2021-2022学年江西省上饶市余干县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年江西省上饶市余干县八年级（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

2. 在垃圾分类打卡活动中，小丽统计了本班月份打卡情况：次的有人，次的有人，次的有人，次的有人，则这个班同学垃圾分类打卡次数的中位数是(    )

A. 次 B. 次 C. 次 D. 次

3. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列函数的图象不经过第一象限，且随的增大而减小的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，▱中，，，于，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下图中表示一次函数与正比例函数是常数，且图象的是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7. 计算：______．
8. 在▱中，，，则▱的周长等于______．
9. 已知一个菱形的两条对角线的长分别为和，则这个菱形的周长为______．
10. 在矩形中，对角线、相交于点，若，，则______．
11. 已知直线：，则直线关于轴对称的直线的函数解析式是______．
12. 在中，，有一个锐角为，若点在直线上不与点，重合，且，则的长为______．

三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13. 本小题分
    计算：．
    如图所示，在▱中，点，分别在，上，且求证：四边形是平行四边形．

14. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
15. 本小题分
    已知，，，，，求四边形的面积．

16. 本小题分
    如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，此人以米每秒的速度收绳，秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？假设绳子是直的，结果保留根号

17. 本小题分
    四边形为矩形，中，，请用无刻度的直尺作出的高；
    四边形为矩形，，为上的两点，且，请用无刻度的直尺找到的中点．
     

18. 本小题分
    如图，已知点在的边上，交于，交于．
    求证：；
    若平分，试判断四边形的形状，并说明理由．

19. 本小题分
    已知直线经过点，．
    求直线的解析式；
    若直线与直线相交于点，求点的坐标；
    根据图象，写出关于的不等式的解集．

20. 本小题分
    某校对八班学生所穿校服型号情况进行了调查，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图校服型号以身高作为标准，共分为个型号．
    
    根据以上信息，解答下列问题：
    八班学生共______人，这组数据中的众数是______，中位数是______；
    在条形统计图中，请把空缺部分补充完整；
    在扇形统计图中，请计算型校服所对应的扇形圆心角的大小，
21. 本小题分
    如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线、交于点．
    求直线的解析表达式；
    求的面积；
    在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请求出点的坐标．

22. 本小题分

某商店分两次购进、两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：

求、两种商品每件的进价分别是多少元？
商场决定种商品以每件元出售，种商品以每件元出售．为满足市场需求，需购进、两种商品共件，且种商品的数量不少于种商品数量的倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．

23. 本小题分
    如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
    求证：矩形是正方形；
    探究：与有怎样的位置关系？请说明理由．
    的值为______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：若代数式在实数范围内有意义，则
，，
实数的取值范围是且，
故选：．
如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：这个班同学垃圾分类打卡次数的中位数是次，
故选：．
根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．
本题为统计题，考查中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、原式，所以选项错误；
C、原式，所以选项准确；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

4.【答案】 

【解析】解：当，正比例函数的图象经过第二、四象限；
当，时，一次函数的图象经过第二、三、四象限．
故选：．
由正比例函数的性质可得出：当，正比例函数的图象经过第二、四象限；由一次函数的图象与系数的关系可得出：当，时，一次函数的图象经过第二、三、四象限．再对照四个选项即可得出结论．
本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，找出图象不经过第一象限的两种情况是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查平行四边形的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和定理，等边对等角等知识得到和所求角有关的角的度数．
要求，就要先求出，要求出，就要先求出利用，即可求出．
【解答】
解：，
，
又，

，

故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
根据正比例函数的图象确定的符号，然后由“两数相乘，同号得正，异号得负”判断出的符号，再根据一次函数的性质进行判断．
本题综合考查了正比例函数、一次函数图象与系数的关系．一次函数的图象有四种情况：
当，，函数的图象经过第一、二、三象限；
当，，函数的图象经过第一、三、四象限；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
【解答】
解：、根据图中正比例函数的图象知，；，是常数，且，，一次函数的图象经过第一、三、四象限；故本选项错误；
B、根据图中正比例函数的图象知，；，是常数，且，，一次函数的图象经过第一、二、四象限；故本选项正确；
C、根据图中正比例函数的图象知，；，是常数，且，，一次函数的图象经过第一、三、四象限；故本选项错误；
D、根据图中正比例函数的图象知，；，是常数，且，，一次函数的图象经过第一、二、四象限；故本选项错误；
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
原式合并同类二次根式即可得到结果．
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
▱的周长为．
故答案为．
根据平行四边形的对边相等，可得，，所以可求得▱的周长为．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．此题比较简单，注意解题时要细心．
 

9.【答案】 

【解析】解：已知，，菱形对角线互相垂直平分，
，，
，
，
菱形的周长为．
故答案是：．
根据菱形的对角线互相垂直平分，可知和的长，再根据勾股定理即可求得的值，由菱形的四个边相等，进而求出菱形的周长．
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，根据勾股定理求的值是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，

