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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课后练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课后练习题，文件包含84空间点直线平面之间的位置关系解析版docx、84空间点直线平面之间的位置关系原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共73页， 欢迎下载使用。
知识点一、平面的基本概念
1.平面的概念：
“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象.几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
知识点诠释：
(1)“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；
(2)“平面”无厚薄之分；
(3)“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．
2.平面的画法：
通常画平行四边形表示平面．
知识点诠释：
(1)表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍；
(2)两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画；
3.平面的表示法：
(1)用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等；
(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面；
(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面；
4.点、直线、平面的位置关系：
(1)点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作；
(2)点A在平面上，记作；点A在平面外，记作；
(3)直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作．
知识点二、平面的基本性质
平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础.
1.公理1：
(1)文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；
(2)符号语言表述：，，，；
(3)图形语言表述：
知识点诠释：
公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”．
2.公理2：
(1)文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；
(2)符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，；
(3)图形语言表述：
知识点诠释：
公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件．
“有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义．
(4)公理2的推论：
①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；
②过两条相交直线，有且只有一个平面；
③过两条平行直线，有且只有一个平面.
(5)作用：确定一个平面的依据.
3.公理3：
(1)文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；
(2)符号语言表述：且；
(3)图形语言表述：
知识点诠释：
公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据.
知识点三、点线共面的证明
所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．
1．证明点线共面的主要依据：
（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．
2．证明点线共面的常用方法：
（1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；
（2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．
知识点四、证明三点共线问题
所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上．
1．证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．
对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．
2．证明三点共线的常用方法
方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上．
方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．
知识点五、证明三线共点问题
所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．
1．证明三线共点的依据是公理3．
2．证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．
知识点六、异面直线
1．定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
2．画法:
3.两异面直线所成角的常用方法
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
知识点七、空间两条直线的位置关系
知识点八、直线与平面的位置关系
知识点九、平面与平面的位置关系
【经典例题】
题型一 平面的概念及其表示
例1．（2022·全国·高一）如图所示，用符号语言可表示为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
解题技巧（三种语言转换的注意事项）
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡的部分画成虚线.
例2．（2021·全国·高一课时练习）用符号表示下列语句：
(1)点A在直线l上，l在平面内；
(2)平面和平面的交线是直线l，直线m在平面内；
(3)点A在平面内，直线l经过点A，且直线l在平面外；
(4)直线l经过平面外一点M．
例3．（2021·全国·高一课时练习）将下列符号语言转化为图形语言：
(1)A∉α， a⊂α.
(2)α∩β＝a， P∉α且P∉β.
(3)aα， a∩α＝A
(4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O.
题型二 平面的确定
例4．（2021·江苏省镇江中学高一阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．过三点确定一个圆
B．两个相交平面把空间分成四个区域
C．三条直线两两相交，则确定一个平面
D．四边形一定是平面图形
例5．（2022·全国·高一）以下说法中，正确的个数是（ ）
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
③首尾依次相接的四条线段必共面．
A．0B．1C．2D．3
例6．（2022·全国·高一）下列说法中正确的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．梯形一定是平面图形
C．若A，B，C，D既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D．两组对边都相等的四边形是平面图形
例7．（2022·全国·高一）下列命题正确的是（ ）
①三点确定一个平面；
②圆上三点确定一个平面；
③圆心与圆上的两点确定一个平面；
④两条平行直线确定一个平面
A．①②B．②③C．②④D．③④
例8．（2021·全国·高一课时练习）三个平面可以把空间分成n个部分，在下列选项中，n的值正确的有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
题型三 点线共面
例9．（2021·全国·高一课时练习）如图，正方体中，，分别为，的中点．
求证：，，，四点共面；
解题技巧 (证明点线共面问题的常用方法)
(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.
(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.
例10．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由.
（1）由点A，O，C可以确定一个平面；
（2）由点A，，确定的平面为平面.
