高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体课时练习

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9.2用样本估计总体
【知识点】
1.频率分布直方图绘制步骤
①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差．
②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．
③将数据分组．
④列频率分布表．计算各小组的频率，第i组的频率是.
⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示.实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度．
2. 频率分布直方图意义：各个小长方形的面积表示相应各组的频率，频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各个小组的频率的大小，各小长方形的面积的总和等于1.
3.总体取值规律的估计：我们可以用样本观测数据的频率分布估计总体的取值规律．
4.频率分布直方图的特征：当频率分布直方图的组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原式数据信息；当频率分布直方图的组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于小长方形较多，有时图形会变得非常不规则 ，不容易从中看出总体数据的分布特点．
5.常见的其他统计图：条形图、扇形图、折线图．
扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例；
条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率；
折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势．
6.各个统计图特点
(1)不同的统计图在表示数据上有不同的特点．如扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势．
(2)不同的统计图适用的数据类型也不同．如条形图适用于描述离散型的数据，直方图适用于描述连续性数据．
7.第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
8.计算第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算i ＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
9.四分位数
常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．
10．众数、中位数、平均数定义
(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数．
(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数．
(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．
11.频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标；
②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；
③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
12.方差、标准差的定义
一组数据x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为(xi－)2＝－2，标准差为.
13.总体方差、总体标准差的定义
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝(Yi－)2
为总体方差，S＝为总体标准差．如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2.
14.样本方差、样本标准差的定义
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝(yi－)2
为样本方差，s＝为样本标准差．
15.方差、标准差特征
标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．

【典型例题】
题型一 频率分布直方图的绘制与应用
例1．（2021·全国·高一课时练习）通过抽样，我们获得了100位居民某年的月平均用水量（单位：t），如下表：
3.1
2.5
2.0
2.0
1.5
1.0
1.6
1.8
1.9
1.6
3.4
2.6
2.2
2.2
1.5
1.2
0.2
0.4
0.3
0.4
3.2
2.7
2.3
2.1
1.6
1.2
3.7
1.5
0.5
3.8
3.3
2.8
2.3
2.2
1.7
1.3
3.6
1.7
0.6
4.1
3.2
2.9
2.4
2.3
1.8
1.4
3.5
1.9
0.8
4.3
3.0
2.9
2.4
2.4
1.9
1.3
1.4
1.8
0.7
2.0
2.5
2.8
2.3
2.3
1.8
1.3
1.3
1.6
0.9
2.3
2.6
2.7
2.4
2.1
1.7
1.4
1.2
1.5
0.5
2.4
2.5
2.6
2.3
2.1
1.6
1.0
1.0
1.7
0.8
2.4
2.8
2.5
2.2
2.0
1.5
1.0
1.2
1.8
0.6
2.2
试用频率直方图分析该地居民月平均用水量的分布情况.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
根据数据计算极差确定组距和组数，再得到频率分布表，画出频率分布直方图，根据直方图得到答案.
【详解】
计算极差：；将组距取为，则，取组数为；
将数据分为：，
则得到频率分布表：
分组
频数
频率

4
0.04

8
0.08

15
0.15

22
0.22

25
0.25

14
0.14

6
0.06

4
0.04

2
0.02
合计
100
1.00

画出频率分布直方图：

根据频率分布直方图：
用水量在的居民最少；
多数居民的用水量在之间；
用水量在的居民最多.
解题技巧（绘制频率分布直方图的注意事项）
1．在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
(1)若为整数，则＝组数；
(2)若不为整数，则的整数部分＋1＝组数．
2．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多.
例2．（2021·全国·高一课时练习）下面是某市9月26日和9月29日市区出现堵车的时刻，试列出这两天的堵车时刻的频率分布表和频率直方图，并分析该市每天大约在什么时间段是行车高峰期.
9月26日
8:01
8:02
9:30
9:31
9:51
10:24
10:51
11:21
15:52
16:30
17:29
17:30
18:04
18:22
9月29日
8:29
8:32
8:33
9:29
9:58
10:14
10:33
11:43
14:00
16:08
16:29
16:54
16:55
17:05
18:08
18:09

【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
确定组距，由已知条件确定每组的频数、频率、频率/组距可得频率分布表，根据频率分布表作出频率直方图即可.
【详解】
根据已知数据可得频率分布表如下：
分组
频数
频率
频率/组距












































合计




作出频率分布直方图如图所示：

由频率分布直方图可以看出大约每天的到与到是行车高峰期.
例3．（2021·全国·高一单元测试）某制造商生产一批直径为40的乒乓球，现随机抽样检查20个，测得每个球的直径（单位：，保留两位小数）如下：
40.03   40.00   39.98   40.00   39.99   40.00   39.98
40.01   39.98   39.99   40.00   39.99   39.95   40.01
40.02   39.98   40.00   39.99   40.00   39.96
（1）完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；
分组
频数
频率












合计



（2）假定乒乓球的直径误差不超过0.02为合格品.若这批乒乓球的总数为10000，试根据抽样调查结果估计这批产品的合格个数.
【答案】（1）频率分布表见解析，频率分布直方图见解析；（2）8500.
【解析】
【分析】
(1) 根据所给的频数和样本容量，用频数除以样本容量做出每一组数据对应的频率,填入表中，画出对应的频率分步直方图和频率分布折线图.(2)计算抽样产品在的个数，计算合格率，即可求出这批产品的合格只数.
【详解】
（1）频率分布表如下：
分组
频数
频率

2
0.10

4
0.20

10
0.50

4
0.20
合计
20
1.00

频率分布直方图如图.

（2）∵抽样的20个产品中直径（单位：）在范围内的有17个，
∴合格品频率为.
∴.
故根据抽样调查结果，可以估计这批产品的合格个数为8500.
题型二 频率分布直方图中的相关计算问题
例4．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品随机抽取了一个容量为20的样本，测量它们的尺寸（单位：），数据分为，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示.

