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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直课后练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直课后练习题，文件包含86空间直线平面的垂直解析版docx、86空间直线平面的垂直原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共100页， 欢迎下载使用。
8.6 空间直线、平面的垂直
【知识点梳理】
知识点一：异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°.
(3)如果两条异面直线a，b所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作a⊥b.
知识点二：直线与直线垂直的定义
两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。
知识点诠释：
空间中两直线垂直可能是相交垂直，也可能是异面垂直，即两条直线互相垂直时可能没有垂足。
知识点三：直线与平面垂直的定义与判定
1.直线和平面垂直的定义
如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段。垂线段的长度叫做这个点到平面的距离。
知识点诠释：
(1)定义中的“任何直线”与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直．
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式．
(3)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．符号语言描述：．
(4)在平面几何中，我们有命题：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，在本节中，也有类似的命题．
命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直．
命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．
2.直线和平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
图形语言：
符号语言：
特征：线线垂直线面垂直
知识点诠释：
(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.
(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.
相关的重要结论
①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．
②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．
③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．
知识点四：直线与平面所成的角
(1)如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
(2)一条直线垂直于平面，称它们所成的角是直角；一条直线在平面内或一条直线和平面平行，称它们所成的角是0°的角，于是，直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.
知识点五：直线与平面垂直的性质
1.基本性质
文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
符号语言：
图形语言：
2.性质定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：
图形语言：
知识点六：距离
(1)直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离.
(2)平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离.
知识点七：二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图中的二面角可记作：二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.
(2)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直与直线l的射线OA，OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
知识点八：平面与平面垂直的定义与判定
1.平面与平面垂直定义
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
表示方法：平面与垂直，记作.
画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
特征：线面垂直面面垂直
知识点诠释：
平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.
知识点九：平面与平面垂直的性质
1．性质定理
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
知识点诠释：
面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．
2．平面与平面垂直性质定理的推论
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
知识点十：垂直关系的综合转化
线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：
知识点十一：求点线、点面、线面距离的方法
(1)若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示)．
(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．
(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．
②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．
③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．
知识点十二：作二面角的三种常用方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
【典型例题】
题型一：证明两直线垂直
例1．（2021·全国·高一课前预习）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．
解题技巧（证明两直线垂直的常用方法）
(1)利用平面几何的结论，如矩形，等腰三角形的三线合一，勾股定理；
(2)定义法：即证明两条直线夹角是90°；
(3)利用一些事实：两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线，则其平行线也垂直此直线.
例2．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.
题型二 求异面直线所成的角
例3．（2021·全国·高一课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
解题技巧 (求异面直线所成角的一般步骤)
求异面直线所成角的一般步骤：
(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.
(3)结论——设(2)所求角大小为θ.若0°<θ≤90°，则θ即为所求；若90°<θ<180°，则180°-θ即为所求
例4．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角.
题型三 线面垂直的概念与定理的理解
例5．（2021·全国·高一课时练习）设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（ ）
A．若，，，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
解题技巧（判定定理理解的注意事项）
线面垂直的判定定理中，直线垂直于平面内的两条相交直线，“相交”两字必不可少，否则，就是换成无数条直线，这条直线也不一定与平面垂直.
例6．（2021·全国·高一课前预习）在正方体中P，Q分别是和的中点，则下列判断错误的是（ ）
A． B．平面
C． D．平面
例7．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正方形中，E、F分别为、的中点，H是的中点.现沿、、把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
题型四 直线与平面垂直的判定
例8．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，，且面，、分别是棱、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求四棱锥的体积.
解题技巧 (应用判定定理的注意事项)
利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线，证明它们都和这条直线垂直.
例9．（2020·广西·昭平中学高一阶段练习）如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC，，D为BP的中点，.
(1)求证：平面PAB；
(2)求证：平面PBC.
