14.3因式分解 人教版初中数学八年级上册同步练习（含答案解析）

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14.3因式分解人教版初中数学八年级上册同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）将多项式分解因式的结果是(    )A.  B.
C.  D. 无论，为何值，代数式的值总是(    )A. 非负数 B.  C. 正数 D. 负数对于任何整数，多项式都能(    )A. 被整除 B. 被整除
C. 被整除 D. 被整除已知，，则(    )A.  B.  C.  D. 若为任意整数，的值总可以被整除，则等于(    )A.  B.  C. 或 D. 的倍数在中，若三边长，，满足，，的周长是(    )A.  B.  C.  D. 若能因式分解为，则的值是(    )A.  B.  C.  D. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是(    )A.  B.
C.  D. 已知三个实数，，满足，，，则下列结论不成立的是(    )A.  B.  C.  D. 分解因式：(    )A.  B.  C.  D. 若一个正整数能表示成另两个正整数的平方差，即其中、、为正整数，则称这个正整数为完美数．下列各数中不是完美数的是(    )A.  B.  C.  D. 若，，是三角形三边的长，则代数式的值(    )A.  B.  C. 或等于 D. 或等于第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）若，，则______．分解因式______．分解因式：________．已知实数，，满足，且，则的最大值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）已知，，求代数式的值．对于任意一个四位正整数，若的各位数字都不为且十位数字与个位数字不相等，千位数字与百位数字不相等，那么称这个数为“多彩数”将一个“多彩数”的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与的商记为，例如，“多彩数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：，，，，这四个三位数之和为，，所以．
计算和；
若“多彩数”、都是正整数，也是“多彩数”且能被整除，求的值．对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数，若的十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个自然数为“三峡数”当三位自然数为“三峡数”时，交换的百位数字和个位数字后会得到一个三位自然数，规定例如：当时，因为，所以是“三峡数”；此时，则
．
判断和是否是“三峡数”？并说明理由；
求的值；
若三位自然数即的百位数字是，十位数字是，个位数字是，，，，是整数，为“三峡数”，且时，求满足条件的所有三位自然数．第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．
八进制数换算成十进制数是______；
小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值．
因式分解：；
如图，在中，平分，交于点，过点作，交于点求证：．
因式分解：
；
．对于一个三位正整数，如果满足，那么称这个数为“合五数”．
例如：，，是“合五数”；
，，不是“合五数”；
判断，是否是“合五数”？并说明理由．
若，都是“合五数”，的百位数字是，的十位数字是，且的十位数字和的百位数字相同，、的各位数字都不为零，规定，若是去掉百位数字后得到的一个两位数，是去掉其百位数字后得到的两位数，若与的和能被整除，求的值．阅读材料：我们知道，利用完全平方公式可将二次三项式分解成，而对于这样的二次三项式，则不能直接利用完全平方公式进行分解，但可先用“配方法”将其配成一个完全平方式，再利用平方差公式，就可进行因式分解，过程如下：请用“配方法”解决下列问题：分解因式：．已知，，求的值．若将分解因式所得结果中有一个因式为，试求常数的值．若干块如图所示的长方形和正方形硬纸片，小明拼成的长方形如图，面积为；也可以表示为，于是可得；试借助拼图的方法，把二次三项式分解因式．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的是因式分解的知识，掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．
先提公因式，再运用完全平方公式进行分解即可得到答案．
【解答】
解：．
故选B．  2.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．也考查了非负数的性质．利用配方法得到原式，然后根据非负数的性质进行判断．
【解答】
解：

，，
．
故选C．  3.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了因式分解的应用．
将该多项式分解因式，其必能被它的因式整除，据此解答即可．
【解答】解：
，，，是整数，是的倍数，该多项式肯定能被整除．  4.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
故选：．
由已知得出，求出，即可得出所求的值．
此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要灵活应用完全平方公式．
 5.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．利用平方差公式进行因式分解，然后整理成含有常数因式的形式．
【解答】
解：，
，
，
的值总可以被整除，
故选A．  6.【答案】 【解析】解：，
．
．
．
．
故选：．
先因式分解已知等式，找到，，的关系，再求周长．
本题考查因式分解的应用，将已知等式移项后因式分解是求解本题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：，
，
，
故选：．
将展开，再根据恒等式的性质求出的值．
本题考查了因式分解，关键在于学生将展开，再对应求出的值．
 8.【答案】 【解析】解：、是多项式的乘法运算，不是因式分解，故选项错误；
B、右边不是积的形式，故选项错误；
C、还需对括号内的多项式继续分解因式，分解不彻底，故选项错误；
D、是因式分解，故选项正确．
故选：．
因式分解就是把多项式变形成几个整式积的形式，根据定义即可判断．
此题考查了因式分解的意义，解题的关键在于牢记因式分解的定义，注意因式分解与整式的乘法互为逆变形．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
故B选项不符合题意；
，
，
故C选项不符合题意；
，
，
，
故D选项不符合题意；
故选：．
先将，从而得到，将代入，即可得到；将代入，可得进而可进行判断．
本题考查整式的加减，解题关键是将与相加得出．
 10.【答案】 【解析】原式故选D．
 11.【答案】 【解析】解：设是正整数，
，
除以外，所有的奇数都是完美数，
，选项都是完美数，不符合题意；
，
除以外，所有能被整除的偶数都是完美数，
选项是完美数，不符合题意，
既不是奇数也不能被整除，
不是完美数，符合题意．
故选：．
设是正整数，证明除以外，所有的奇数都是完美数；除以外，所有能被整除的偶数都是完美数，即可得出答案．
本题考查了平方差公式因式分解的应用，牢记是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】【分析】
本题目考查了三角形的三边关系，运用公式法分解因式及因式分解的应用，解题关键是掌握公式法分解因式及三角形的三边关系首先把这个代数式进行因式分解，再根据三形的三边关系来判定即可．
【解答】
解：，
、、是三角形的三边，
，，
．
故选B．  13.【答案】 【解析】解：，
当，时，
原式．
故答案为：．
首先把进行因式分解，然后把，代入化简后的算式，即可求解．
此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
 14.【答案】 【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 15.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查因式分解直接用十字相乘法分解．【解答】解：原式．故答案为．  16.【答案】 【解析】解：，
，．
，
．
．
．
，
．
，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件中、、的关系式，用含、的代数式把含的式子表示出来，然后利用含、式子的特点得出关于的不等式，解不等式求出即可．
本题考查了因式分解的应用，用到的知识点为：逆用完全平方公式．
 17.【答案】解：




