2021-2022学年浙江省台州市八所重点中学高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年浙江省台州市八所重点中学高二（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件

3. 已知复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在平面四边开形中，，且，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

5. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点(    )

A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向在平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

6. 狄里克雷是德国数学家，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一年他提出函数是与之间的一种对应关系的现代观点．用其名字命名函数，下列叙述中错误的是(    )

A. 是偶函数 B.
C.  D. 是周期函数

7. 已知是定义在的减函数，设，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在中，已知，，为中内一点，满足，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 在对树人中学高一某班学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取男生人，其方差为，抽取女生人，其方差为，则总样本的方差可以为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 在中，内角，，的对边分别为，，，下面判断正确的是(    )

A. 若，，，则中最大的角为
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则的外接圆面积为
D. 若，则为钝角三角形

11. 设双曲线的左、右焦点分别为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与交于、两点，且，则的离心率可以为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 设函数为自然对数的底数若存在使成立，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知直线：与：垂直，则______．
14. 在的展开式中，的系数为______ 用数字作答．
15. 某学校为贯彻“科学防疫”理念，实行“佩戴口罩，不邻而坐”制度每两个同学不能相邻若该学校的教室一排有个座位，安排名同学就坐，则不同的安排方法共有______种．用数字作答
16. 已知正三棱锥侧棱长为，且，底面边长为，则外接球表面积的最小值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知函数．
    求的单调递增区间；
    若方程在上有解，求实数的取值范围．
18. 已知数列满足，．
    证明为等比数列，并求的通项公式；
    记数列的前项和为，证明．
19. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了位某种疾病患者的年龄，得到如图的样本数据的频率分布直方图．
    
    估计该地区这种疾病患者的平均年龄同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
    根据样本数据，估计百分位数；
    已知该地区这种疾病患者的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的，从该地区任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年齿位于该区间的概率
20. 如图所示，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，，，底面，为上一点，且，．
    求的长；
    求二面角的余弦值．

21. 已知椭圆，已知点，椭圆上有两点，，且在线段上．
    求的最小值；
    若是点关于轴的对称点，连结并延长交直线轴于点，求面积的取值范围．

22. 已知函数．
    当时，求曲线在点处的切线方程；
    证明：当时，有且只有一个零点；
    若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
则，
故选：．
先求出集合，然后根据交集的定义即可求解．
本题考查了交集的定义，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，由“”，，但不能推出，故充分性不成立．
由“”，可得，即，故必要性成立，
故”是“”的必要不充分条件，
故选：．
由题意，利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，指数函数的单调性，得出结论．
本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，指数函数的单调性，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由，
得．
故选：．
先将化为的形式，再根据进行求解即可．
本题考查复数的模和复数的运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：平面四边开形中，，且，
，，
，，

．
故选：．
先就出，，，再根据向量数量积的定义计算即可得解．
本题考查解三角形，向量数量积的定义，两角和的余弦公式，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度即可；
故选：．
直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意，函数，
对于中，当为有理数，则也为有理数，满足；
当为无理数，则也为无理数，满足，
所以函数为偶函数，所以A正确；
对于中，例如：当时，则也为无理数，满足；
可得，所以不正确；
对于中，当为有理数，可得，则，
当为无理数，可得，则，
所以，所以C正确；
对于中，当为有理数，则也为有理数，满足；
当为无理数，则也为无理数，满足，
所以成立，所以D正确；
故选：．
根据题设中的狄里克雷函数的解析式，分为有理数和无理数，逐项判定，即可求解．
本题考查函数的奇偶性，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，设，则，
其导数，
在区间上，有，为减函数，必有，
即，即，
设，其定义域为，有，
其导数，
在区间上，有，则函数在上为减函数，
则有，即，
故有，
而函数是定义在的减函数，设，，，
必有，
故选：．
根据题意，构造函数和，利用导数分析两个函数单调性，由此可得，结合函数的单调性，分析可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数的单调性的应用，注意利用导数分析函数的单调性，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，分别交，于点，，显然，即，
设，则，
易知，
显然∽，故，
又，，故∽，所以，
结合得：，所以，
故BC，故BC．
故选：．
如图，取，然后利用∽，∽，构造出，，将的等量关系，即可求出．
本题考查了利用三角形相似的知识构造已知量于所求量之间的方程，从而达到求值目的，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，设男生身高的平均数为，女生身高的平均数为，
则总体的平均数，
抽取的样本中，男生人，其方差为，女生人，其方差为，
则总体的方差，
则总体的方差，
分析选项，总样本的方差可以为、、；
故选：．
根据题意，设男生身高的平均数为，女生身高的平均数为，由此用、表示总体的平均数和方差，分析选项可得答案．
本题考查总体的方差计算，注意方差的计算公式，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：中，由大边对大角，因为，，，则中最大的角为角，由余弦定理可得，
在三角形中，可得，所以A正确；
中，为锐角三角形，可得，即，，可得，所以不正确；
中，若，设外接圆的半径为，则，即，所以的外接圆面积，所以C正确；
中，若，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，所以为钝角，所以D正确；
故选：．
分别由正余弦定理及外接圆半径的求法，判断所给命题的真假．
本题考查正余弦定理的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：当直线与双曲线交于两支时，设过的切线与圆：相切于点，
则，，
因为，所以，
过点作于点，
所以，
因为为的中点，
所以，，
因为为锐角，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，化简得，
所以，
所以离心率为，

当直线与双曲线交于一支时，记切点为，连接，则，，
过作于，则，
所以，
因为，所以为锐角，
所以，
所以，
所以，
所以，化简得，
所以，
所以离心率为，
综上，双曲线的离心率为或，

