
    如图，四棱柱的底面是正方形，侧面是菱形，，平面平面，，分别为，的中点．
    求证：平面；
    求与平面所成角的正切值．

22. 本小题分
    已知向量，，函数，，．
    当时，求的值；
    若的最小值为，求实数的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：用分层抽样的方法从盆红花和盆蓝花中选出盆，
则所选红花的盆数为：，
所选蓝花的盆数为：．
故选：．
利用分层抽样的性质直接求解．
本题考查所选红花和蓝花的盆数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平面向量加法、减法运算，属于基础题．
由平面向量加法、减法运算化简即可．
【解答】
解：．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：对于，，解得，，故A错误；
对于，原图形面积，
斜二测画法的直观图面积，故B错误；
对于，若平面平面，直线，直线，则与平行或异面，故C错误；
对于，若平面平面，，直线，，则由面面垂直的性质定理得，故D正确．
故选：．
根据圆锥的侧面积公式求半径即可判断；由原图形与直观图面积之间关系判断；根据面面平行的定义判断；由面面垂直的性质定理判断．
本题考查圆锥的侧面积公式求半径、原图形与直观图面积之间关系、面面平行的定义、面面垂直的性质定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意利用两个向量的数量积的定义可得  ，
解得，
故选B．
本题主要考查两个向量的数量积，利用两个向量的数量积的定义可得，把代入求得的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：向量，
，，故A错误；
，故 与不垂直，故B错误；
，，故C正确；
，，
与的夹角为锐角，而可以为锐角，也可以为负角，故与的夹角，故D错误，
故选：．
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，两个向量的数量积公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，两个向量的数量积公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，即，，且，
，即，
为三角形的内角，
．
故选：．
利用三角形面积公式表示出，利用余弦定理表示出，变形后都代入已知等式，利用同角三角函数间的基本关系化简求出的值，即可确定出的度数．
此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：当都与垂直时，，且，可能，
如正方体的侧棱所在向量垂直于底面直线所在向量，但底面直线所在向量不一定相等，故A错误；
连接，延长交于，如图，

由点是的重心，是中点，
，，故B正确；
由，，可知，
在上的射影为，故C错误；
当与同向共线时，可得，此时满足，但与的夹角为零角，故D错误．
故选：．
当都与垂直时，可能，由此判断；根据重心性质、向量的线性运算判断；利用向量在向量上的射影判断；考查与同向，判断．
本题考查向量垂直、向量相等、重心性质、向量的线性运算、向量在向量上的射影、向量同向共线等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对于，因为平面，平面，所以平面平面，
又因为平面平面，平面，且，所以平面，命题正确；
对于，因为平面，平面，所以，命题正确；
对于，因为平面，平面，所以平面平面，命题正确；
对于，过点作，交于点，因为平面，所以，所以；
又因为，，且，解得，
所以三棱锥的体积，
即是长度的正比例函数，命题正确．
综上知，正确的命题序号是，共有个．
故选：．
中，由平面得出平面平面，由，得出平面；
中，利用线面垂直的定义得出；
中，根据面面垂直的判定定理得出平面平面；
中，利用作差法求出三棱锥的体积，即可得出结论．
本题考查了三棱锥的结构特征应用问题，也考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系应用问题，以及推理于判断能力，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，
对于，若，，则由线面垂直的性质定理得，故A正确；
对于，若，，则与相交、平行或，故B错误；
对于，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；
对于，若，，则或，故D错误．
故选：．
对于，由线面垂直的性质定理得；对于，与相交、平行或；对于，由线面垂直的判定定理得；对于，或．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
当时，，故选项A正确；
当时，，故选项B正确；
，若为实数，则，此时，复数不是纯虚数，
故选项C错误；
复数对应的点在第三象限则，，此时无实数解，故选项D错误，
故选：．
利用复数的运算性质，以及复数的几何意义，即可解出．
本题考查了复数的运算，几何性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
由正弦定理得，解得，又，
或，
当时，，
，
，
当时，，
，
，
故选：．
利用正弦定理可求，进而求，进而可求面积．
本题考查三角形的面积的求法，属基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，连接、、，如图所示：
因为在平面内的射影是，且，所以，
同理，，又，所以平面，
又因为平面平面，所以与平面不垂直，选项A错误；
对于，连接，交与点，连接，如图所示：
因为，，所以是二面角的平面角，且，选项B正确．
对于，设三棱锥内切球的半径为，
利用等体积法得，，
解得，所以三棱锥内切球的半径为，选项C错误；
对于，如图所示，取的中点，的中点，连接、、，
则四边形是过直线与平面平行的截面，且四边形是等腰梯形，
计算梯形的面积为，所以选项D正确．
故选：．
中，连接、、，证明平面，即可得出与平面不垂直；
中，找出是二面角的平面角，计算即可；
中，利用等体积法求出三棱锥的内切球半径长；
中，取的中点，的中点，连接、、，四边形是过直线与平面平行的截面，求四边形的面积即可．
本题考查了空间几何体的结构特征与应用问题，也考查了平行与垂直的判断问题和面积、体积的计算问题，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得，解得的值，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，向量，，
若，则，解可得，
故答案为：．