，，
原式；
代数式的值是． 【解析】因式分解后代入求值即可．
本题考查了代数式的因式分解和代入求值，解题的关键是对代数式进行合理的因式分解和代入数值求值．
 18.【答案】解：由题意可知：
，
；
“多彩数”去掉千位：，
去掉百位：，
去掉十位：，
去掉个位：，
，
能被整除，
能被整除，且，，，都是正整数，，
当，时，，不合题意，
当，时，，
． 【解析】本题根据多彩数的具体特征，逐个去掉相应位上的数求和再作商即可；
根据多彩数定义求得，再根据整除性质求得符合条件的、的值便可．
本题考查因式分解的应用，考查方式比较新颖，理解多彩数的具体特征是解决问题的关键．
 19.【答案】解：是“三峡数”，不是“三峡数”理由如下：
，，
是“三峡数”，不是“三峡数”；
；
，
，
，
，，，是整数，，
，或，，
或． 【解析】根据新定义进行解答便可；
根据公式计算便可；
根据列出、的方程，再根据题目字母的取值范围求得方程的整数解便可得答案．
本题主要考查了新定义，不定义方程的应用，关键是读懂新定义，正确求不定方程的解．
 20.【答案】 【解析】解：

．
故八进制数字换算成十进制是．
故答案为：；
依题意有：，
解得，舍去．
故的值是．
根据已知，从个位数字起，将二进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得结果相加即可得解；
根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可求解．
本题主要考查因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．
 21.【答案】解：；
证明：平分，
，
又，
，
，
． 【解析】先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可．
根据角平分线的性质和平行线的性质可以得出．，从而判定为等腰三角形，就可以知道．
本题考查了因式分解、角平分线的性质、等腰三角形的判定、以及等腰三角形的性质．解题关键要掌握因式分解、角平分线的性质、等腰三角形的判定、等腰三角形的性质．
 22.【答案】解：

．
 


． 【解析】先化简，再逆用完全平方公式进行因式分解．
先变形，再提公因式，最后逆用平方差公式进行因式分解．
本题主要提公因式法、公式法，熟练掌握提公因式法以及公式法是解决本题的关键．
 23.【答案】解：不是“合五数”，是“合五数”理由如下：
，，
不是“合五数”，是“合五数；
设，，且、、均为不为的整数，
，
是去掉百位数字后得到的一个两位数，是去掉其百位数字后得到的两位数，
，
与的和能被整除，
为整数，
为整数，
，都是“合五数”，
且，
，，
为整数，
为整数，
，，，
，
，
，
，
，，
，，
． 【解析】根据“合五数”的定义进行解答便可；
设，，且、、均为不为的整数，求得，根据是去掉百位数字后得到的一个两位数，是去掉其百位数字后得到的两位数，求得，根据与的和能被整除，得为整数，由，都是“合五数”，得，，进而得为整数，再根据，，，求得，进而得，求得、、的值，最后便可得结果．
本题主要考查了新定义，整除的性质，关键是理解新定义，应用新定义与整除的知识解题．
 24.【答案】解：原式


；
原式，
，，
原式；
原式，
有一个因式为，
，
，
． 【解析】此题考查了配方法的使用，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握运算法则，仿照阅读材料中的解法是解题的关键，
根据阅读材料中的解法的“配方法”即可解答；
利用“配方法”将写成的形式，再代入，，计算即可；
把利用“配方法”写成的形式，由题意分解因式所得结果中有一个因式为，可得，即可求出的值．
 25.【答案】解：如图：

图中大正方形的面积为：．
也可以表示为：．
． 【解析】利用图形面积关系进行分解．
本题考查因式分解，构造图形，利用面积关系分解是求解本题的关键．