例10．（2021·全国·高一课时练习）如图，在中，M为边BC的中点，沿AM将折起，使点B在平面ACM外．在什么条件下直线AM垂直于平面BMC？
例11．（2021·上海中学高一期末）如图1，在中，，，分别为，的中点，点是线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2．
（1）证明：；
（2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
题型五 直线与平面所成角
例12．（2021·全国·高一课时练习）在正方体中，E是棱的中点，求直线与平面所成的角的正弦值．
解题技巧(求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤)
(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；
(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；
(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.
例13．（2021·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD．
(1)指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由；
(2)若，试求PC与平面ABCD所成角的正切值．
题型六 直线与平面垂直的性质定理的应用
例14．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知正方体A1C．
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．
解题技巧（证明两条直线平行的常见方法）
(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；
(2)线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；
(3)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；
(4)线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
例15．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在三棱锥中，平面，是侧面上的一点，过作平面的垂线，其中，证明：平面．
题型七 空间中的距离问题
例16．（2020·河北·高一期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB//DC，AB＝2CD，∠BCD＝90°.
（Ⅰ）求证：PB⊥AD；
（Ⅱ）求点C到平面PAB的距离.
解题技巧 (空间中距离的转化)
（1）利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.
（2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离.
（3）通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高.
例17．（2019·广东东莞·高一期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，．
（1）求证：；
（2）求点到面的距离．
题型八 面面垂直的概念与定理的理解
例18．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知两条直线及两个平面，以下说法中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
例19．（2021·全国·高一专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，
例20．（2021·河北省盐山中学高一阶段练习）已知m、n是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，下列四个命题中真命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若m、n是异面直线，，则
D．若，则
题型九 面面垂直判定定理的应用
例21．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）如图所示，四棱锥的底面是边长为4的菱形，为的中点.求证：
(1)直线平面；
(2)平面平面.
解题技巧（判定两个平面垂直的常用方法）
(1)定义法：即说明两个平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
例22．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）如图，在四棱锥中，侧面平面，侧棱，底面是直角梯形，其中是上一点.
(1)若平面，求；
(2)求证：平面平面.
例23．（2021·陕西·西安中学高一阶段练习）如图，在四棱锥中四边形为平行四边形，，是正三角形，且．
(1)当点M在线段上什么位置时，有平面？
(2)在（1）的条件下，点N在线段上什么位置时，有平面平面？
例24．（2021·北京市八一中学高一期末）如图所示，在正四棱柱中，是线段上的动点.
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
题型十 求二面角
例25．（2022·浙江省开化中学高一期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)求二面角的正切值．
解题技巧： (作二面角的三种常用方法)
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
例26．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在三棱柱中，点D是AB的中点．
(1)求证：平面．
(2)若平面ABC，，，，求二面角的平面角的余弦值．
例27．（2021·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点（不含B）．
(1)平面AEF与平面PBC是否相互垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由；
(2)若为何值时？二面角B—AF—E为．
题型十一 平面与平面垂直的性质定理的应用
例28．（2020·广西·昭平中学高一阶段练习）在三棱锥中，分别为的中点，且.
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，证明：.
解题技巧（性质定理应用的注意事项）
利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点:(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
例29．（2021·全国·高一单元测试）如图1，在直角梯形ABCD中，，，且.现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
例30．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，三角形所在的平面与矩形所在的平面垂直，且．
（1）证明：平面；
（2）证明：．
例31．（2021·湖北·丹江口市第一中学高一阶段练习）如图，已知四棱锥中为矩形，平面ABCD，于点，于点．
(1)求证：；
(2)若平面交于点，求证：．
题型十二 线面、面面垂直的的综合应用
例32．（2019·云南丽江·高一期末）如图，四边形为矩形，平面⊥平面，，为上的一点，且平面
(1)求证：
(2)求证：平面
解题技巧 (空间垂直关系的注意事项)
直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系，当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化，要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证.