例11．（2021·全国·高一课前预习）如图所示，，，．求证：直线，，在同一平面内．
题型四 三点共线
例12．（2021·山东邹城·高一期中）已知正方体，，分别是棱，的中点．
（Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由；
（Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线．
例13．（2021·江苏·高一专题练习）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线．
题型五 三线共点问题
例14．（2022·全国·高一）如图，在三棱锥中，分别是的中点，点在上，点在上，且有.试判定直线的位置关系.
解题技巧（证明多点共线、多线共点的常用方法）
(1)证明三线共点常用的方法:
先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点.
(2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法:
①首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线.
②选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上.
例15．（2021·全国·高一课时练习）在三棱锥中，分别是线段的中点，分别是线段上的点，且.求证:
（1）四边形是梯形；
（2）三条直线相交于同一点.
题型六 截面问题
例16．（2022·全国·高一）已知正方体的棱长为2，若，分别是的中点，作出过，，三点的截面.
例17．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，M是的中点，试作出平面与平面ABCD的交线．
例18.（2021·全国·高一课时练习）如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点．
（1）画出过三点的平面与平面的交线，以及与平面的交线；
（2）求的长．
题型七 直线与直线的位置关系
例19．（2022·全国·高一）已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
解题技巧（判定两直线异面的常用方法）
(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;
(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交)的情况.
例20．（2022·全国·高一）如图，点P在平面ABC外，点F在BC的延长线上，E在线段PA上，则直线AB，BC，AC，EF，AP，BP中有______对异面直线．
例21．（2021·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：① ②与成 ③与是异面直线 ④，其中正确的是_________．
例22.（2021·全国·高一课时练习）如图，点，，，分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线与是异面直线的一个图是________．（填序号）
① ② ③ ④
例23．（2021·全国·高一课时练习）填空题
（1）如果、是异面直线，直线与、都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_______个；
（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是________；
（3）已知两条相交直线、，且平面，则与的位置关系是__________．
题型八 异面直线所成的角
例24．（2021·黑龙江·绥化市第二中学高一期末）空间四边形的对角线分别为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．1
解题技巧（两异面直线所成角的常用方法）
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
例25.（2021·浙江浙江·高一期末）在正方体中，则异面直线AC与的所成角为（ ）
A．B．C．D．
例26．（2021·全国·高一课时练习）在四面体中，且，、分别为、的中点，那么异面直线与所成的角等于（ ）．
A．B．C．D．
题型九 直线与平面的位置关系
例27．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中判断下列位置关系：
（1）AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；
（2）平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．
解题技巧 (直线与平面位置关系的解题思路)
解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征,利用其定义作出判断,要有画图意识,并借助空间想象能力进行细致的分析.
例28．（2021·全国·高一课时练习）如图，在长方体中，若P为棱的中点，直线与平面ABCD是否相交？为什么？直线呢？
例29．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？
（1）AM所在的直线与平面ABCD；
（2）CN所在的直线与平面ABCD；
（3）AM所在的直线与平面CDD1C1；
（4）CN所在的直线与平面A1B1C1D1.
题型十 平面与平面的位置关系
例30.（2021·全国·高一课时练习）在四棱台中，平面与平面的位置关系是（ ）
A．相交B．平行
C．不确定D．异面
解题技巧（平面与平面位置关系的解题思路）
判断线线、线面、面面的位置关系,要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.常借助长方体模型进行判断.
例31．（2021·全国·高一课时练习）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF相交.
