2021-2022学年浙江省台州市九校联盟高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年浙江省台州市九校联盟高二（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知为复数且为虚数单位，则共轭复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 设，，则“”是“”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知，是两条不同的直线，，为两个不同的平面，有下列四个命题：
   若，，，则；若，，，则；
   若，，，则；若，，，则．
   其中所有正确的命题是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数则函数的大致图像为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知点为的外接圆圆上一点不与、重合，且线段与边相交于一点，若，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知甲罐中有五个相同的小球，标号为，，，，，乙罐中有四个相同的小球，标号为，，，，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于”，事件“抽取的两个小球标号之积小于”，则(    )

A. 事件与事件是互斥事件 B. 事件与事件不是对立事件
C. 事件发生的概率为 D. 事件与事件是相互独立事件

10. 已知函数的图象关于直线对称，则(    )

A. 函数为偶函数
B. 函数在上单调递增
C. 若，则的最小值为
D. 函数的图象关于中心对称

11. 下列说法中，正确的是(    )

A. 若，则与夹角为锐角
B. 若是内心，且满足，则这个三角形一定是锐角三角形
C. 在中，若，则为的重心
D. 在中，若，则为的垂心

12. 正方体棱长为，动点在直线上不含点，下列命题正确的是(    )

A. 平面
B. 与平面所成最大角的余弦值为
C. 三棱锥的内切球表面积为
D. 点到平面的距离为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. 设函数，若，则______．
14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的外接球的体积为______．
15. 已知非负实数，满足，则的最小值为______．
16. 已知单位向量，，满足，，，记在方向上的投影向量的模长为，则的最大值为______．

四、解答题（本大题共5小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 在中，角，，的对边分别为，，，且A.
    求角；
    若，求三角形周长的取值范围．
18. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
    根据下图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和第百分位数；
    宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从和组中抽取人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的人中选人参加一个座谈会，现从参加座谈会的人中随机抽取两人发言，求小组中至少有人发言的概率？

19. 已知函数．
    求函数的定义域，并判断其奇偶性；
    若关于的方程有解，求实数的取值范围．
20. 如图，四棱锥中，，，，，，，为中点．
    证明：；
    求直线与平面所成角的正弦值．

21. 已知函数．
    求函数在上的单调区间；
    若，求证：当时，．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由集合，
得不等式，解得：，
因为，所以，
由，
可得：，
故选：．
由集合，得不等式，解出不等式，可得集合的全部元素，由交集的定义可得最后答案．
本题考查集合运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以，则共轭复数的虚部为．
故选：．
根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到其共轭复数，从而得到其虚部．
本题主要考查共轭复数和虚部的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：若，则，即出成立．
若则，或
所以“是”的充分不必要条件．
故选：．
根据：若则，或；由充分必要条件的定义可判断．
本题简单的考查了作差分解因式，判断大小；充分必要条件的判断方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：若，，，由面面垂直的判定可得，故正确；
若，，则或，相交，所以，不一定垂直，故错误；
若，，则或，若，则，不一定平行，故错误；
若，，则，又，则成立，故正确．
故选：．
利用面面垂直的判定定理判断可判断；根据面面平行的判定定理判断可判断；利用面面平行的判定定理判断；利用线面垂直和面面平行的性质判断．
本题考查了空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判断，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，则，
得，则是奇函数，
则为偶函数，排除，，
当，，，则，排除，
故选：．
设，判断的奇偶性，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图像的识别，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断是解决本题的关键，是中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：若，则，
由二倍角公式可得，，即，
故，得．
故选：．
利用余弦二倍角公式可解．
本题考查二倍角公式的运用，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：若为线段与边交点，则且，
由题设，在的边外侧，如上图中上，
令，则，而，
所以，
当变大时，外接圆半径趋向无穷大，此时可趋向无穷大，
综上，的取值范围为．
故选：．
令为线段与边交点有且，根据题意有且，即可得答案．
本题考查了平面向量基本定理，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题设，，，，
令且，可得，
所以有，则上递增；有，则上递减；
又，故．
故选：．
由题设，，，构造并利用导数研究单调性，进而比较它们的大小．
本题考查构造新函数判断大小，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：甲罐中小球编号在前，乙罐中小球编号在后，表示一个基本事件，
事件含有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个．
事件含有的基本事件有：，，，，，，，共个，两者不可能同时发生，它们互斥，A正确；
基本事件发生时，事件，均不发生，不对立，B正确；
事件中含有个基本事件，由以上分析知共有基本事件个，因此，C正确；
，，，，不相互独立，错．
故选：．
由两球编号写出事件，所含有的基本事件，同时得出所有的基本事件，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断，求出的概率判断，由公式判断．
本题主要考查相互独立事件，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题设，且，则且，
又，可得，即．为奇函数，A错误；
，则，故递增，B正确；
由，则，为的最大或最小值各一个，
要使最小，则，C正确；
，即的图象关于中心对称，D正确．
故选：．
由对称轴可得且，结合已知有，即，由正弦型函数的性质判断、、的正误，代入法验证的正误．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对选项，，与夹角为锐角或零度角，选项错误；
对选项，是内心，根据内心的向量式可得，
又，：：：：，，为钝角，选项错误；
对选项，在中，若，为的重心，选项正确；
对选项，在中，若，
，，，同理，为的垂心，选项正确．
故选：．
根据向量数量积的定义，三角形内心的向量式，余弦定理，三角形重心的向量式，向量垂直的性质即可逐一判断．
本题考查向量数量积的定义，三角形内心的向量式，余弦定理，三角形重心的向量式，向量垂直的性质，属中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，可得平面，故A正确；
正方体中，，分别为在和面的中心，对角线的交点，
且，是平行四边形，
由正方体的性质得，又，，，平面，
所以平面，作交于点，则平面，是与平面所成解，