例33．（2021·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：面面．
(3)若，求三棱锥的体积．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·陕西西安·高一阶段练习）已知直线及三个互不重合的平面，，，下列结论错误的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
2．（2022·内蒙古·呼和浩特市教学研究室高一期末）如图，在三棱锥中，不能证明的条件是（ ）
A．平面 B．，
C．，平面平面 D．，
3．（2021·全国·高一课时练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是（ ）
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
4．（2021·全国·高一课时练习）在正方体中，与垂直的直线是（ ）
A．AB B．CD C． D．
5．（2022·西藏·拉萨中学高一期末）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
6．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知是等腰三角形，且，，点D是AB的中点．将沿CD折起，使得，则此时直线BC与平面ACD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在直角梯形中，，，分别是，上的点，，且（如图，将四边形沿折起，连结、、（如图．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（ ）
①平面；
②、、、四点可能共面；
③若，则平面平面；
④平面与平面可能垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2021·全国·高一课时练习）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的个数是（ ）
①当时，的周长为定值
②当时，三棱锥的体积为定值
③当时，有且仅有一个点，使得
④当时，有且仅有一个点，使得平面
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2021·湖北·高一期末）已知两个平面垂直，下列命题错误的有（ ）
A．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
B．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线
C．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面
D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
10．（2021·全国·高一课时练习）（多选）四棱锥的所有棱长都相等，M、N分别为PA、CD的中点，下列说法正确的是（ ）
A．MN与PD是异面直线 B．平面PBC
C． D．
11．（2021·全国·高一课时练习）（多选）如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（ ）
A． B．截面PQMN
C． D．异面直线与所成的角为
12．（2022·浙江省开化中学高一期末）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为BD1，BB1上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．ACPQ B．周长最小为
C．AC//PQ D．周长最小为
三、填空题
13．（2021·全国·高一课时练习）如图，在长方体的各条棱所在直线中，
（1）与直线AB垂直的直线有__________条；
（2）与直线AB异面且垂直的直线有__________条；
（3）与直线AB和都垂直的直线有__________条；
（4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线__________．
14．（2021·全国·高一课前预习）如图所示，在三棱柱中，已知ABCD和为是矩形，平面平面ABCD.若，则直线AB到面的距离为___________.
15．（2021·全国·高一课时练习）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A′，且平面A′BD⊥平面BCD，则下列四个命题中正确的是__．
①A′D⊥BC；②三棱锥A′﹣BCD的体积为；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BD⊥平面A′DC．
16．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝__时，D1E⊥平面AB1F．
四、解答题
17．（2022·陕西西安·高一阶段练习）如图，四棱锥的底面为矩形，，.
(1)证明：平面平面.
(2)若，，，求点到平面的距离.
18．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高一期末）已知正方体.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与BD所成的角.
19．（2022·陕西榆林·高一期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面为直角梯形，CD//AB，AD⊥AB，且PA＝AD＝CD＝2，AB＝3，E为PD的中点.
(1)证明：AE⊥平面PCD；
(2)过A，B，E作四棱锥P﹣ABCD的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积.
20．（2022·陕西西安·高一阶段练习）如图1，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，沿DE把△ADE折起，得到如图2所示的四棱锥.
(1)证明：EF//平面A1BD；
(2)若平面DE⊥平面BCED，求三棱锥﹣CEF的体积.
21．（2022·浙江省开化中学高一期末）如图，三棱锥中，平面平面，，分别是，的中点，且，．
(1)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
22．（2021·黑龙江鸡西·高一期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，平面ABCD，点E是棱PC上的一点.
(1)证明：平面平面PBC；
(2)是否存在一点E，使得平面BDE？若存在，请说明点E的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
(3)若三棱锥的体积是，求点D到平面PAB的距离.
23．（2021·全国·高一课时练习）如图，正方体，棱长为2，E，F分别是棱AB，BC上的点，且.
(1)当x为何值时，三棱锥的体积最大？
(2)求三棱锥的体积最大时，二面角的正切值；
(3)求异面直线与所成的角的取值范围.
24．（2021·陕西省宝鸡市长岭中学高一阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的平面角的大小；
(3)当平面时，求三棱锥的体积．
8.6 空间直线、平面的垂直
【知识点梳理】
知识点一：异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°.
