初中人教版12.3 角的平分线的性质课后练习题
展开12.3角的平分线的性质人教版初中数学八年级上册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 如图，在中，以为圆心以任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则是的角平分线，其依据是( )
A. B. C. D.
- 如图，在中，，，，平分，则点到的距离等于( )
A. B. C. D.
- 如图，，点、分别在、上，且，连接，，交于点，连接，过点分别作，，垂足分别为、，则下列结论错误的是( )
A. ≌
B. 若，则是的中点
C. 平分
D. 若是的中点，则
- 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是( )
A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
- 如图，中，，，是的角平分线，于点，于点，若，则的长为( )
A. B. C. D.
- 如图，中，，，是的角平分线，于点，于点，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，已知中，，，平分交于，是边上的点，且：：，：：，连结交于，连结，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
- 如图所示，，是的中点，平分，且，则( )
A.
B.
C.
D.
- 如图：，是的中点，平分，则下列说法正确的有几个( )
平分；
≌；
；
；
．
A. 个 B. 个 C. 个 D.
- 如图，，是的中点，平分，且，则( )
A.
B.
C.
D.
- 在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分若、分别是、上的动点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 如图，中，，，，，与的角平分线相交于点，过点作，垂足为点，则线段的长为______．
- 如图，，，，是的角平分线，于点，则的周长是______．
- 如图，已知的周长是，、分别平分和，于且，的面积是______．
- 如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
- 如图，已知中，．
请用基本尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接不写作法，不下结论，保留作图痕迹；
在所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程：
证明：平分，
______．
在与中
≌，
______，，，
______且，
，，
______．
，．
- 如图，在中，，．
在上求作点，使得点到，两边的距离相等；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，求证：．
- 如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．注：
如图，若直角三角板的一边放在射线上，则______；
如图，将直角三角板转到如图位置，当恰好平分时，求的度数；
如图，将直角三角板绕点转动，如果始终在的内部，直接写出和的数量关系______．
- 如图，的顶点均在边长为的正方形网格格点上．
只用不带刻度的直尺，在边上找一点，使得到、两边距离相等不写作法，保留作图痕迹；
到的距离是______．
- 如图，已知，点在的右侧，，的平分线相交于点探索与之间的等量关系，并证明你的结论．
- 如图，已知，在上，在上，在的左侧，在的右侧，平分，平分，直线，交于点，．
若，求的度数；
在图中过点作的角平分线与直线相交于点，如图，试探究与的关系；
若改变线段的位置，使得点在点的左侧，其他条件不变，若，过点作的角平分线与直线相交于点，求的和是多少度？用含的代数式表示
- 如图，在钝角中，过钝角顶点作交于点请用尺规作图法在边上求作一点，使得点到的距离等于的长保留作图痕迹，不写作法
- 如图，高速公路和在我市交于点，在外部有两个城镇、，若要修一个大型农贸市场，使到、的距离相等，且使，请作出市场的位置．要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
- 如图，于点，于点，，．
求证：平分．
猜想与之间的数量关系，并给予证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，连接，．
由作图可知， ，
在和中，
，
≌．
故选：．
根据证明三角形全等即可．
本题考查尺规作图和全等三角形的判定的结合，掌握圆的半径不变是本题关键．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
过点作于，求出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
【解答】
解：如图，过点作于，
，，
，
，平分，
，
即点到的距离为．
故选C．
3.【答案】
【解析】解：，，，
≌，
，
，，
，
，
≌，
故A正确；
≌，
，
，，
≌，
，
，
，
点是的中点，
故B正确；
≌，
，
平分，
故C正确；
延长至点，使，连接，
是的中点，
，
，
≌，
，
在中，
，
，
，
故D错误；
故选：．
根据题目的已知条件，先证明≌，得出，再根据已知得到，从而证明≌，又得出对应角或对应边相等，再逐一判断即可．
本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，学生要从已知条件去分析得出的结论，注意图中隐含的公共角，公共边，以及对顶角．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．过两把直尺的交点作，，根据题意可得，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得平分．
【解答】
解：如图所示：过两把直尺的交点作，，
两把完全相同的长方形直尺，
，
平分角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，
故选A．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟练应用等积变换法是解题的关键首先过点作交于点，根据角平分线的性质可知，再根据列出等式，求出的长即可．
【解答】
解：如图，过点作交于点，
是的角平分线，，
，
又，，
，
即，
．
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟练应用等积变换法是解题的关键首先过点作交于点，根据角平分线的性质可知，再根据列出等式，求出的长即可．
【解答】
解：如图，过点作交于点，
是的角平分线，，
，
又，，
，
即，
．
故选B．
7.【答案】
【解析】解：过点作于点，过点作，交于点，
∽，∽，
：：，：：，
：：，，
：：，
，
：：，
：：，
，
，
即，
平分交于，
，，
，
，
，
当时，最大，即的面积最大，
的最大值为：，
故选：．
过点作于点，过点作，交于点，则∽，∽，列比例式，结合已知条件可求解，，再利用角平分线的定义可求解的长，根据当时，最大，即的面积最大，结合三角形的面积公式计算可求解．