(1)求上图中的值；
(2)根据频率分布直方图，求200件样本尺寸在内的样本数；
(3)记产品尺寸在内为等品，每件可获利5元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损2元；其余的为合格品，每件可获利3元.若该机器一个月共生产3000件产品.以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到11000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.
【答案】(1)；
(2)（件）；
(3)需要对该工厂设备实施升级改造.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为进行求解即可；
（2）根据频率分布直方图中的数据进行求解即可；
（3）根据题意，结合频率分布直方图中的数据求出单月利润，最后比较大小即可.
(1)
因为，
解得；
(2)
200件样本中尺寸在内的样本数为（件）
(3)
由题意可得，这批产品中优等品有（件），
这批产品中不合格品有件，
这批产品中合格品有（件），
元.
所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为10680元，
因为，
所以需要对该工厂设备实施升级改造.
解题技巧 (计算规律)
1.因为小长方形的面积=组距×频率组距=频率,所以各小长方形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
2.在频率分布直方图中,各小长方形的面积之和等于1.
3.频数相应的频率=样本量.
4.在频率分布直方图中,各长方形的面积之比等于频率之比,各长方形的高度之比也等于频率之比.　
例5．（2021·四川·成都市温江区第二中学校高二期末（理））某商品公司随机选取了 1000 名购物者在某年度的消费情况进行统计，并根据消费金 额 （单位： 万元）分成 6 组，制成如下图所示的频率分布直方图：

(1)求 的值；
(2)在这些购物者中，求消费金额在区间 内的购物者的人数．
【答案】(1)
(2)600人
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图的性质，各小矩形的面积之和为，即可求出；
（2）先由频率分布直方图可求出消费金额在区间内的频率，再根据频数＝频率样本容量，即可得到购物者的人数．
(1)
由频率分布直方图及频率和等于1可得：
，解得．
(2)
消费金额在区间内的频率为，
所以消费金额在区间内的购物者的人数为人．
例6．（2021·四川省南充市李渡中学高二阶段练习）对某校高一年级学生参加“社区志愿者”活动次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加“社区志愿者”活动的次数．据此作出频数和频率统计表及频率分布直方图如下：
分组
频数
频率

5
0.25

12





1
0.05
合计

1


（1）求出表中，及图中的值；
（2）若该校高一学生有720人，试估计他们参加“社区志愿者”活动的次数在内的人数.
【答案】（1）；（2）人.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布表，利用频率的关系，求出、、、以及的值；
（2）利用参加“社区志愿者”活动的次数在，内的频率，求出对应的频数.
【详解】
解：（1）根据频率分布表，得；
，
样本容量为；
，
对应的频率为，
；
；
（2）参加“社区志愿者”活动的次数在，内的频率为0.6，
估计参加“社区志愿者”活动的次数在，内的人数为
（人）.
题型三 对折线图、扇形图、条形图的识读
例7．（2020·北京·高二学业考试）年以前，北京市先后组织实施了多个阶段的大气污染防治行动，针对燃煤､工业､扬尘排放和机动车排放等采取了数百项治理措施.2008年北京市首次探索区域联防联控，取得了良好效果.2013年北京市制定实施以防治细颗粒物为重点的《2013-2017年清洁空气行动计划》，治理成效显著.

上图是2000年至2018年可吸入颗粒物､细颗粒物､二氧化氮､二氧化硫等主要污染物年日均值的折线图.根据图中信息，下列结论中正确的是（       ）
A．2013年到2018年，空气中可吸入颗粒物的年日均值逐年下降
B．2013年到2018年，空气中细颗粒物的年日均值逐年下降
C．2000年到2018年，空气中二氧化氮的年日均值都低于40微克/立方米
D．2000年到2018年，空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2008年
【答案】B
【解析】
观察折线图，确定数据的变化规律，判断各选项．
【详解】
2014年空气中可吸入颗粒物年日均值比2013年多，A错；
2013年到2018年，空气中细颗粒物的年日均值逐年下降，B正确；
2007年（含2007年）之前空气中二氧化氮的年日均值都高于40微克/立方米，C错；
2000年到2018年，空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2018年，D错．
故选：B．
解题技巧（各类统计图的特点）
条形统计图反映各组数据的频数或频率；
扇形统计图反映各组数据占总数的比例；
折线统计图反映数据随时间的变化趋势．
例8．（2021·全国·高一课时练习）为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：kg)如下：
57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48
将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
分析数据的极差，选择合适的组局，让组数在5－8组左右为宜，作出频率分布表，根据频率分布表作出频率分布直方图﹒
【详解】
数据的极差为：69-42=27，所以可以4为组距，将数据分为8组，列表如下：
分组
频率累计
频数
频率
[41.5，45.5)

2
0.045 5
[45.5，49.5)

7
0.159 1
[49.5，53.5)

8
0.181 8
[53.5，57.5)

16
0.363 6
[57.5，61.5)

5
0.113 6
[61.5，65.5)

4
0.090 9
[65.5，69.5)

2
0.045 5

以此作出频率分布直方图和频率分布折线图，如图所示：
例9．（2021·全国·高一单元测试）共享单车入住泉州一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段，使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放份调查问卷，回收到有效问卷份，现从中随机抽取份，分别对使用者的年龄段、岁使用者的使用频率、岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：
表(一)
使用者年龄段
岁以下
岁～岁
岁～岁
岁以上
人数





表(二)
使用频率
次/月
次/月
次/月
次/月
人数





表(三)
满意度
非常满意()
满意()
一般()
不满意()
人数





(1)依据上述表格完成下列三个统计图形：



(2)某城区现有常住人口万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在岁～岁之间，每月使用共享单车在次的人数.
【答案】（1）详见解析；（2）万人.
【解析】
（1）按照三个表格中的数据绘制图形即可；
（2）先根据年龄在岁～岁之间的有人，占总抽取人数的一半，得某城区万人口中年龄在岁～岁之间的约有 (万人)；再根据年龄在岁～岁之间每月使用共享单车在次之间的有人，占总抽取人数的，得年龄在岁～岁之间，每月使用共享单车在次之间的约有(万人).
【详解】
(1)