(3)如果两条异面直线a，b所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作a⊥b.
知识点二：直线与直线垂直的定义
两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。
知识点诠释：
空间中两直线垂直可能是相交垂直，也可能是异面垂直，即两条直线互相垂直时可能没有垂足。
知识点三：直线与平面垂直的定义与判定
1.直线和平面垂直的定义
如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段。垂线段的长度叫做这个点到平面的距离。
知识点诠释：
(1)定义中的“任何直线”与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直．
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式．
(3)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．符号语言描述：．
(4)在平面几何中，我们有命题：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，在本节中，也有类似的命题．
命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直．
命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．
2.直线和平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
图形语言：
符号语言：
特征：线线垂直线面垂直
知识点诠释：
(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.
(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.
相关的重要结论
①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．
②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．
③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．
知识点四：直线与平面所成的角
(1)如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
(2)一条直线垂直于平面，称它们所成的角是直角；一条直线在平面内或一条直线和平面平行，称它们所成的角是0°的角，于是，直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.
知识点五：直线与平面垂直的性质
1.基本性质
文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
符号语言：
图形语言：
2.性质定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：
图形语言：
知识点六：距离
(1)直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离.
(2)平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离.
知识点七：二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图中的二面角可记作：二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.
(2)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直与直线l的射线OA，OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
知识点八：平面与平面垂直的定义与判定
1.平面与平面垂直定义
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
表示方法：平面与垂直，记作.
画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：
2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
特征：线面垂直面面垂直
知识点诠释：
平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.
知识点九：平面与平面垂直的性质
1．性质定理
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
知识点诠释：
面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．
2．平面与平面垂直性质定理的推论
如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
知识点十：垂直关系的综合转化
线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：
知识点十一：求点线、点面、线面距离的方法
(1)若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示)．
(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．
(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．
②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．
③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．
知识点十二：作二面角的三种常用方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
【典型例题】
题型一：证明两直线垂直
例1．（2021·全国·高一课前预习）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．
解题技巧（证明两直线垂直的常用方法）
(1)利用平面几何的结论，如矩形，等腰三角形的三线合一，勾股定理；
(2)定义法：即证明两条直线夹角是90°；
(3)利用一些事实：两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线，则其平行线也垂直此直线.
例2．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知正方体.
（1）求与所成角的大小；
（2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：.
题型二 求异面直线所成的角
例3．（2021·全国·高一课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
解题技巧 (求异面直线所成角的一般步骤)
求异面直线所成角的一般步骤：
(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.
(3)结论——设(2)所求角大小为θ.若0°<θ≤90°，则θ即为所求；若90°<θ<180°，则180°-θ即为所求
例4．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角.
题型三 线面垂直的概念与定理的理解
例5．（2021·全国·高一课时练习）设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（ ）
A．若，，，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
解题技巧（判定定理理解的注意事项）
线面垂直的判定定理中，直线垂直于平面内的两条相交直线，“相交”两字必不可少，否则，就是换成无数条直线，这条直线也不一定与平面垂直.
例6．（2021·全国·高一课前预习）在正方体中P，Q分别是和的中点，则下列判断错误的是（ ）
A． B．平面
C． D．平面
例7．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正方形中，E、F分别为、的中点，H是的中点.现沿、、把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
题型四 直线与平面垂直的判定
例8．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，，且面，、分别是棱、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求四棱锥的体积.
解题技巧 (应用判定定理的注意事项)
利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线，证明它们都和这条直线垂直.
例9．（2020·广西·昭平中学高一阶段练习）如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC，，D为BP的中点，.
(1)求证：平面PAB；
(2)求证：平面PBC.
例10．（2021·全国·高一课时练习）如图，在中，M为边BC的中点，沿AM将折起，使点B在平面ACM外．在什么条件下直线AM垂直于平面BMC？
例11．（2021·上海中学高一期末）如图1，在中，，，分别为，的中点，点是线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2．
（1）证明：；
（2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
题型五 直线与平面所成角
例12．（2021·全国·高一课时练习）在正方体中，E是棱的中点，求直线与平面所成的角的正弦值．
解题技巧(求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤)
(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；
(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；
(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.