平面，，在直角中，，，
当与重合时，最小，此时，为最大值，因此最大角的余弦值为，故B错误；
由此过程可在到平面的距离为，故D正确；
三棱锥是正四面体，如图，易得，

又三棱锥的表面积为，
设三棱锥的内切球半径为，则由，得，
内切球的表积为，故C正确．
故选：．
由线面平行的判定定理可判断；求出与平面所成角的最大值，可判断；求出点到平面的距离中判断；由体积法求出棱锥的内切球可判断．
本题考查线面平行的判定，线面角的求法，空间几何的内切球的表面积的求法，点到面的距离，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，因为，
所以，
所以，得，
所以，，
所以，得，
故答案为：．
根据题意，求出，然后再代入函数列方程可求出
本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题设，圆锥的底面半径为，母线长为，
所以圆锥体的高为，
若外接球的半径为，则，可得，
所以圆锥的外接球的体积为．
故答案为：．
由圆锥体的结构特征求体高，进而求出外接球半径，利用球体体积公式求体积即可．
本题考查了圆锥的外接球的体积计算，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：实数，非负，，，

，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为．
故答案为：．
由，利用基本不等式求出最小值即可．
本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图直角坐标系中，根据题意可设，，
设，为，设，
又，，
点在过且垂直于线段的直线：上，
设，
，
点在以原点为圆心，半径为的圆上，
设，为，
，
在方向上的投影向量即为在向上的投影向量，
故E作所在直线的垂线，垂足点为，
则当圆上的点运动到图中的点时，
在向上的投影向量的模最大，且的最大值为，
而
．
的最大值为．
故答案为：．
设，，，，，再利用向量的几何意义及投影向量的几何意义数形结合即可求解．
本题考查几何意义及投影向量的几何意义，数形结合思想，属中档题．
 

17.【答案】解：因为，
所以，
所以，
因为、、为的内角，
所以，
所以，
所以．
因为，，
所以由正弦定理可得，
所以可得三角形周长，
因为，
所以，
所以
所以周长的取值范围为． 

【解析】由题意边化角，再由正弦和角公式，即可求解．
根据正弦定理，边化角，进而利用三角函数求最值即可得解．
本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

18.【答案】解：设被抽查人员利用“学习强国”的平均时长为，第百分位数为，
，
第百分位数满足，
解得，
即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为，第百分位数为．
组的人数为人，设抽取的人数为，组的人数为人，
设抽取的人数为，
则，解得，
所以在和两组中分别抽取人和人，
再利用分层抽样从抽取的人中抽取人，两组分别抽取人和人，
将组中被抽取的工作人员标记为，，，，，，将中的标记为，，
则抽取的基本情况有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，
其中在中至少抽取人有种，
故所求概率． 

【解析】由平均数和百分位数的计算公式即可求出答案．
先根据分层抽样求出每一组抽取的人数；求出从参加座谈会的人中随机抽取两人总事件的个数，再求出小组中至少有人发言的个数，由古典概型的公式代入即可求出答案．
本题考查概率，平均数，第百分位数，属于中档题．
 

19.【答案】解：由解得或，所以的定义域为，
定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数．
由可知：有解有解，
因为，，，
又因为在上单调递增．有解，
设，则，有解，有解，
当时，，所以，． 

【解析】由可求得定义域，根据函数奇偶性的定义进行判断即可；
根据奇函数的性质和单调性可得有解，设，可得有解，即可求出．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性和单调性的定义进行判断是解决本题的关键，是中档题．
 

20.【答案】证明：连接交于点，连接，
因为，延长交于，
由，则，可得，
四边形为正方形，则，且为中点，
由，则，且，，面，
所以面，平面，则；

解：以为原点，为轴，为轴建立如下图示的空间直角坐标系，

则，，，，设，
由面，面，所以面面，
由，则，由且，则，
又，故为等边三角形，且面面，
所以，则，
综上，，，，
设平面的法向量为，则，令，解得，
所以． 

【解析】连接交于点，连接，延长交于，由得，根据正方形、等腰三角形性质有、，应用线面垂直的判定和性质证结论；
建立空间直角坐标系，设，利用面面垂直的判定可得面面，且可得为等边三角形，进而确定坐标，再求出的方向向量与平面的法向量，空间向量夹角表示求线面角的正弦值．
本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：由，得，
则在上，，
即在上单调递增，又，
所以在上单调递减，在上单调递增．
证明：要证明当时，，
即证时，，
当时，恒成立，，，
故有，
若证得，即可证得，
下面证明，
不等式两侧同时除以可将不等式转化为，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，，
故当时，． 

【解析】对求导，得到在上单调递增，结合，即可得出的单调性．
要证明当时，，即证时，，由题意可得，证得，只需证明即可．
本题考查导数的综合应用和不等式的证明，考查了转化思想，属于中档题．