(2)由表(一)可知：
年龄在岁～岁之间的有人，占总抽取人数的一半，用样本估计总体的思想可知，某城区万人口中年龄在岁～岁之间的约 (万人)；
又年龄在岁～岁之间每月使用共享单车在次之间的有人，占总抽取人数的，用样本估计总体的思想可知，城区年龄在岁～岁之间万人中每月使用共享单车在次之间的约有(万人)，
故年龄在岁～岁之间，每月使用共享单车在次之间的人数约为万人.
【点睛】
本题考查阅读理解能力和逻辑思维能力，考查频率分布饼形图、条形图和折线图，考查用样本估计总体，属于中档题.
题型四 百分位数在具体数据中的应用
例10．（2022·天津市武清区杨村第一中学高三期末）某射击运动员7次的训练成绩分别为:86，88，90，89，88，87，85，则这7次成绩的第80百分位数为（       ）
A．88.5 B．89 C．91 D．89.5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据百分位数的定义进行求解即可.
【详解】
7次的训练成绩从小到大排列为：85，86，87，88，88，89，90，
，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第个数据，即89，
故选：B
解题技巧（计算一组n个数据的第p百分位数的步骤）
第1步,按从小到大排列原始数据.
第2步,计算i=n×p%.
第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
例11．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）从某城市随机抽取14台自动售货机，对其销售额进行统计，数据如下：8，8，10，12，22，23，20，23，32，34，31，34，42，43．则这14台自动售货机的销售额的50%，80%分位数分别是_______，__________．
【答案】     23     34
【解析】
【分析】
根据百分位数的定义计算可得答案.
【详解】
解：因为该组数据从小到大排列为：8，8，10，12，20，22，23， 23，31，32，34， 34，42，43．
且，第7个与第8个数的平均值为，
所以这14台自动售货机的销售额的50%分位数为23；
又，所以这14台自动售货机的销售额的80%分位数分别是第12项数据，即34，
故答案为：23；34.
例12．（2022·湖南·高一课时练习）下表为某市青少年（12~13岁）立定跳远体能达标表（单位：cm）：
百分位数
5
10
20
30
40
50
60
70
75
80
85
90
95
男
12岁
127
136
147
155
162
169
175
182
186
190
195
201
211
13岁
139
149
161
169
177
184
191
198
202
207
212
219
229
女
12岁
109
117
128
135
141
147
153
159
163
167
171
177
186
13岁
110
119
129
137
143
149
155
161
165
169
173
179
188

(1)小兰今年12岁就读六年级，她立定跳远的距离是153cm，求她立定跳远的百分等级.
(2)小兰明年就读初中时，她想要立定跳远的成绩位于表中的位置，问她立定跳远至少要跳多少cm以上.
(3)若立定跳远的成绩达到算是优良，小军今年13岁，他立定跳远的距离是200cm，请问他的立定跳远成绩是不是优良？
【答案】(1)
(2)cm以上.
(3)不是
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据得到女生立定跳远距离 cm对应的百分位数为，即可求解；
（3）根据表格中的数据可得到女生13岁立定跳远距离百分为数cm，即可求解；
所以她立定跳远至少要跳cm以上.
（3）由表格中的数据得到13岁男生立定跳远距离百分位数的值，比较即可得到结论.
(1)
解：根据表格中的数据可知，12岁的女生立定跳远距离cm对应的百分位数为，
所以小兰立定跳远的百分等级.
(2)
解：小兰明年13岁，根据表格中的数据可知：13岁立定跳远距离百分为数cm，
所以她立定跳远至少要跳cm以上.
(3)
由表格中的数据可知：13岁男生立定跳远距离百分位数cm，
因为，所以他的立定跳远成绩不是优良.
题型五 百分位数在统计表或统计图中的应用
例13．（2022·辽宁丹东·高一期末）某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下：
分位数
50%分位数
70%分位数
80%分位数
90%分位数
用电量
160
176
215
230
如果要求约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，可确定第二阶梯电价的用电量范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用百分位数的含义结合条件即得.
【详解】
∵约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，
∴由表中数据可得，第二阶梯电价的用电量范围为.
故选：C.
解题技巧 (频率直方图计算百分位数的规律)
求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，频率直方图看作数据均匀分布在直方图上，然后计算出i＝n×p%，当i不是整数要取整，频率直方图要计算出比例值．
例14．（2022·河南焦作·高一期末）某小学制订了一份调查问卷，让学生家长对该校实行“双减”的效果进行评分，评分都在内，将所有数据按，，，，，进行分组，整理得到频率分布直方图如下，则这次调查数据的70%分位数为___________.