本题主要考查角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，确定的位置是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，作于，
，
，
，
平分，，，
，
是的中点，
，
，
又，，
是的平分线，
，
故选B．
9.【答案】
【解析】解：过作于，
平分，，
，
为的中点，
，
，
，，
平分，故正确；
平分，
，
，，
，
同理，
，
，故正确；
，
，，
，
在和中，
，
≌，故正确；
在和中，
，
≌，
，
同理，
，
即，故正确；
根据已知条件不能推出，故错误；
即正确的个数是个，
故选：．
过作于，根据角平分线的性质得出，求出，求出，根据角平分线的性质的逆定理得出平分；根据角平分线的定义得出，求出，，求出；根据直角三角形的性质，根据全等三角形的判定得出≌，≌，根据全等三角形的性质得出，同理，再得出答案即可．
本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质等知识点，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
作于，根据平行线的性质求出，根据角平分线的判定定理得到，计算即可．
【解答】
解：作于，
，
，
，
平分，，，
，
是的中点，
，
，又，，
，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：，
，
又平分，，
由角平分线的性质得，
故选：．
根据角平分线的性质即可求得．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：过点作于点，交于点，过点作于，
平分，于点，于，
，
，
当点与重合，点与重合时，的最小值为．
三角形的面积为，，
，
．
即的最小值为．
故选：．
过点作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长即可．
本题考查的是轴对称最短路线问题，根据题意作出辅助线，利用三角形面积公式可求出最小值．
13.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，于，连接，
与的角平分线相交于点，过点作，
．
，
即．
则．
故答案是：．
过点作于，于，利用角平分线的性质推知；最后根据三角形的面积公式解答．
本题主要考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
14.【答案】
【解析】解：，，，
，．
是的角平分线，，，
．
，．
．
．
故答案为：．
利用等腰直角三角形的性质先求出的度数，得到与间关系，再利用角平分线的性质得到、、、间关系，最后利用线段的和差关系求出的周长．
本题考查了等腰三角形和角平分线，掌握“等腰三角形的两个底角相等”、“角平分线上的点到角两边的距离相等”及线段的和差关系是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：过作于，于，连接，
，分别平分和，，
，，
即，
的面积是：
，
故答案为：．
过作于，于，连接，根据角平分线性质求出，根据的面积等于的面积、的面积、的面积的和，即可求出答案．
本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
16.【答案】
【解析】解：
过作，交的延长线于，
平分，，，
，
，，
，
，
解得：，
故答案为：．
过作，交的延长线于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
17.【答案】
【解析】解：图形如图所示：
证明：平分，
，
在与中
，
≌，
，，，
且，
，
，
，
，
．
故答案为：，，，．
根据要求作出图形即可；
根据证明≌，推出，，再证明，可得结论．
本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】解：如图，点即为所求；
证明：由可知：平分，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，．
，
，
，
，
．
【解析】作平分即可解决问题；
由可得，然后证明≌，可得，根据，证明，进而可以解决问题．
本题考查作图复杂作图，角平分线性质，等腰直角三角形性质，熟练掌握基本作图方法是解题的关键．
19.【答案】，
【解析】解：如图，，
故答案为：；
如图，平分，，
，
，
；
，
理由是：如图，，，
，
即．
故答案为：，．
根据图形得出，代入求出即可；
根据角平分线定义求出，代入即可；
根据图形得出，，相减即可求出答案．
本题考查了角平分线的定义，角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键．
20.【答案】
【解析】解：如图，点即为所求．
设点到的距离为，则有，
，
．
故答案为：．
取一点，连接，取的中点，作射线交于点，点即为所求；
设点到的距离为，则有，由此可得结论．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：．
理由：如图，分别过，作，，
，
，，
，，
，
同理可得，
，的平分线相交于点，
，，
．
【解析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线定义，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等进行推导．
分别过，作，，则，，依据平行线的性质，即可得到，，再根据，的平分线相交于点，即可得到．
22.【答案】解：如图中，延长交于．
，平分，
，
，
，
，平分，
，
；
如图，
平分，平分，
，，
，
；
有种情形，如图，当点在直线与直线之间时．延长交于．
，
，
，
，平分，
，
，
，
，
；
当点在直线的下方时，如图，设交于．
，，
又，
，
，
，
；
当点在上方时，
，
，
综上所述，或．
【解析】如图中，延长交于利用，即可解决问题；
根据角平分线以及邻补角的定义得，根据直角三角形的两锐角互余即可得出结论；
分种情形讨论即可解决问题．
本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：
【解析】略
24.【答案】解：如图，点或点即为所求．
【解析】作线段的垂直平分线交的角平分线于或交的外角的角平分线于，点或点即为所求．
本题考查作图应用与设计，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25.【答案】证明：，，
．
在和中，
．
．
平分．
解：证明如下：
平分，
．
在和中，
．
．
．
【解析】见答案
初中人教版第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质课后练习题： 这是一份初中人教版第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质课后练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质练习： 这是一份人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质练习，共4页。
人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质综合训练题： 这是一份人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质综合训练题，共23页。