又
是等边三角形．
，
故答案是：．
根据矩形的性质，可以得到是等边三角形，则可以求得的长，进而求得的长．
本题考查了矩形的性质，正确理解是等边三角形是关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：关于轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数，
直线：与直线关于轴对称，则直线的解析式为，即．
故答案为：．
直接根据关于轴对称的点横坐标不变纵坐标互为相反数进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：如图：

当时，，不与重合，与矛盾；
如图：

当时，，
，
，
是等边三角形，
；
如图：

当时，，
，
，
，
，
，
；
如图：

当时，，
，
，
．
故答案为：或或．
根据题意画出图形，分种情况进行讨论，利用直角三角形的性质解答．
本题考查了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

13.【答案】解：


；
证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
，
即，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】由二次根式的混合运算以及零指数幂和负整数指数幂的定义化简计算即可；
由平行四边形的性质证明且，再由平行四边形的判定即可得出结论．
此题考查了平行四边形的判定与性质、二次根式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和二次根式的混合运算是解题的关键．
 

14.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确合并同类项是解题关键．直接利用乘法公式以及单项式乘以多项式运算法则计算，然后把的值代入化简后的代数式计算得出答案．
 

15.【答案】解：连接，过作于，


，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，，
，，
由勾股定理得：，
四边形的面积


． 

【解析】连接，过作于，根据勾股定理求出，求出，根据等腰三角形的性质求出长，根据勾股定理求出，再求出和的面积即可．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的面积等知识点，能求出高的长是解此题的关键．
 

16.【答案】解：在中：
，米，米，
米，
此人以米每秒的速度收绳，秒后船移动到点的位置，
米，
米，
米，
答：船向岸边移动了米． 

【解析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

17.【答案】解：如图，为所作；
如图，点为所作．
 

【解析】本题考查了作图法则作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
作矩形的对角线，它们相交于点，连接并延长交于，则；
分别延长和，它们相交于点，再作矩形的对角线，它们相交于点，连接并延长交于，则．
 

18.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
；
若平分，四边形是菱形，
理由：平分，
，
，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
平行四边形为菱形． 

【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，及菱形的判定的掌握情况．
利用平行四边形的判定和性质得出；
利用是角平分线，结合，易证，利用等角对等边，可得，再根据已知中的两组平行线，可证四边形是平行四边形，从而可证平行四边形为菱形．
 

19.【答案】解：直线经过点，，
，
解得，
直线的解析式为：；

若直线与直线相交于点，
．
解得，
点；

根据图象可得． 

【解析】利用待定系数法把点，代入可得关于、得方程组，再解方程组即可；
联立两个函数解析式，再解方程组即可；
根据点坐标可直接得到答案．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息．
 

20.【答案】  和   

【解析】解：该班共有的学生数为人，
该班学生所穿校服型号的众数为和，中位数为；
故答案为：，和，；
型的人数为人，则型的人数为人，

．
答：型校服所对应的扇形圆心角的大小为．
根据穿型的人数与所占的百分比列式进行计算即可求出学生总人数，再求总数和中位数；
求出、型的人数，然后补全统计图即可；
乘以样本中穿型校服的学生所占比例可得．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．除此之外，本题也考查了平均数、中位数、众数的认识．
 

21.【答案】解：设直线的解析表达式为，
把、代入表达式，
，解得：，
直线的解析表达式为．

当时，，
．
联立和，
解得：，，
，
．

与底边都是，与的面积相等，
两三角形高相等．
，
点的纵坐标为．
当时，，
点的坐标为． 

【解析】由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析表达式；
根据一次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标，联立直线、的表达式求出交点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出的面积；
由同底等高的三角形面积相等即可找出点的纵坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出点的坐标．
本题考查了两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：根据点、的坐标利用待定系数法求出直线的解析表达式；联立两直线表达式求出交点的坐标；根据同底等高的三角形面积相等找出点的纵坐标．
 

22.【答案】解：设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元；
设购进种商品件，获得的利润为元，则购进种商品件，
根据题意得：．
因为种商品的数量不少于种商品数量的倍，
所以，
解得：．
因为在中，的值随的增大而增大，
所以当时，取最大值，最大值为，
所以当购进种商品件、种商品件时，销售利润最大，最大利润为元． 

【解析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：找准等量关系，列出二元一次方程组；根据数量关系，找出与之间的函数关系式．
设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元，根据两次进货情况表，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进种商品件，获得的利润为元，则购进种商品件，根据总利润单件利润购进数量，即可得出与之间的函数关系式，由种商品的数量不少于种商品数量的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图，作于，于，
，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；

，理由如下：
正方形和正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
；
由知，≌，
，
，
故答案为：．
作于，于，得到，然后证得，得到≌，则有，根据正方形的判定即可证得矩形是正方形；
根据正方形的性质得到，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据垂直的定义即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，根据线段的和差即可得的结论．
此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，正方形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线，证得≌．