【答案】80
【解析】
【分析】
利用百分位数的概念以及频率分布直方图求解..
【详解】
因为前4组数据的频率之和为0.05+0.15+0.2+0.3=0.7，
所以70%分位数为80.
故答案为：80
例15．（2022·北京平谷·高二期末）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)已知样本中分数在[40，50）的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
(2)试估计测评成绩的75%分位数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【答案】(1)20人
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图先求出样本中分数在[40，90）的频率，即可解出；
（2）先根据频率分布直方图判断出75%分位数在[70，80）之间，即可根据分位数公式算出；
（3）根据频率分布直方图知分数不小于70分的人数中男女各占30人，从而可知样本中男生有60人，女生有40人，即可求出总体中男生和女生人数的比例．
(1)
由频率分布直方图知，分数在[50，90）的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在样本中分数在[50，90）的人数为100×0.9=90(人)，在样本中分数在[40，90）的人数为95人，所以分数在[40，90）的人数为400×0.95=380(人)，总体中分数小于40的人数为20人
(2)
测试成绩从低到高排序，占人数75%的人分数在[70，80）之间，所以估计测评成绩的75%分位数为
(3)
由频率分布直方图知，分数不小于70分的人数共有60人，由已知男女各占30人，从而样本中男生有60人，女生有40人，故总体中男生与女生的比例为．
题型六 平均数、中位数、众数在具体数据中的应用
例16．（2021·山西·高一期末）一组数据共有7个整数，，2，2，2，10，5，4，且，若这组数据的平均数、中位数、众数中最大与最小数之和是该三数中间数字的两倍，则第三四分位数是______.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据平均数，中位数，众数的概念和已知条件，列式求解，注意分类讨论，求得m的值，进而得到已知得7个数，从小到大排列后，利用四舍五入法求得第三四分位数.
【详解】
平均数，众数=2，当时，中位数为4，
则有舍掉；
当时，中位数为，则有.
该7个数从小到大排列是2，2，2，3，4，5，10，因为数据个数为7，
而且，所以这组数据的第三四分位数为5.
解题技巧（众数、中位数、平均数的意义）
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大．
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势．
例17．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））为了增加学生的锻炼机会，某中学决定每年举办一次足球和乒乓球比赛，据统计，近年来，参加足球比赛的学生人数分别为、、、、，它们的平均数为，已知这年，参加乒乓球比赛的学生人数分别为、、、、，它们的平均数为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平均数公式可求得结果.
【详解】
由已知可得，
由平均数公式可得
.
故选：A.
例18．（2022·湖南·高一课时练习）某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）情况如图所示，试结合图象分析得分的平均数、众数、中位数之间的大小关系．

【答案】平均数中位数众数
【解析】
【分析】
求出中位数，平均数，众数，比较大小即可.
【详解】
由图知
平均数为
众数为5，
中位数为，
故平均数中位数众数.
例19．（2022·湖南·高一课时练习）某百货公司连续40天的销售额数据（单位：万元）如下：
41       25       29       47       38       34       30       38       43       40
46       36       45       37       37       36       45       43       33       44
35       28       46       34       30       37       44       26       38       44
42       36       37       37       49       39       42       32       36       35
(1)根据上面的数据进行适当的分组，编制频数分布表，并绘制频率分布直方图；
(2)在绘制的频率分布直方图上指出数据组的中位数、众数、平均数所在区域，并比较它们之间的大小；
(3)试估计该百货公司一年（按365天计算）的销售额.
【答案】(1)见解析
(2)中位数为37，众数为37，平均数为，平均数最大，中位数和众数相等，
(3)万元
【解析】
【分析】
（1）首先找出该组数据的最大值和最小值，求出它们的差，然后决定组距和组数，找出分点后再列频数分布表和频数分布直方图，
（2）通过对中位数，众数，平均数的计算进行比较，
（3）用平均数乘以365可求得结果
(1)
这组数的最小值为25，最大值为49，其差为，取组距为5，将其分成5组，则分的组为，
销售额的频率分布表如下：
组段
频数
频率

4


6


15


9


6


销售额的频率分布直方图如下：

(2)
将40个数据从小到大排列依次为
25，26，28，29，30，30，32，33，34，34，35，35，36，36，36，36，37，37，37，37，
37，38，38，38，39，40，41，42，42，43，43，44，44，44，45，45，46，46，47，49，
所以中位数为37，众数为37，
平均数为，
中位数、众数、平均数都在，其平均数最大，中位数和众数相等
(3)
由（2）可知平均每天的销售额为万元，
所以该百货公司一年的销售额约为
万元
题型七 在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数
例20．（河南省新乡市2021-2022学年高三上学期期末考试数学（文科）试题）《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指出：非寄宿制中小学、幼儿园原则上不得在校内设置食品小卖部、超市，已经设置的要逐步退出．为了了解学生对校内开设食品小卖部的意见，某校对名在校生天内在该校食品小卖部消费过的天数进行统计，将所得数据按照、、、、、分成组，制成如图所示的频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论不正确的是（       ）

A．该校学生每月在食品小卖部消费过的天数不低于的学生比率估计为
B．该校学生每月在食品小卖部消费过的天数低于的学生比率估计为
C．估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的平均值不低于
D．估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的中位数介于至之间
【答案】C
【解析】
【分析】
利用频率、频数与样本容量之间的关系可判断AB选项；利用频率分布直方图计算平均数可判断C选项；利用中位数的定义可判断D选项.
【详解】
由图可得，该校学生每月在食品小卖部消费过的天数在内的占比为，A正确；
该校学生每月在食品小卖部消费过的天数在内的占比为，B正确；
估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的平均值为
，C错；
该校学生每月在食品小卖部消费过的天数在内的占比为，
该校学生每月在食品小卖部消费过的天数在的占比为，
所以该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的中位数介于至之间，D正确；
故选：C.
解题技巧 (知频率分布直方图中求平均数、中位数、众数)
(1)众数：频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．
(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和．
例21．（2021·江西省信丰中学高二开学考试（理））某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．

(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
【答案】(1)x=0.0075
(2)众数是230，中位数是224
(3)5户
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图中所以小矩形面积和为1，代入数据，即可得答案.
（2）根据频率分布直方图中众数、中位数的求法，计算即可得答案.
（3）先求得[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户数，根据分层抽样的概念，求得抽样比，即可得答案.
(1)
由直方图的性质，可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1
解得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．
(2)
月平均用电量的众数是=230．
因为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，
设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5
解得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224．
(3)
月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100=25户，
月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户，
月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，
所以抽取比例=，
所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取户．
例22．（2021·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有名学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为分)进行统计，请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：
组号
分组
频数
频率
1
[50，60)
4
0.08
2
[60，70)
8
0.16
3
[70，80)
10
0.20
4
[80，90)
16
0.32
5
[90，100]