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·陕西西安·高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．四条首尾相连的线段确定一个平面
C．两条异面直线确定一个平面
D．两条相交直线确定一个平面
2．（2022·全国·高一）如图，已知正方体，空间中不存在平面经过其包含的所有对象的是（ ）
A．A，D，B．AB，C．A，O，CD．AB，C，
3．（2021·上海交大附中高二期中）如图，在正方体中，M、N、P分别是棱、、BC的中点，则经过M、N、P的平面与正方体相交形成的截面是一个（ ）
A．三角形B．平面四边形
C．平面五边形D．平面六边形
4．（2021·陕西陈仓·高一期末）用符号语言表示下列语句，正确的个数是（ ）
（1）点A在平面内，但不在平面内：，．
（2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，．
（3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，．
A．1B．2C．3D．0
5．（2021·湖北·高一期末）对于平面外一直线，下列说法正确的是（ ）
A．内的所有直线都与异面B．内有无数条直线与垂直
C．内没有直线与相交D．内有无数条直线与平行
6．（2021·全国·高一课时练习）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的个数是（ ）
（1）与平行 （2）与是异面直线
（3）与是异面直线 （4）与是异面直线
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2021·陕西·西安市第八十九中学高一阶段练习）如图，在四面体ABCD中，AB=CD，M、N分别是BC、AD的中点，若AB与CD所成角的大小为60°，则MN与CD所成角的大小为（ ）
A．30°B．60°
C．30°或60°D．15°或60°
8．（2021·全国·高一课时练习）如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，为四边形B．当时，为等腰梯形
C．当时，为六边形D．当时，的面积为
二、多选题
9．（2022·全国·高一）（多选）已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，，表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，D．，，
10．（2021·湖南·长沙市第二十一中学高一期中）已知是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则与是异面直线
B．若，，则直线平行于平面内的无数条直线
C．若，，则
D．若，，则与一定相交.
11．（2021·全国·高一课时练习）以下四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点共面，点共面，则共面
C．若直线共面，直线共面，则直线共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
12．（2021·江苏省镇江中学高一阶段练习）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．与平行
B．
C．与成60°
D．四条直线、、、中任意两条都是异面直线
三、填空题
13．（2021·全国·高一课时练习）设和的两边分别平行，若，则的大小为___________.
14．（2021·全国·高一课时练习）如图，在四面体中作截面，若的延长线交于点的延长线交于点，的延长线交于点．则三点的位置关系是_______．
15．（2019·江苏·苏州大学附属中学高一阶段练习）下列命题中正确的是___________(填序号)
①若直线不在平面内，则；
②若直线l上有无数个点不在平面内，则；.
③若直线与平面平行，则l与内的任意一条直线都平行；
④若与平面平行，则与内任何一条直线都没有公共点；
⑤平行于同一平面的两直线可以相交.
16．（2021·浙江台州·高一期末）已知直线与平面所成角为，若直线，则与所成角的最小值为__________.
四、解答题
17．（2021·全国·高一课时练习）如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点．
18．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，若P为棱的中点，判断平面与平面ABCD是否相交．如果相交，作出这两个平面的交线．
19．（2020·黑龙江齐齐哈尔·高一期中）如图，在长方体中，点､分别为棱､的中点.
（1）求证：、、、四点共面；
（2）确定直线与直线交点的位置，不需要说明理由.
20．（2021·全国·高一课时练习）如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.
（1）求证：直线平面PQR；
（2）求证：点K在直线MN上.
21．（2021·安徽省临泉第一中学高一期中）如图所示，已知正方体中，分别为，的中点，，.求证：
（1）四点共面；
（2）若交平面于R点，则三点共线.
22．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正方体中：
(1)求直线与的夹角；
(2)作出异面直线AC与所成的角；
(3)作出异面直线与所成的角，并求出该角的正切值．
位置关系
共面情况
有无公共点
相交
在同一平面内
有且只有一个公共点
平行
在同一平面内
没有公共点
异面
不同在任何一个平面内
没有公共点
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线a在
平面α内
有无数个公共点
直线a与
平面α相交
有且只有一个公共点
直线a与
平面α平行
无公共点
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面
平行
无公共点
两平面
相交
有无数个公共点，这些点在一条直线上
知识点一、平面的基本概念
1.平面的概念：
“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象.几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
知识点诠释：
(1)“平面”是平的（这是区别“平面”与“曲面”的依据）；
(2)“平面”无厚薄之分；
(3)“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．
2.平面的画法：
通常画平行四边形表示平面．
知识点诠释：
(1)表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成，横边长是其邻边的两倍；
(2)两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画；
3.平面的表示法：
(1)用一个希腊字母表示一个平面，如平面、平面、平面等；
(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面；
(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面或者平面；
4.点、直线、平面的位置关系：
(1)点A在直线a上，记作；点A在直线a外，记作；
(2)点A在平面上，记作；点A在平面外，记作；
(3)直线在平面内，记作；直线不在平面内，记作．
知识点二、平面的基本性质
平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础.
