14.2乘法公式 人教版初中数学八年级上册同步练习（含答案解析）

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14.2乘法公式人教版初中数学八年级上册同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为(    )A.  B.  C.  D. 已知  则的值为(    )A.  B.  C.  D. 如果多项式是完全平方式，则常数的值为(    )A.  B.  C.  D. 多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是(    )A.  B.  C.  D. 为了应用乘法公式计算，下列变形中正确的是(    )A.  B.
C.  D. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是A.  B.
C.  D. 如果多项式是一个完全平方式，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是(    )
A.  B.
C.  D. 若，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 如图，大正方形的边长为，小正方形边长为，若用、表示四个全等小长方形的两边长，观察图案，以下关系式正确的是(    )
；；；．
 A.  B.  C.  D. 下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 若，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为，小正方形的面积为，则矩形的宽为______．
 计算的结果是______．如图，边长分别为、的两个正方形并排放在一起，当，时，阴影部分的面积为______．
 有两个正方形，，现将放在的内部如图，将，并排放置后构造新的正方形如图，若图和图中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的面积之和为______．
  三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）美术课上，老师让同学们用彩色卡纸玩拼图的游戏，小芳同学拿着如图所示的红色长方形卡纸，卡纸长为，宽为，她沿图中虚线平均分成四个小长方形，然后按照图的方式拼成一个正方形，中间的空缺处阴影部分用黄色卡纸进行拼接．

需要黄色卡纸的边长为______；
请用两种不同的方法列代数式表示黄色卡纸的面积：
方法一______；
方法二______；
观察图直接写出，，这三个代数式之间的等量关系式______；
根据中的等量关系解决下列问题：若，，求的值．两个边长分别为和的正方形如图放置图，其未叠合部分阴影面积为；若在图中大正方形的右上角再摆放一个边长为的小正方形如图，两个小正方形叠合部分阴影面积为．
用含，的代数式分别表示，；
若，，求的值；
若，求图中阴影部分的面积．
 
如图所示，甲是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四个完全一样的小长方形，然后拼成如图乙的一个正方形．
用含有和的代数式表示出图甲的面积为______．
用含有和的代数式表示出图乙中阴影部分的面积为______．
观察图乙，写出、、三个代数式之间的等量关系为______．
根据题中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
两个边长分别为和的正方形如图放置，已知，．
求图中阴影部分的面积；
求图中阴影部分的面积．
如图，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形如图．
自主探究：如果用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是______；
知识运用：若，，则______；
知识迁移：设，，化简的结果；
知识延伸：若，求代数式的值．
数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”，请你使用数形结合这种思想解决下面问题：
图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完成相同的小长方形，然后按照图的形状拼成一个正方形
观察图，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式，，写出这个等式______．

运用你所得到的公式，计算：若、为实数，且，，试求的值．
如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．两个边长分别为和的正方形如图放置图，其未叠合部分阴影面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形如图，两个小正方形叠合部分阴影面积为．
用含、的代数式分别表示、；
若，，求的值；
当时，求出图中阴影部分的面积．
 
已知，，求的值：
已知，求的值．
如图，在矩形中，，，点、是、上的点，且分别以、为边在矩形外侧作正方形和，若矩形的面积为平方单位，求图中阴影部分的面积和．
如图，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形如图．
观察图，请你写出、、之间的等量关系；
根据中的结论，若，，求的值；
拓展应用：若，求的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
，
，
故选：．
由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据大正方形的面积等于个直角三角形的面积与中间小正方形面积的和列出等式，即可求出小正方形的边长．
本题考查完全平方公式的几何背景 ，解题的关键是完全平方公式变形，本题属于基础题型．
 2.【答案】 【解析】【分析】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．此题只需根据等式，先将等式右边写成完全平方式，再与等式左边比较求得值． 
【解答】解：由题意得：，
解得：．
故选C．  3.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了对完全平方公式的应用，由乘积二倍项确定做完全平方运算的两个数是解题的关键．
根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是，平方即可．
【解答】
解：，
，
故选A．  4.【答案】 【解析】解：设这个单项式为，
如果这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和积的倍，故；
如果这里首末两项是和，则乘积项是，所以；
如果该式只有项，它也是完全平方式，所以；
如果加上单项式，它不是完全平方式．
故选D．
此题主要考查了完全平方式，完全平方公式：，根据完全平方公式进行讨论即可．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生的理解能力．根据平方差公式的特点即可得出答案．
【解答】
解：
故选B．  6.【答案】 【解析】解：、含、的项都符号相反，不能用平方差公式计算；
B、含的项符号相同，含的项符号相反，能用平方差公式计算；
C、含的项符号相同，含的项符号相反，能用平方差公式计算；
D、含的项符号相同，含的项符号相反，能用平方差公式计算．
故选：．
根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了平方差公式，注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有，熟记公式结构是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：，
，
解得．
故选D．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
 8.【答案】 【解析】解：左边图形的面积可以表示为：，
右边图形的面积可以表示为：，
左边图形的面积右边图形的面积，
，
即：．
故答案为：．
分别表示两个图形的面积，然后根据两个图形的面积相等，即可得到答案．
此题考查了平方差公式的几何背景，根据两个图形的面积相等，列等式是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】，，，
，，
，
故选 C．
 10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查完全平方公式的几何背景．
根据拼图可得大正方形的边长为，即，小正方形的边长为，即，再根据大正方形、小正方形以及四个长为，宽为的长方形面积之间的关系得出结论，并逐个进行判断即可．
【解答】
解：由拼图可得，大正方形的边长为，即，
小正方形的边长为，即，
因此结论正确；
由于每个小长方形的面积，等于大正方形面积与小正方形面积差的四分之一，即，
因此结论正确；
由，
因此结论正确；