例13．（2021·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD．
(1)指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由；
(2)若，试求PC与平面ABCD所成角的正切值．
题型六 直线与平面垂直的性质定理的应用
例14．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知正方体A1C．
(1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．
解题技巧（证明两条直线平行的常见方法）
(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；
(2)线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；
(3)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；
(4)线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
例15．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在三棱锥中，平面，是侧面上的一点，过作平面的垂线，其中，证明：平面．
题型七 空间中的距离问题
例16．（2020·河北·高一期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB//DC，AB＝2CD，∠BCD＝90°.
（Ⅰ）求证：PB⊥AD；
（Ⅱ）求点C到平面PAB的距离.
解题技巧 (空间中距离的转化)
（1）利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.
（2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离.
（3）通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高.
例17．（2019·广东东莞·高一期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，．
（1）求证：；
（2）求点到面的距离．
题型八 面面垂直的概念与定理的理解
例18．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高一期末）已知两条直线及两个平面，以下说法中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
例19．（2021·全国·高一专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，
例20．（2021·河北省盐山中学高一阶段练习）已知m、n是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，下列四个命题中真命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若m、n是异面直线，，则
D．若，则
题型九 面面垂直判定定理的应用
例21．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）如图所示，四棱锥的底面是边长为4的菱形，为的中点.求证：
(1)直线平面；
(2)平面平面.
解题技巧（判定两个平面垂直的常用方法）
(1)定义法：即说明两个平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
例22．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）如图，在四棱锥中，侧面平面，侧棱，底面是直角梯形，其中是上一点.
(1)若平面，求；
(2)求证：平面平面.
例23．（2021·陕西·西安中学高一阶段练习）如图，在四棱锥中四边形为平行四边形，，是正三角形，且．
(1)当点M在线段上什么位置时，有平面？
(2)在（1）的条件下，点N在线段上什么位置时，有平面平面？
例24．（2021·北京市八一中学高一期末）如图所示，在正四棱柱中，是线段上的动点.
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
题型十 求二面角
例25．（2022·浙江省开化中学高一期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)求二面角的正切值．
解题技巧： (作二面角的三种常用方法)
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③，∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
例26．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在三棱柱中，点D是AB的中点．
(1)求证：平面．
(2)若平面ABC，，，，求二面角的平面角的余弦值．
例27．（2021·全国·高一课时练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点（不含B）．
(1)平面AEF与平面PBC是否相互垂直？若是，请证明；若不是，请说明理由；
(2)若为何值时？二面角B—AF—E为．
题型十一 平面与平面垂直的性质定理的应用
例28．（2020·广西·昭平中学高一阶段练习）在三棱锥中，分别为的中点，且.
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，证明：.
解题技巧（性质定理应用的注意事项）
利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点:(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
例29．（2021·全国·高一单元测试）如图1，在直角梯形ABCD中，，，且.现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
例30．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，三角形所在的平面与矩形所在的平面垂直，且．
（1）证明：平面；
（2）证明：．
例31．（2021·湖北·丹江口市第一中学高一阶段练习）如图，已知四棱锥中为矩形，平面ABCD，于点，于点．
(1)求证：；
(2)若平面交于点，求证：．
题型十二 线面、面面垂直的的综合应用
例32．（2019·云南丽江·高一期末）如图，四边形为矩形，平面⊥平面，，为上的一点，且平面
(1)求证：
(2)求证：平面
解题技巧 (空间垂直关系的注意事项)
直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系，当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化，要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证.