合计






(1)填充频率分布表中的空格；
(2)如图，不具体计算，补全频率分布直方图；
(3)估计这名学生竞赛的平均成绩(结果保留整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
【答案】(1)四个空格应分别填12，0.24，50，1；
(2)直方图见解析；
(3)80分．
【解析】
【分析】
（1）：先求样本量，就可求第5组的频数与频率，总频数为样本量，总频率为；
（2）：根据各组的频数比率即可确定要补全的长方形的高；
（3）：根据直方图中数据平均数公式即可求解．
(1)
＝50，即样本量为50.
第5组的频数为50－4－8－10－16＝12，从而第5组的频率为＝0.24.
又各小组频率之和为1，所以频率分布表中的四个空格应分别填12，0.24，50，1.
(2)
设第一个小长方形的高为h1，第二个小长方形的高为h2，第五个小长方形的高为h5，
则＝＝，＝＝．
补全的频率分布直方图如图所示：

(3)
50名学生竞赛的平均成绩为
＝ (分)．
所以估计这900名学生竞赛的平均成绩约为分．
题型八 标准差与方差的应用
例23．（2022·广西·模拟预测（理））设一组样本数据的平均数为100，方差为10，则的平均数和方差分别为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平均数和方差的公式计算出正确答案.
【详解】
依题意，
所以，
.
故选：D
解题技巧（实际应用中标准差、方差的意义）
在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高．
例24．（2022·北京八中高三开学考试）已知数据的平均数为，方差为，中位数为，极差为.由这组数据得到新数据，其中，则下列命题中错误的是（       ）
A．新数据的平均数是 B．新数据的方差是
C．新数据的中位数是 D．新数据的极差是
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平均数、方差、中位数、极差的定义求解．
【详解】
解：对于选项A：因为，所以新数据的平均数为，故选项A正确，
对于选项B：因为，所以新数据的方差为，故选项B正确，
对于选项C：因为数据，，，的中位数为，所以新数据的中位数是，故选项C错误，
对于选项D：设数据，，，中最大，最小（其中，，，，则，所以新数据的极差是，故选项D正确，
故选：C．
例25．（2021·福建南平·高一期末）设样本数据、、、的平均数为，标准差为，若数据、、、的平均数比标准差大，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由平均数、方差公式结合题意得出，其中，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】
由已知条件可得，，
则数据、、、的平均数为，
方差为
，
由已知可得，所以，，其中，
，
故选：D.
题型九 用样本平均数和样本标准差估计总体
例26．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表(单位：件)．
质量指标值







产品
60
100
160
300
200
100
80

(1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；
(2)设表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？
【答案】(1)61，241；
(2)可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功.
【解析】
【分析】
(1)利用表格中的数据，根据平均数和方差的计算公式计算即可；
(2)根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，与题中条件比较即可得出结论.
(1)
由题，可知
．
．
(2)
由知，，
则，，
该抽样数据落在内的频率约为；
又，，
该抽样数据落在内的频率约为，
∴可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
解题技巧 (用样本平均数和样本标准差估计总体注意事项)
（1）标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差.
（2）计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形和整体代换．

例27．（2022·广西玉林·高二期末（理））有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：
甲   6   9   7   8   8   5   6
乙   a   3   9   8   9   6   4
经计算可得甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的．
(1)求实数a的值；
(2)请通过计算，判断甲、乙两名射击运动员哪一位的成绩更稳定？
【答案】(1)10；
(2)甲的成绩比乙更稳定.
【解析】
【分析】
（1）根据甲乙成绩求他们的平均成绩，由平均成绩相等列方程求参数a的值.
（2）由已知数据及（1）的结果，求甲乙的方差并比较大小，即可知哪位运动员成绩更稳定.
(1)
由题意，甲的平均成绩为，
乙的平均成绩为，
又甲、乙两名射击运动员的平均成绩是一样的，有，解得，
故实数a为10；
(2)
甲的方差，
乙的方差，
由，知：甲的成绩比乙更稳定.
例28．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲
82
81
79
78
95
88
93
84
乙
92
95
80
75
83
80
90
85

(1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差；
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．
【答案】(1)，；，
(2)派甲参赛比较合适，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据表中数据按公式计算平均数和方差即可；
(2)甲和乙的平均数相等，方差越小，成绩越稳定﹒
(1)
，
，
，
，
(2)
，，结合(1)甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．

【同步练习】
一、单选题
1．（2022·河南·模拟预测（文））已知一个容量为的样本数据的平均值为90，方差为10，若去掉其中5个为90的样本数据，剩余样本数据的平均值为，方差为，则下列结论正确的是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，其平均值不变，，再根据方差公式即可得答案.
【详解】
由题意可知，个样本数据之和为，
去掉5个相同的样本数据90后，个样本数据之和为，
所以，排除选项C；
因为样本数据中有5个相同的数据90，且，
不妨设去掉的5个相同的样本数据90都排在最后，
则，
所以，即．
故选：A
2．（2022·云南·高三阶段练习（理））为比较甲、乙两名学生的数学素养，对课程标准中规定的六大数学核心素养进行指标测验，指标值满分为5分，分值高者为优，根据测验情况绘制了如图所示的六大数学素养指标雷达图，则下面叙述错误的是（       ）

A．甲的数据分析素养优于乙
B．乙的数学运算素养优于数学抽象素养
C．甲的六大数学素养指标值波动性比乙小
D．甲、乙在数学建模上的差距比在直观想象上的差距大
【答案】D
【解析】
【分析】
根据雷达图进行数据分析，对四个选项一一验证.
【详解】
根据雷达图进行数据分析：
对于A：甲的数据分析素养指标为5，乙的数据分析素养指标为4.故A正确；
对于B：乙的数学运算素养指标为5，数学抽象素养指标为3.故B正确；
对于C：甲的六大数学素养指标值均为4或5，波动较小. 乙的六大数学素养指标值有3，4，5，故甲波动较小.故C正确；
对于D：甲、乙在数学建模上的指标差距为1，甲、乙在直观想象上的指标差距为2.故D错误.
故选：D.
3．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知一组数据的平均数为，方差为，则另一组数据，，，，的平均数、方差分别为（       ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平均数和方差的线性运算性质直接求得.
【详解】
因为一组数据的平均数为，方差为，
所以另一组数据，，，，的平均数为，
方差为.
故选：D
4．（2022·天津·高三期末）某大品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如下的频率分布直方图，据此估计其全部销售员工中销售额在区间内的人数为（       ）