14.【答案】    

【解析】解：根据题意，个数据为，，，，，，
其平均数，中位数为；
则其方差．
故答案为：，，．
根据题意，由平均数、中位数、方差的计算公式计算可得答案．
本题考查数据的方差、平均数和中位数的计算，注意方差、中位数和平均数，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，且，，三点共线，
所以，
则
，
当且仅当时，即时取得最小值，
故答案为：．
根据已知条件可知，三点，，共线，根据向量条件下，三点共线的推论可知，结合基本不等式可求结果．
本题考查三点共线的向量条件以及基本不等式的应用，属于中档题．
 

16.【答案】  

【解析】解：三棱锥中，平面，，三棱锥外接球的表面积为，
可得，，所以球的体积为：．
为底面三角形是外心，，就是异面直线，所成角，
所以异面直线，所成角的余弦值：．
故答案为：；．
利用球的表面积求解球的半径，然后求解球的体积，然后结合图形求解异面直线所成角．
本题考查空间几何体的表面积以及体积的求法，异面直线所成角的求法，是中档题．
 

17.【答案】解：设，，
，即，
，，
． 

【解析】设出复数的代数形式，得出等式，即可解出．
本题考查了复数的代数运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：，，
，
，
，．
设线段的中点为，则，
，
，，
故点在线段上，即点不在三角形的边上． 

【解析】将向量和用坐标表示出来，求出其模，即可解出；
设的中点为点，表示出向量，即可解出．
本题考查了向量的基本运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：由频率分布直方图的性质，可得，解得．
前四组的频率之和为，
前组的频率之和为，
频率为时对应的数据在第五组，
第一档月均用电量最低标准值为，
第一档月均用电量的最低标准值． 

【解析】由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为，即可求的值．
先分别算出前四组和前五组的频率之和，可确定频率为时对应的数据在第五组，即可求解．
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，属于基础题．
 

20.【答案】解：由余弦定理得：，
即，当且仅当时取等号，
此时是等边三角形，为锐角三角形，符合条件，
故最大值是．
由正弦定理得，
所以，，
所以，
为锐角三角形，所以，
所以，
所以，
，即，
故的取值范围是． 

【解析】结合余弦定理和不等式可求最大值；由正弦定理把，边转化成用角表示，然后用三角恒等变换求取值范围．
本题考察正余弦定理的应用及不等式，是中档题．
 

21.【答案】解：证明：设中点为，连接，．
因为，分别为，的中点，
所以．
在正方形中，是的中点，
所以，且，
所以且．
所以四边形是平行四边形，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
过作于，过作于，连接，则
因为平面平面，且平面平面，
平面，所以平面．
所以是在平面的射影．
所以为直线与平面所成的角．
设正方形的边长为，
因为侧面是菱形，，所以．
又因为且是的中点，所以．
在正方形中，为的中点，为的四等分点，．
所以在直角三角形中，．
所以与平面所成角的正弦值为． 

【解析】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查直观想象的核心素养，属于中档题．
设中点为，则四边形是平行四边形，所以，进而可得到平面；
过作于，则为直线与平面所成的角，再利用几何关系可得与平面所成角的正切值．
 

22.【答案】解：因为，
所以，
，

当时，，
有；
因为，所以，
则，
令，则，
则，函数图象开口向上，对称轴，
当，即时，在上单调递增，
当时，函数取得最小值，此时最小值，解得舍去；
当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，
解得，或舍去；
当，即时，在上单调递减，
当时，函数取得最小值，此时最小值，解得舍去．
综上可知，若的最小值为，则实数． 

【解析】先根据向量的坐标表示求出．
根据写出的表达式，再求的值；
根据，写出的表达式并利用余弦二倍角公式化为关于的三角函数，再利用换元法将问题转化为求二次函数已知定区间上的最小值求参数问题，再利用分类讨论求解．
本题考查了平面向量和三角函数的综合应用，属于中档题．