1.公理1：
(1)文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；
(2)符号语言表述：，，，；
(3)图形语言表述：
知识点诠释：
公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内．“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”．
2.公理2：
(1)文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；
(2)符号语言表述：、、三点不共线有且只有一个平面，使得，，；
(3)图形语言表述：
知识点诠释：
公理2的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据．它还可用来证明“两个平面重合”．特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件．
“有且只有一个”的含义可以分开来理解．“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义．
(4)公理2的推论：
①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；
②过两条相交直线，有且只有一个平面；
③过两条平行直线，有且只有一个平面.
(5)作用：确定一个平面的依据.
3.公理3：
(1)文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；
(2)符号语言表述：且；
(3)图形语言表述：
知识点诠释：
公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据.
知识点三、点线共面的证明
所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题．
1．证明点线共面的主要依据：
（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及其推论）．
2．证明点线共面的常用方法：
（1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；
（2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内．
知识点四、证明三点共线问题
所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同—条直线上．
1．证明三点共线的依据是公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．也就说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上．
对于这个公理应进一步理解下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．
2．证明三点共线的常用方法
方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．根据公理3知，这些点都在交线上．
方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上．
知识点五、证明三线共点问题
所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．
1．证明三线共点的依据是公理3．
2．证明三线共点的思路：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．
知识点六、异面直线
1．定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
2．画法:
3.两异面直线所成角的常用方法
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
知识点七、空间两条直线的位置关系
知识点八、直线与平面的位置关系
知识点九、平面与平面的位置关系
【经典例题】
题型一 平面的概念及其表示
例1．（2022·全国·高一）如图所示，用符号语言可表示为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
解题技巧（三种语言转换的注意事项）
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡的部分画成虚线.
例2．（2021·全国·高一课时练习）用符号表示下列语句：
(1)点A在直线l上，l在平面内；
(2)平面和平面的交线是直线l，直线m在平面内；
(3)点A在平面内，直线l经过点A，且直线l在平面外；
(4)直线l经过平面外一点M．
例3．（2021·全国·高一课时练习）将下列符号语言转化为图形语言：
(1)A∉α， a⊂α.
(2)α∩β＝a， P∉α且P∉β.
(3)aα， a∩α＝A
(4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O.
题型二 平面的确定
例4．（2021·江苏省镇江中学高一阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．过三点确定一个圆
B．两个相交平面把空间分成四个区域
C．三条直线两两相交，则确定一个平面
D．四边形一定是平面图形
例5．（2022·全国·高一）以下说法中，正确的个数是（ ）
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
③首尾依次相接的四条线段必共面．
A．0B．1C．2D．3
例6．（2022·全国·高一）下列说法中正确的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．梯形一定是平面图形
C．若A，B，C，D既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D．两组对边都相等的四边形是平面图形
例7．（2022·全国·高一）下列命题正确的是（ ）
①三点确定一个平面；
②圆上三点确定一个平面；
③圆心与圆上的两点确定一个平面；
④两条平行直线确定一个平面
A．①②B．②③C．②④D．③④
例8．（2021·全国·高一课时练习）三个平面可以把空间分成n个部分，在下列选项中，n的值正确的有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
题型三 点线共面
例9．（2021·全国·高一课时练习）如图，正方体中，，分别为，的中点．
求证：，，，四点共面；
解题技巧 (证明点线共面问题的常用方法)
(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.
(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.
例10．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，判断下列命题是否正确，并说明理由.
（1）由点A，O，C可以确定一个平面；
（2）由点A，，确定的平面为平面.