A．16 B．22 C．64 D．88
【答案】C
【解析】
【分析】
先由各组的频率和为1，求出，从而可求得区间的频率，进而可求出在区间内的人数
【详解】
由题意得，，解得，
所以销售额在区间内的频率为，
所以全部销售员工中销售额在区间内的人数为，
故选：C
5．（2022·上海交大附中高三开学考试）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”，根据过去天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（       ）
A．甲地：总体均值为，总体方差为
B．乙地：总体均值为，中位数为
C．丙地：总体均值为，总体方差大于
D．丁地：中位数为，总体方差为
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平均数、中位数、方差的计算公式以及含义，对四个选项逐一分析判断即可.
【详解】
对于A，假设至少有一天的疑似病例超过人，
此时方差，这与题设矛盾，所以假设不成立，故A正确；
对于B，平均数和中位数不能限制某一天的病例不超过人，故B不正确；
对于C，当总体方差大于，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故C错误；
对于D，中位数为，总体方差为，如，
平均数为，
方差，满足题意，但是存在大于的数，故D错误.
故选：A.
6．（2022·河南洛阳·二模（文））2021年秋季河南省在高一推行新教材，为此河南省某市教育部门组织高中教师在暑假期间进行培训，培训后统一举行测试．随机抽取100名教师的测试成绩（满分100分）进行统计，得到如图所示的频率分布折线图，则下列说法正确（       ）

A．这100名教师的测试成绩的极差是20分
B．这100名教师的测试成绩的众数是90分
C．这100名教师的测试成绩的中位数是87.5分
D．这100名教师中测试成绩不低于90分的人数占比超过50%
【答案】C
【解析】
【分析】
根据频率分布折线图及其样本的数字特征即可解决.
【详解】
这100名教师的测试成绩的最高分和最低分都无法确定，则极差也不确定，选项不正确；
由图可知，这100名教师的测试成绩的众数为分，选项不正确；
设这100名教师测试成绩的中位数为，则，
解得，选项正确；
这100名教师中测试分数不低于90分的人数占100％=30％，选项不正确.
故选：.
7．（2022·北京丰台·高三期末）为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛． 根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图． 若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为（       ）

A．
B．
C．
D．95
【答案】C
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图分别求出成绩在，的频率，进而得解.
【详解】
根据频率分布直方图可知，成绩在的频率为
成绩在的频率为，
又，所以40%成绩较高的学生的分数在之间，且最低分数为
故选：C
8．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：
①平均数；
②平均数且极差小于或等于3；
③平均数且标准差；
④众数等于5且极差小于或等于4．
则4组样本中一定符合入冬指标的共有（       ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】B
【解析】
【分析】
举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求.
【详解】
①举反例：，，，，，其平均数．但不符合入冬指标；
②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，
则此组数据中的最小值为，此时数据的平均数必然大于7，
与矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10. 符合入冬指标；
③举反例：1，1，1，1，11，平均数，且标准差.但不符合入冬指标；
④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标.
故选：B．
二、多选题
9．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的学生有60人，则下列说法正确的是（       ）

A．样本中支出在[50，60)元的频率为0.03
B．n的值为200
C．样本中支出不少于40元的人数为132
D．若该校有2 000名学生，则一定有800人支出在[50，60)元
【答案】BC
【解析】
【分析】
由小矩形的面积和为计算样本中支出在[50，60)元的频率判断A，进而根据比例关系计算n的值和样本中支出不少于40元的人数判断BC，并估计有2 000名学生时，支出在[50，60)元的人数判断D.
【详解】
解：样本中支出在[50，60)元的频率为，故A错误；
样本中支出不少于40元的人数为，故C正确；
，故n的值为200，故B正确；
若该校有2 000名学生，则可能有0.3×2 000＝600人支出在[50，60)元，故D错误.
故选：BC
10．（2022·福建泉州·高三期末）某校高三1班48名物理方向的学生在一次质量检测中，语文成绩、数学成绩与六科总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，“”表示的是该班甲、乙、丙三位同学对应的点.从这次考试的成绩看，下列结论正确的是（       ）