，
因此结论不正确；
综上所述，正确的结论有．  11.【答案】 【解析】解：，根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”知，符合题意；
，根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”知，不符合题意；
，根据“积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”知，不符合题意；
，根据完全平方公式知，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘除法，积的乘方，完全平方公式可进行判断．
本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，完全平方公式，关键是依据法则计算，注意符号．
 12.【答案】 【解析】解：根据题意得，，，
，，
，
．
故选：．
根据非负数的性质可得，，整理后再利用完全平方公式展开并整理即可得解．
本题考查了完全平方公式，非负数的性质，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．
 13.【答案】 【解析】解：设矩形的长为，宽为，则有，，
所以，，
所以，
即矩形的为，
故答案为：．
根据图形的面积，设矩形的长为，宽为，得出，，进而得到，，求出即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
 14.【答案】 【解析】解：



．
故答案为：．
运用平方差公式进行简便运算．
本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：根据题意得：


，
把，代入得：．
故图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
阴影部分面积两个正方形面积减去两个直角三角形面积，整理后将与的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：设的边长为，的边长为，
由甲、乙阴影面积分别是和，可列方程组：
，
将化简得，
由得，
将代入可知．
故答案为：．
设正方形、的边长分别为，，分别表示甲、乙图中的阴影面积，再变形可得答案；
本题主要考查完全平方公式，解答的关键是表达出阴影面积再变形．
 17.【答案】       【解析】解：根据图形可观察出：边长为；
故答案为：；
小正方的边长为，面积可表示为：，
大正方形的面积为：，
四个矩形的面积和为，
所以小正方形面积可表示为：；
故答案为：，；
由题意得：；
故答案为：；
由很快可求出．
观察图形很容易得出图中的阴影部分的正方形的边长等于；
求出小正方形的边长，运用大正方形的面积减去四个矩形的面积．
观察图形可知大正方形的面积，减去阴影部分的正方形的面积等于四块小长方形的面积，即；
由很快可求出．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景．解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用．
 18.【答案】解：可以看作两个正方形的面积差，即，
是长为，高为的长方形的面积，即；
，，




；
，




． 【解析】可以看作两个正方形的面积差，即，是长为，高为的长方形的面积，即；
将，变形为，再代入计算即可；
由，可得到，由图看得出，整体代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
 19.【答案】    ． 【解析】解：图甲中大长方形的长为，宽为，面积为：．
故答案为：．
图乙中阴影部分是边长为的正方形，其面积为：．
故答案为：．
图乙中阴影正方形的面积还可以表示为：．
．
故答案为：．
．
用长方形面积公式计算．
找到阴影正方形的边长即可．
用等面积法求解．
用中关系求解．
本题考查完全平方公式的几何背景，通过等面积法得到代数恒等式是求解本题的关键．
 20.【答案】解：图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积，
即，
，，



；
图中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即，
，，


，
或舍去，



． 【解析】图中阴影部分的面积看作两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积，再代入计算即可，
图中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，求出的值，再利用平方差公式进行计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示阴影部分的面积是解决问题的前提，理解图形中各个部分面积之间的关系是得出正确答案的关键．
 21.【答案】   【解析】解：图中的阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
图的阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去个长为，宽为的长方形的面积，即为，
所以有：，
故答案为：；
由得，
当，，
则，
故答案为：；
，，
原式





；
设，，
则，
，
，
，
，
即，
故答案为：．
阴影部分是边长为的正方形，根据正方形的面积公式可得面积为，阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去个长为，宽为的长方形的面积，即为，于是可得等式；
由得，代入计算即可；
化简结果为，再代入计算即可；
设，，则，，由可求出的值，即可得出答案．
本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及公式变形是解决问题的前提．
 22.【答案】 【解析】解：如图，大正方形的边长为，因此面积为，
小正方形的边长为，因此面积为，
每个长方形的长为，宽为，因此面积为，
由面积之间的关系可得：
，
故答案为：；
由得，
，，


；
即的值是；
设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，
，两正方形的面积和，
，，
，
，
，
阴影部分的面积为．
根据图中，各个部分面积与大正方形面积之间的关系可得答案；
由的结论，进行运用即可；
设两个正方形的边长为，，得出，，根据完全平方公式计算出的值即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积之间的关系是解决问题的前提．
 23.【答案】解：由图可得，，；

，
，，
；

由图可得，，
，
． 【解析】根据正方形的面积之间的关系，即可用含、的代数式分别表示、；
根据，将，代入进行计算即可；
根据，，即可得到阴影部分的面积．
本题主要考查了完全平方公式，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．
 24.【答案】解：，，，
，
；
设，，则，，
由得，
，
即
；
，，，
，，
设，，则，
由于矩形的面积为平方单位，即，
平方单位，
即阴影部分的面积和为平方单位． 【解析】根据完全平方公式，代入计算即可；
设，，则，，根据的结论进行计算即可；
用含有的代数式表示两个正方形的边长，由矩形的面积为平方单位，列方程求出，进而求出答案．
本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的前提，理解各个部分面积之间的关系是解决问题的关键．
 25.【答案】解：；

，，




；

，，
，
解得：，
． 【解析】根据图形得出答案即可；
根据得出，再代入求出答案即可；
根据完全平方公式得出，再代入求出的值，再求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键．