故选：．
当直线与双曲线交于两支时，设过的切线与圆：相切于点，从而可求得，过点作于点，由中位线的性质求得，，在中，可求得，，利用双曲线的定义可得，的关系，再由离心率公式求解即可，当直线与双曲线交于同一支时，同理可求得离心率．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，若存在，使成立，则存在，使，
即函数与其反函数在上有交点，
又由函数在上为增函数，则函数与其反函数在的交点在直线上，
即函数与其反函数的交点就是与的交点，
则方程，即在上一定有解，
变形可得，
又由，则．
故选：．
根据题意，由反函数的定义可得函数与其反函数在上有交点，进而分析可得方程，即在上一定有解，由此变形分析可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及反函数的性质，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线：与：垂直，
则，
解得：．
故答案为：．
两直线：与：垂直，由其系数间的关系直接列式求得的值．
本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，若与，则，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：展开式中，可以由的一次项与的四次项相乘，
的二次项与的三次项相乘，
的三次项与的二次项相乘得到，
所以的展开式中，的系数为．
故答案为：．
分析展开式中取得的情况，计算可得答案．
本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用二项式定理是关键，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得个空位可产生个空，则这名同学可插空就坐，所以共有种不同的安排方法，
故答案为：．
由题意可得个空位可产生个空，然后利用插空法求解即可．
本题主要考查了排列组合知识，考查了插空法的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设在面上的射影为为的中点，则为正的中心，
所以，考虑，则外接球球心落在或它的延长线上，如图所示：

设外接球的半径为，无论哪种情形，均有，
即，
当且仅当即时等号成立，
所以外接球表面积最小值为，

故答案为：．
设在面上的射影为，则为正的中心，求出，外接球球心落在或它的延长线上，设外接球的半径为，利用勾股定理得到，再利用基本不等式求出的最小值，最后根据球的表面积公式计算可得．
本题考查了正三棱锥的外接球表面积的最值问题，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
，
，，
即函数的单调递增区间为：；
，
，
，
在上有解，
，即． 

【解析】利用诱导公式将函数表示出来，利用正弦函数的单调性，即可解出；
求出函数在区间上的值域，即可解出．
本题考查了三角函数的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

18.【答案】证明：由，得，即，
又，所以是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即；
由可知，
所以，
又，所以． 

【解析】由可得，进一步结合即可证明是以为首项，以为公比的等比数列，从而即可求出；
由可知，从而利用等比数列前项和公式求出并结合即可证明．
本题考查数列的递推公式，等比数列前项和公式，考查学生逻辑推理和数学运算的能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：该地区这种疾病患者的平均年龄估计为：
．
，
小组中的年龄个数为，
小组中的年龄个数为，
小组中的年龄个数为，
小组中的年龄个数为，
小组中的年龄个数为，
，
，
百分位数的估计值为．
年龄位于区间的概率为：
，
此人患这种疾病的概率为． 

【解析】根据平均数的定义，利用频率分布直方图能求出该地区这种疾病患者的平均年龄；
利用频率分布直方图，结合百分位数定义能求出百分位数；
利用条件概率能求出从该地区任选一人，此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率．
本题考查频率分布直方图、平均数、百分位数、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

20.【答案】解：如图，连接，，连接，

是菱形，所以，
又底面，所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
由，，得，，即，
设，，
则，
，，
即，解得舍去，
．
解：由知，
设平面的法向量为，则，取，得，
设平面的法向量为，则，取，得，
设二面角的平面角为，由图得为锐角，
则，
二面角的余弦值为． 

【解析】连接，，设，连接，依题意可得，以为原点，，，所成直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出．
求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
本题考查了空间中两点间距离的计算以及二面角的求解，属于中档题．
 

21.【答案】解：设，，
则，所以，
所以当时，取得最小值．
设，，则，
设的方程为，联立，消得，
，则有，，
直线的方程为，
令，得，
所以为定点，
则，
令，则，则，，
因为函数在上递增，所以，所以，
所以，即面积的取值范围为 

【解析】设，，利用两点间得距离公式结合二次函数的性质即可得出答案；
设，，设的方程为，联立，利用韦达定理求出，，再求出直线的方程，令，求得点的坐标，再根据，从而可得出答案．
本题考查了椭圆中的最值问题，及椭圆中三角形的面积问题，运算量很大，考查了直线过顶点问题及面积的最值问题，有一定的难度．
 

22.【答案】解：由题意，，故，又，
故曲线在点处的切线方程为，即；
证明：由题意，因为，故当时，，
当时，，当时，，
故当时，有且只有一个零点；
由可得，
故
设，则
若，则，在上为减函数，故
，故在上为减函数，不满足题意；
若，
当时，，单调递减，且，，
故存在使得，故在上单调递增，在上单调递减．
又，且
，
设，易得，故在单调递增，
故，故，故故在上有一个零点，
综上有在区间上有一个零点，
当时，，
设，则，
故为减函数，因为，，故存在使得成立，
故在单调递增，在单调递减．，，
故存在使得成立，故在上，单调递减，在上，单调递增．
又，故，且，上有在区间上有一个零点．
综上所述，当时，在区间，各恰有一个零点． 

【解析】根据导数的几何意义求解即可；
分析在和，时的正负判断即可；
根据可得，又，设，根据时为临界条件，分与两种情况，分别求导分析的单调性，进而得到的正负区间，进而得到的单调区间，同时结合零点存在定理求解即可．
本题主要考査了导数的几何意义，同时考査了利用导数分析函数的单调性与最值，同时结合零点存在定理判断函数零点的问题，需要根据题意确定临界条件分类讨论，再分析导函数的单调性，进而得到导函数的正负区间，从而得到原函数的单调性，并根据零点存在性定理分析，属于难题．