人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算习题

7.2 复数的四则运算

【知识点梳理】

知识点一、复数的加减运算

1.复数的加法、减法运算法则：

设，（），我们规定：

知识点诠释：

（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显，

两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．

（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。

2.复数的加法运算律:

交换律：z1+z2=z2+z1

结合律:：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

知识点二、复数的加减运算的几何意义

1.复数的表示形式：

代数形式：（）

几何表示：

①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；

②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数.

知识点诠释：

复数复平面内的点平面向量

2.复数加、减法的几何意义：

如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量.

设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，

由于，所以和的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量

知识点诠释：

要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理

知识点三、复数的乘除运算

1．乘法运算法则：

设，（），我们规定：

知识点诠释：

（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

（2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数(分母实数化)，化简后写成代数形式。

2．乘法运算律：

(1)交换律：

(2)结合律：

(3)分配律：

【典型例题】

类型一、复数的加减运算

例1．（2021·海南·三亚华侨学校高二期中）复数等于（    ）

A． B． C． D．

例2．（2021·黑龙江·大庆中学高三期中（理））设，则（    ）

A． B． C． D．

例3．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一期中）若复数，，，则___________.

类型二、复数的乘除运算

例4．（2021·全国·模拟预测）已知复数，则（    ）

A．4 B． C． D．2

例5．（2022·山西怀仁·高三期末（文））复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

例6．（2022·北京朝阳·高三期末）（    ）

A． B．2 C． D．

例7．（2021·江苏南京·高二期中）已知复数，则______.

例8．（2021·浙江浙江·高一期末）若复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，且是实数．

（1）求的模长；

（2）求．

类型三. 复数代数形式的四则运算

例9．（2021·广西·模拟预测（理））若复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

例10．（2021·云南·高三期中（理））已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（   ）

A． B． C． D．

例11．（2022·新疆·一模（文））已知复数，则（    ）

A． B． C． D．2

例12．（2021·福建龙岩·高三期中）已知复数满足，，则正数（    ）

A．-2 B．-1 C．4 D．2

例13．（2021·吉林·长春市第八中学高一期中）复数，则z的虚部是（    ）

A．1 B．i C． D．

例14．（2020·河北冀州中学高三期末（文））复数＝（    ）

A．  B．  C．  D．

例15．（2021·山东邹城·高一期中）设复数，其中是虚数单位，则的虚部是______．

例16．（2021·上海·复旦附中高二期末）为虚数单位，且是纯虚数，

（1）求的取值范围；

（2）若，，，求的最小值.

类型四、复数方程

例17．（2021·江苏·扬州中学高二期中）已知是复数，和都是实数.

（1）求复数；

（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.

例18．（2021·福建·泉州五中高一期中）已知复数是方程的一个解.

（1）求、的值；

（2）若复数满足，求的最小值.

例19．（2021·河南新乡·高二期中（理））关于复数的方程（）．

（1）若此方程有实数解，求的值；   

（2）用反证法证明对任意的实数，原方程不可能有纯虚数根．

例20．（2021·全国·高一专题练习）设z1是方程x2－6x＋25＝0的一个根．

(1)求z1；

(2)设z2＝a＋i(其中i为虚数单位，a∈R)，若z2的共轭复数z2满足|z13·z2|＝125，求z22.

类型四. 复数的几何意义

例21．（2020·全国·高一课时练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：

（1）向量对应的复数；

（2）向量对应的复数；

（3）向量对应的复数．

例22．（2021·全国·高一课时练习）已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数.

例23．（2021·全国·高二课时练习）证明等式，对任意复数都成立，并给出这个等式的一个几何意义.

【同步练习】

一、单选题

1．（2022·上海·复旦附中高二期末）复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足，则动点Z的轨迹为（    ）

A．直线 B．线段 C．两条射线 D．圆

2．（2022·新疆·一模（理））已知复数，则（    ）

A． B． C． D．2

3．（2022·北京石景山·高三期末）已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．（2022·广西柳州·二模（文））若复数z满足，其中为虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·广西·模拟预测（理））若复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）已知复数z满足，则的虚部为（    ）

A．1 B． C．2 D．

7．（2021·浙江·舟山中学高三阶段练习）已知是虚数单位，若复数，则（    ）

A．-0.5 B． C．0.5 D．

8．（2021·全国·高三专题练习）已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：

甲：；    乙：；

丙：；    丁：．

如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

二、多选题

9．（2021·湖北·高二期中）已知复数（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（    ）

A．复数在复平面上对应的点可能落在第四象限

B．

C．

D．为实数

10．（2021·湖北·高一期末）对任意复数，，为虚数单位，是的共轭复数，则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．

11．（2022·全国·高三专题练习）设是复数，则下列命题中的真命题是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

12．（2021·全国全国·模拟预测）欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即（）.根据欧拉公式，下列说法正确的是（    ）

A．对任意的，

B．在复平面内对应的点在第二象限

C．的实部为

D．与互为共轭复数

三、填空题

13．（2022·上海·复旦附中高二期末）化简：___________.

14．（2021·上海静安·一模）若关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，则m的取值范围是________．

15．（2020·北京·北大附中高二期末）若复数z满足：，且|z|＝，则实数a＝_____．

16．（2021·北京·首都师大二附高一期末）（1）设复数(其中i为虚数单位)，则z的虚部是___________.（2）已知复数z满足，则的取值范围为___________.(其中i为虚数单位)

四、解答题

17．（2021·全国·高一单元测试）已知关于x的二次方程有实根，a为复数.求a的模的最小值.

18．（2021·上海市徐汇中学高二期末）已知复数满足，求复数z

19．（2021·上海徐汇·高二期末）（1）解方程：；

（2）已知是方程的一个根，求实数、的值．

20．（2021·全国·高一专题练习）已知复数满足，的虚部是.

（1）求复数；

（2）设、、在复平面上的对应点分别为、、，求的面积.

21．（2022·上海·复旦附中高二期末）已知关于x的方程在复数范围内的两根分别为､.

（1）若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对进行因式分解；

（2）若，求实数a的值.

22．（2021·全国·高三专题练习）已知复数z满足，，求复数z．