例33．（2021·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：面面．
(3)若，求三棱锥的体积．
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·陕西西安·高一阶段练习）已知直线及三个互不重合的平面，，，下列结论错误的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
2．（2022·内蒙古·呼和浩特市教学研究室高一期末）如图，在三棱锥中，不能证明的条件是（ ）
A．平面 B．，
C．，平面平面 D．，
3．（2021·全国·高一课时练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是（ ）
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
4．（2021·全国·高一课时练习）在正方体中，与垂直的直线是（ ）
A．AB B．CD C． D．
5．（2022·西藏·拉萨中学高一期末）如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
6．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知是等腰三角形，且，，点D是AB的中点．将沿CD折起，使得，则此时直线BC与平面ACD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在直角梯形中，，，分别是，上的点，，且（如图，将四边形沿折起，连结、、（如图．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（ ）
①平面；
②、、、四点可能共面；
③若，则平面平面；
④平面与平面可能垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2021·全国·高一课时练习）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的个数是（ ）
①当时，的周长为定值
②当时，三棱锥的体积为定值
③当时，有且仅有一个点，使得
④当时，有且仅有一个点，使得平面
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2021·湖北·高一期末）已知两个平面垂直，下列命题错误的有（ ）
A．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
B．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线
C．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面
D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
10．（2021·全国·高一课时练习）（多选）四棱锥的所有棱长都相等，M、N分别为PA、CD的中点，下列说法正确的是（ ）
A．MN与PD是异面直线 B．平面PBC
C． D．
11．（2021·全国·高一课时练习）（多选）如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的是（ ）
A． B．截面PQMN
C． D．异面直线与所成的角为
12．（2022·浙江省开化中学高一期末）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为BD1，BB1上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．ACPQ B．周长最小为
C．AC//PQ D．周长最小为
三、填空题
13．（2021·全国·高一课时练习）如图，在长方体的各条棱所在直线中，
（1）与直线AB垂直的直线有__________条；
（2）与直线AB异面且垂直的直线有__________条；
（3）与直线AB和都垂直的直线有__________条；
（4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线__________．
14．（2021·全国·高一课前预习）如图所示，在三棱柱中，已知ABCD和为是矩形，平面平面ABCD.若，则直线AB到面的距离为___________.
15．（2021·全国·高一课时练习）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A′，且平面A′BD⊥平面BCD，则下列四个命题中正确的是__．
①A′D⊥BC；②三棱锥A′﹣BCD的体积为；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BD⊥平面A′DC．
16．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当＝__时，D1E⊥平面AB1F．
四、解答题
17．（2022·陕西西安·高一阶段练习）如图，四棱锥的底面为矩形，，.
(1)证明：平面平面.
(2)若，，，求点到平面的距离.
18．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高一期末）已知正方体.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与BD所成的角.
19．（2022·陕西榆林·高一期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面为直角梯形，CD//AB，AD⊥AB，且PA＝AD＝CD＝2，AB＝3，E为PD的中点.
(1)证明：AE⊥平面PCD；
(2)过A，B，E作四棱锥P﹣ABCD的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积.
20．（2022·陕西西安·高一阶段练习）如图1，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，沿DE把△ADE折起，得到如图2所示的四棱锥.
(1)证明：EF//平面A1BD；
(2)若平面DE⊥平面BCED，求三棱锥﹣CEF的体积.
21．（2022·浙江省开化中学高一期末）如图，三棱锥中，平面平面，，分别是，的中点，且，．
(1)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
22．（2021·黑龙江鸡西·高一期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，，，平面ABCD，点E是棱PC上的一点.
(1)证明：平面平面PBC；
(2)是否存在一点E，使得平面BDE？若存在，请说明点E的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
(3)若三棱锥的体积是，求点D到平面PAB的距离.
23．（2021·全国·高一课时练习）如图，正方体，棱长为2，E，F分别是棱AB，BC上的点，且.
(1)当x为何值时，三棱锥的体积最大？
(2)求三棱锥的体积最大时，二面角的正切值；
(3)求异面直线与所成的角的取值范围.
24．（2021·陕西省宝鸡市长岭中学高一阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的平面角的大小；
(3)当平面时，求三棱锥的体积．
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