例11．（2021·全国·高一课前预习）如图所示，，，．求证：直线，，在同一平面内．
题型四 三点共线
例12．（2021·山东邹城·高一期中）已知正方体，，分别是棱，的中点．
（Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由；
（Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线．
例13．（2021·江苏·高一专题练习）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线．
题型五 三线共点问题
例14．（2022·全国·高一）如图，在三棱锥中，分别是的中点，点在上，点在上，且有.试判定直线的位置关系.
解题技巧（证明多点共线、多线共点的常用方法）
(1)证明三线共点常用的方法:
先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点.
(2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法:
①首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线.
②选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上.
例15．（2021·全国·高一课时练习）在三棱锥中，分别是线段的中点，分别是线段上的点，且.求证:
（1）四边形是梯形；
（2）三条直线相交于同一点.
题型六 截面问题
例16．（2022·全国·高一）已知正方体的棱长为2，若，分别是的中点，作出过，，三点的截面.
例17．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，M是的中点，试作出平面与平面ABCD的交线．
例18.（2021·全国·高一课时练习）如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点．
（1）画出过三点的平面与平面的交线，以及与平面的交线；
（2）求的长．
题型七 直线与直线的位置关系
例19．（2022·全国·高一）已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
解题技巧（判定两直线异面的常用方法）
(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;
(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交)的情况.
例20．（2022·全国·高一）如图，点P在平面ABC外，点F在BC的延长线上，E在线段PA上，则直线AB，BC，AC，EF，AP，BP中有______对异面直线．
例21．（2021·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：① ②与成 ③与是异面直线 ④，其中正确的是_________．
例22.（2021·全国·高一课时练习）如图，点，，，分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线与是异面直线的一个图是________．（填序号）
① ② ③ ④
例23．（2021·全国·高一课时练习）填空题
（1）如果、是异面直线，直线与、都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_______个；
（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是________；
（3）已知两条相交直线、，且平面，则与的位置关系是__________．
题型八 异面直线所成的角
例24．（2021·黑龙江·绥化市第二中学高一期末）空间四边形的对角线分别为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．1
解题技巧（两异面直线所成角的常用方法）
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
例25.（2021·浙江浙江·高一期末）在正方体中，则异面直线AC与的所成角为（ ）
A．B．C．D．
例26．（2021·全国·高一课时练习）在四面体中，且，、分别为、的中点，那么异面直线与所成的角等于（ ）．
A．B．C．D．
题型九 直线与平面的位置关系
例27．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中判断下列位置关系：
（1）AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；
（2）平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．
解题技巧 (直线与平面位置关系的解题思路)
解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征,利用其定义作出判断,要有画图意识,并借助空间想象能力进行细致的分析.
例28．（2021·全国·高一课时练习）如图，在长方体中，若P为棱的中点，直线与平面ABCD是否相交？为什么？直线呢？
例29．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？
（1）AM所在的直线与平面ABCD；
（2）CN所在的直线与平面ABCD；
（3）AM所在的直线与平面CDD1C1；
（4）CN所在的直线与平面A1B1C1D1.
题型十 平面与平面的位置关系
例30.（2021·全国·高一课时练习）在四棱台中，平面与平面的位置关系是（ ）
A．相交B．平行
C．不确定D．异面
解题技巧（平面与平面位置关系的解题思路）
判断线线、线面、面面的位置关系,要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识,结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题,作出判断.常借助长方体模型进行判断.
例31．（2021·全国·高一课时练习）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF相交.