A．该班六科总成绩排名前6的同学语文成绩比数学成绩排名更好
B．在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是语文
C．数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强
D．在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前的学生是甲
【答案】BCD
【解析】
【分析】
结合图形可分析出答案.
【详解】
由图可得，该班六科总成绩排名前6的同学数学成绩比语文成绩排名更好，故A错误；
由右图可得丙同学的总成绩排在班上倒数第三名，其语文成绩排在250到300名之间，
从左图可得其数学成绩排在400名左右，故B正确；
数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强，因为右图的点的分布较左图更分散，故C正确；
由左图可得甲的总成绩排在班上第7名，年级名次100多一点，
对应到右图可得，其语文成绩排在年级近100名，故甲的语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前，
由左图可得甲的总成绩排在班上第27名，年级名次接近250名，
对应到右图可得，其语文成绩排在年级250名之后，故乙的语文成绩名次比其六科总成绩名次靠后，故D正确；
故选：BCD
11．（2022·湖南常德·高三期末）甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现6点的描述是（       ）
A．中位数为3，众数为5 B．中位数为3，极差为3
C．中位数为1，平均数为2 D．平均数为3，方差为2
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据数字特征的定义，依次对选项分析判断即可
【详解】
对于A，由于中位数为3，众数为5，所以这5个数从小到大排列后，第3个数是3，则第4和5个为5，所以这5个数中一定没有出现6，所以A正确，
对于B，由于中位数为3，极差为3，所以这5个数可以是3，3，3，4，6，所以B错误，
对于C，由于中位数为1，平均数为2，所以这5个数可以是1，1，1，1，6，所以C错误，
对于D，由平均数为3，方差为2，可得，，若有一个数为6，取，则，，所以，所以这4个数可以是4，3，3，3或2，3，3，3，与 矛盾，所以，所以这5个数一定没有出现6点，所以D正确，
故选：AD
12．（2022·浙江嘉兴·高二期末）为唤起学生爱护地球､保护家园的意识，加强对节能减排的宣传，进一步营造绿色和谐的校园环境，树人中学决定举办环保知识竞赛.现有甲､乙､丙､丁四个班级参加，每个班级各派10位同学参赛，每位同学需要回答10道题，每题回答正确得1分，回答错误得0分.若规定总得分达到70分且没有同学得分低于5分的班级为“优胜班级”，则根据以下甲､乙､丙､丁各班参赛同学的得分数据信息，能判断该班一定为“优胜班级”的是（       ）
A．甲班同学平均数为8，众数为8 B．乙班同学平均数为8，方差为4
C．丙班同学平均数为7，极差为3 D．丁班同学平均数为7，标准差为0
【答案】CD
【解析】
【分析】
对于A，可举例有得分低于5分的情况，判断其是否能判断该班一定为“优胜班级”，同理可判断B,对于C项，用反证法的思想来说明其可能，对于D，直接判断得分情况，可以说明其可能性.
【详解】
对于A，比如有一位同学得2分，三位同学得10分，其余六位同学都得8分，满足平均数为8，众数为8，但不满足总得分达到70分且没有同学得分低于5分，故A不能保证该班一定为“优胜班级”；
对于B，10位同学的得分可能是：4,6,6,8,8,8,10,10,10,10，此时满足平均数为8，方差为4
但不满足总得分达到70分且没有同学得分低于5分，故B不能保证该班一定为“优胜班级”；
对于C，如果有同学得分低于5分，根据极差为3，那么就,会出现其他同学的得分不大于7，这样平均分就低于7分，不符合丙班同学平均数为7，极差为3的条件，故这种情况下不会有得分低于5分的同学，满足总得分达到70分且没有同学得分低于5分，故C能保证该班一定为“优胜班级”；
对于D, 丁班同学平均数为7，标准差为0,可知每位同学得分均为7分，故D能保证该班一定为“优胜班级”，
故选：CD.
三、填空题
13．（2021·河北·石家庄市第十七中学高三期中）已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了进一步跟踪调查对户型结构满意的户主的满意程度，用分层抽样的方法抽取位户主，则在对三居室满意的户主中抽取的人数为__________．

【答案】15
【解析】
【分析】
计算出对户型结构满意的户主人数，再利用分层抽样可求得结果.
【详解】
因为对户型结构满意的户主人数为，
所以抽取的对三居室满意的人数为．
故答案为：.
14．（2022·上海市控江中学高三开学考试）已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一的众数是3，则这6个数的方差的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
设这6个数为，根据题意，分析可得，代入方差公式，计算即可得答案.
【详解】
因为6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一的众数是3，
要使这个6个数方差最大，则数据波动强，即极差最大，
所以最小值，
若6个数中有3个3，则设数据为，不满足中位数是4，
则数据中只有2个3，所以设这6个数为，且，
又仅有一个众数3，所以，且，
所以时，c最大，方差最大，此时，
所以方差为.
故答案为：
15．（2021·全国·高一课时练习）海水养殖场对某水产品的网箱养殖方法的产量进行调查，收获时随机抽取了100个网箱，测量各网箱水产品的产量（单位：kg）后制成频率分布直方图如图所示．估计网箱养殖方法的箱产量数据的第61百分位数为______．

【答案】49.75##
【解析】
【分析】
由频率分布直方图算出前几组数据对应频率，当频率累计值到时，求出对应横坐标值即可.
【详解】
由题可知，组距在的概率为，在的概率为，在的概率为，在的概率为，在的概率为，
因为，，故当频率值累计为0.61时，对应横坐标值为，
所以故计网箱养殖方法的箱产量数据的第61百分位数为49.75
故答案为：49.75
16．（2022·江苏·高三专题练习）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标.常用区间，内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.甲､乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感指数，甲得到十位市民的幸福感指数为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8.方差为2.2，则这20位市民幸福感指数的方差为___________
【答案】1.95
【解析】
【分析】
设乙得到的十位市民的幸福感指数分别为，，，，根据这10个数据的平均数为8，方差为2.2，可得，再根据方差的公式可求20个数据的方差.
【详解】
设乙得到的十位市民的幸福感指数分别为，，，，
甲得到的十位市民的幸福感指数分别为，，，，
由平均数为8，知，
所以这20位市民的幸福感指数之和为，平均数为.
由方差定义，乙所得数据的方差，
由于，解得，
因为甲得到十位市民的幸福感指数为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，
所以，
所以这20位市民的幸福感指数的方差为
.
故答案为：1.95
四、解答题
17．（2021·全国·高一课时练习）从某校500名12岁男孩中用简单随机抽样的方法抽取一个容量为120的身高(单位：cm)样本，具体数据如下表所示：
分组
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
分组
[142,146)
[146,150)
[150,154)


人数
20
11
6
5


(1)列出频率分布表；
(2)画出频率直方图；
(3)画出频率折线图；
(4)估计身高小于134cm的人数占总人数的百分比.
【答案】(1)频率分布表见解析
(2)频率直方图见解析
(3)频率折线图见解析
(4)19%
【解析】
【分析】
(1)根据所给数据列出频率分布表；
(2)由频率分布表画出频率分布直方图；
(3)由频率分布直方图画出频率分布折线图
(4)由频率分布表可得身高小于134 cm的学生的频率；
(1)
频率分布表如下表所示：
分组
频数
频率

[122,126)
5
0.04
0.01
[126,130)
8
0.07
0.0175
[130,134)
10
0.08
0.02
[134,138)
22
0.18
0.045
[138,142)
33
0.28
0.07
[142,146)
20
0.17
0.0425
[146,150)
11
0.09
0.0225
[150,154)
6
0.05
0.0125
[154,158)
5
0.04
0.01
合计
120
1
0.25

(2)

(3)

(4)
由频率分布表可知身高小于134cm的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以身高小于134cm的人数约占总人数的19%.
18．（2022·四川·泸县五中高二开学考试（理））某高校调查了本校n名大学生每周的自习时间（单位：小时），由调查结果得到如下频数分布表和频率分布直方图，其中自习时间的是，样本数据分组为：
自习时间（小时





学生人数
10
50
80
a
20


(1)分别求出的值；
(2)根据频率分布直方图，估计该校大学生自习时间的平均数与中位数.
【答案】(1)，，
(2)平均数估计值为，中位数估计值为
【解析】
【分析】
（1）利用的频率求得，从而求得，进而求得.
（2）根据频率分布直方图求平均数和中位数的方法，求得平均数和中位数.
(1)
由，解得，；
于是由，解得.
(2)
设该校大学生上自习的时间中位数估计值为x，则有：
，解得：.
∴ 该校大学生上自习时间的平均数估计值为：
.
19．（2021·广东·湛江市第四中学高二期中）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数；
(2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差.
【答案】(1)32.25，第80百分位数为37.5
(2)10
【解析】
【分析】
（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；
（2）利用分层抽样得第四组和第五组分别抽取人和人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，进而根据方差公式，代入计算即可得答案.
(1)
设这20人的平均年龄为，则
.
设第80百分位数为，由，解得.
(2)
由频率分布直方图得各组人数之比为，
故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取人和人，
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
则，，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.
20．（2021·广东中山·高三期末）随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，年月日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局在、两个小区分别随机抽取户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：
住户编号






小区（分钟）






小区（分钟）







（1）分别计算、小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；
（2）如果两个小区住户均按照户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：
①小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照元（按照天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
②小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作小时）月工资按照元（按照天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
③市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？
【答案】（1）210分钟，215分钟；，；（2）①15元；②64元；③选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升.
【解析】
（1）利用表格中数值，代入平均值和方差计算即可；（2）①计算小区一月至少需要名工作人员的费用和每位住户每月需要承担的费用即可；②由一位专职工人一天的工作时间按照小时作为计算标准，每月按照天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于名普通居民对生活垃圾分类的效果，计算出小区一月需要专职工作人员数量即可；③根据以上的运算，分析可以得出结论.
【详解】
（1）（分钟），
（分钟），
，
；
（2）①按照方案，小区一月至少需要名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是元，
每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），
②由（1）知，小区平均每位住户每周需要分钟进行垃圾分类，一月需要（分钟），
小区一月平均需要分钟的时间用于生活垃圾分类，
∵一位专职工人一天的工作时间按照小时作为计算标准，每月按照天作为计算标准，
一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于名普通居民对生活垃圾分类的效果，
∴小区一月需要专职工作人员至少（名），
则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），
③根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说，
选择方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；
如果对于高档小区的居民来说，可以选择方案，这只是方便个别高收入住户，
综上，选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升.
【点评】
本题文字较多，能够正确分析题意、理解题意是解决问题的关键，所以提醒同学们在备考过程中可以适当的做一些辅助阅读帮助提升此能力.
21．（2021·广东佛山·高一期末）在一个文艺比赛中，10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组．给参赛选手甲，乙打分如下：（用小组，小组代表两个打分组）
小组：
甲：7.5       7.5       7.8       7.8       8.0       8.0       8.2       8.3       8.4       9.5
乙：7.0       7.8       7.8       7.8       8.0       8.0       8.3       8.3       8.5       8.5
小组：
甲：7.4       7.5       7.5       7.6       8.0       8.0       8.2       8.9       9.0       9.0
乙：6.9       7.5       7.6       7.8       7.8       8.0       8.0       8.5       9.0       9.9
（1）选择一个可以度量打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值，根据这个值判断小组与小组那个更专业？
（2）根据（1）的判断结果，计算专业评委打分的参赛选手甲、乙的平均分；
（3）若用专业评委打分的数据．选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后．剩下8个评委评分的平均分．那么，这两位选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？（只判断不说明）．（以上计算结果保留两位小数）
【答案】（1）小组A更专业；（2）甲均分8.1，乙均分8；（3）甲均分8，乙均分8.06，两位选手排名有变化，我认为去掉一个最高分，一个最低分后更合理
【解析】
【分析】
（1）通过方差来判断打分的专业性比较合理
（2）在（1）中计算方差时，需要先计算平均值，所以可以直接用（1）中的数据
（3）去掉最高分和最低分之后，重新计算均值即可
【详解】
（1）小组A的打分中，
甲的均值

甲的方差

乙的均值

乙的方差

小组B的打分中，
甲的均值

甲的方差

乙的均值

乙的方差

由以上数据可得，在均值均差0.01的情况下，小组B的打分方差较大，所以，小组A的打分更专业
（2）由（1）可得：小组A为专业评委，所以：
选手甲的平均分
选手乙的平均分
（3）由专业评委的数据，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，甲乙的均值分别为：


去掉一个最低分，一个最高分之后，乙的均值高于甲，按照10个数据计算时，甲的均值高于乙的均值，排名不同。
我认为去掉一个最低分，一个最高分的评分方法更好
22．（2021·安徽省舒城中学高二阶段练习）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；
（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
①；
②．
【答案】（1）0.06   60人；（2）；（3）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，易求出，进而利用频率分布直方图可求身高在及以上的学生人数；
（2）可设该校100名生学身高的75％分位数，再利用频率分布直方图计算即得；
（3）利用样本平均数，方差公式化简即证.
【详解】
（1）由频率分布直方图可知，解得，
身高在及以上的学生人数（人）．
（2）的人数占比为％，
的人数占比为％，
所以该校100名生学身高的75％分位数落在，
设该校100名生学身高的75％分位数为，
则％，解得，
故该校100名生学身高的75％分位数为．
（3）由题得①；②

又
同理，
∴

.