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·陕西西安·高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．四条首尾相连的线段确定一个平面
C．两条异面直线确定一个平面
D．两条相交直线确定一个平面
2．（2022·全国·高一）如图，已知正方体，空间中不存在平面经过其包含的所有对象的是（ ）
A．A，D，B．AB，C．A，O，CD．AB，C，
3．（2021·上海交大附中高二期中）如图，在正方体中，M、N、P分别是棱、、BC的中点，则经过M、N、P的平面与正方体相交形成的截面是一个（ ）
A．三角形B．平面四边形
C．平面五边形D．平面六边形
4．（2021·陕西陈仓·高一期末）用符号语言表示下列语句，正确的个数是（ ）
（1）点A在平面内，但不在平面内：，．
（2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，．
（3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，．
A．1B．2C．3D．0
5．（2021·湖北·高一期末）对于平面外一直线，下列说法正确的是（ ）
A．内的所有直线都与异面B．内有无数条直线与垂直
C．内没有直线与相交D．内有无数条直线与平行
6．（2021·全国·高一课时练习）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的个数是（ ）
（1）与平行 （2）与是异面直线
（3）与是异面直线 （4）与是异面直线
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2021·陕西·西安市第八十九中学高一阶段练习）如图，在四面体ABCD中，AB=CD，M、N分别是BC、AD的中点，若AB与CD所成角的大小为60°，则MN与CD所成角的大小为（ ）
A．30°B．60°
C．30°或60°D．15°或60°
8．（2021·全国·高一课时练习）如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，为四边形B．当时，为等腰梯形
C．当时，为六边形D．当时，的面积为
二、多选题
9．（2022·全国·高一）（多选）已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，，表示不同的平面，则下列推理正确的是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，D．，，
10．（2021·湖南·长沙市第二十一中学高一期中）已知是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则与是异面直线
B．若，，则直线平行于平面内的无数条直线
C．若，，则
D．若，，则与一定相交.
11．（2021·全国·高一课时练习）以下四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点共面，点共面，则共面
C．若直线共面，直线共面，则直线共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
12．（2021·江苏省镇江中学高一阶段练习）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．与平行
B．
C．与成60°
D．四条直线、、、中任意两条都是异面直线
三、填空题
13．（2021·全国·高一课时练习）设和的两边分别平行，若，则的大小为___________.
14．（2021·全国·高一课时练习）如图，在四面体中作截面，若的延长线交于点的延长线交于点，的延长线交于点．则三点的位置关系是_______．
15．（2019·江苏·苏州大学附属中学高一阶段练习）下列命题中正确的是___________(填序号)
①若直线不在平面内，则；
②若直线l上有无数个点不在平面内，则；.
③若直线与平面平行，则l与内的任意一条直线都平行；
④若与平面平行，则与内任何一条直线都没有公共点；
⑤平行于同一平面的两直线可以相交.
16．（2021·浙江台州·高一期末）已知直线与平面所成角为，若直线，则与所成角的最小值为__________.
四、解答题
17．（2021·全国·高一课时练习）如图，在四面体ABCD中，E， G分别为BC， AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3， DH∶HA＝1∶3.求证：EF， GH， BD交于一点．
18．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正方体中，若P为棱的中点，判断平面与平面ABCD是否相交．如果相交，作出这两个平面的交线．
19．（2020·黑龙江齐齐哈尔·高一期中）如图，在长方体中，点､分别为棱､的中点.
（1）求证：、、、四点共面；
（2）确定直线与直线交点的位置，不需要说明理由.
20．（2021·全国·高一课时练习）如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.
（1）求证：直线平面PQR；
（2）求证：点K在直线MN上.
21．（2021·安徽省临泉第一中学高一期中）如图所示，已知正方体中，分别为，的中点，，.求证：
（1）四点共面；
（2）若交平面于R点，则三点共线.
22．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正方体中：
(1)求直线与的夹角；
(2)作出异面直线AC与所成的角；
(3)作出异面直线与所成的角，并求出该角的正切值．
位置关系
共面情况
有无公共点
相交
在同一平面内
有且只有一个公共点
平行
在同一平面内
没有公共点
异面
不同在任何一个平面内
没有公共点
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线a在
平面α内
有无数个公共点
直线a与
平面α相交
有且只有一个公共点
直线a与
平面α平行
无公共点
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面
平行
无公共点
两平面
相交
有无数个公共点，这些点在一条直线上
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