2020-2021学年13.3.2 等边三角形导学案及答案

这是一份2020-2021学年13.3.2 等边三角形导学案及答案，共13页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，答案与解析，总结升华，思路点拨，巩固练习等内容，欢迎下载使用。
等边三角形（提高） 【学习目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】【高清课堂：389303 等边三角形，知识要点】要点一、等边三角形
等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.　　要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：
　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点四、含30°的直角三角形
含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　    要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形 1、（2015秋·黄冈期中）如图，已知点B、C、D在同一条直线上，和都是等边三角形，BE交AC于F，AD交CE于H.（1）求证：△BCE≌△ACD；（2）求证：FH∥BD.【答案与解析】（1）证明：和都是等边三角形　　　∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°　　　∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD在△BCE和△ACD中 ∴△BCE≌△ACD（SAS） （2）由（1）知△BCE≌△ACD则∠CBF=∠CAH，BC=AC又∵和都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，∴∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF，在△BCF和△ACH中 ∴△BCF≌△ACH（ASA）∴CF=CH，又∵∠FCH＝60°∴△CHF是等边三角形∴∠FHC＝∠HCD=60°，∴FH∥BD【总结升华】本题考查等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键。举一反三：【变式】（秋•利通区校级期末）如图，△ABD，△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=　     　度．【答案】120°．解：∵△ABD，△ACE都是正三角形∴AD=AB，∠DAB=∠EAC=60°，AC=AE，∴∠DAC=∠EAB∴△DAC≌△BAE（SAS）∴DC=BE，∠ADC=∠ABE，∠AEB=∠ACD，∴∠BOC=∠CDB+∠DBE=∠CDB+∠DBA+∠ABE=∠ADC+∠CDB+∠DBA=120°．【高清课堂：389303 等边三角形：例8】2、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE. 求证：CE＝DE.【思路点拨】此题如果直接找含有CE和DE的三角形找不到，也不方便证∠ECD＝∠EDC，联想的全等三角形的性质，把原等边△ABC扩展成大等边△BEF后，易证△EBC≌△EFD.【答案与解析】证明：延长BD至F，使DF＝AB，连接EF∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC, ∠B＝60º∵AE＝BD，DF＝AB∴AE＋AB＝BD＋DF即BE＝BF∴△BEF为等边三角形∴BE＝EF, ∠F＝60º在△EBC与△EFD中∴△EBC≌△EFD∴EC＝ED【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，关键是在现有图形不能解决问题时，将原图补全成为有对称美感的等边三角形，对学生综合运用知识解答问题的能力要求较高.举一反三：【变式】如图所示，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究线段CN、BM、MN之间的关系，并加以证明．【答案】对于此类题，三条线段之间的关系一般是它们的和差关系，证明方法通常采用截长补短法．   证明：如图所示，延长AC至M1，使CM1＝BM，连接DM1．    ∵  △ABC是正三角形，∴  ∠ABC＝∠ACB＝60°．    ∵  ∠BDC＝120°，且BD＝CD，    ∴  ∠DBC＝∠DCB＝30°．    ∴  ∠ABD＝∠ACD＝90°．    又∵  BD＝CD，BM＝CM1，    ∴  Rt△BDM≌Rt△CDM1(SAS)．    ∴  DM＝DM1，∠BDM＝∠CDM1，    ∴  ∠MDM1＝∠MDC＋∠CDM1＝∠MDC＋∠BDM＝∠BDC＝120°．    又∵  ∠MDN＝60°．∴  ∠M1DN＝∠MDN＝60°．    又∵  DM＝DM1，DN＝DN，∴  △MDN≌△M1DN(SAS)．    ∴  MN＝M1N＝NC＋M1C＝CN＋BM．3、（春•宜宾校级期末）如图所示，某船上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°方向，该船以每小时10海里的速度航行到C处，再观测海岛B在北偏东30°方向，又以同样的速度继续航行到D处，再观测海岛在北偏西30°方向，当轮船到达C处时恰好与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间． 【答案与解析】解：∵在A处观测海岛B在北偏东60°方向，∴∠BAC=30°，∵C点观测海岛B在北偏东30°方向，∴∠BCD=60°，∴∠BAC=∠CBA=30°，∴AC=BC∵D点观测海岛B在北偏西30°方向，∴∠BDC=60°，∴∠BCD=60°，∴∠CBD=60°，∴△BCD为等边三角形，∴BC=BD，∵BC=20，∴BC=AC=CD=20，∵船以每小时10海里的速度从A点航行到C处，又以同样的速度继续航行到D处，∴船从A点到达C点所用的时间为：20÷10=2（小时），船从C点到达D点所用的时间为：20÷10=2（小时），∵船上午11时30分在A处出发，∵D点观测海岛B在北偏西30°方向到达D点的时间为13时30分+2小时=15时30分，答：轮船到达C处的时间为13时30分，到达D处的时间15时30分．【总结升华】本题主要考查等边三角形的判定与性质、外角的性质、余角的性质等知识点，关键在于通过求相关角的度数，推出相关边的关系，熟练运用航程、时间、速度的关系式，认真地进行计算．类型二、含30°的直角三角形4、如图所示，∠A＝60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD＝1，HE＝2，试求BD和CE的长．【答案与解析】解：∵BD⊥AC于D，∠A＝60°，∴∠ABD＝90°－60°＝30°，在Rt△BEH中，∠HEB＝90°，∠EBH＝30°．∴BH＝2EH＝4．同理可得，CH＝2HD＝2，∴BD＝BH＋HD＝4＋1＝5．CE＝CH＋HE＝2＋2＝4．【总结升华】已知条件中出现60°角与直角三角形并存时，应考虑到“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，进而把三角形中角与角的关系转化为边与边之间的关系，充分应用转化思想来解决问题．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，∠BAC＝120°．    求证：．【答案】证明：∵  在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴  ∠B＝∠C＝．∵  DE⊥AB，DF⊥AC，∴  ，．∴  ．【高清课堂：389303 等边三角形：例2】5、如图所示，在等边△ABC中，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：BP＝2PQ．【思路点拨】(1)从结论入手，从要证BP＝2PQ联想到要求∠PBQ＝30°．(2)不能盲目地用截长补短法寻找要证的“倍半”关系．本题适合用“两头凑”的方法，从结论入手找已知条件，即BP＝2PQ∠PBQ＝30°，另一方面从已知条件找结论，即由条件△ACD≌△BAE∠BPQ＝60°∠PBQ＝30°，分析时要注意联想与题目有关的性质定理．【答案与解析】证明：∵  △ABC为等边三角形，     ∴  AC＝BC＝AB，∠C＝∠BAC＝60°．在△ACD和△BAE中，∴  △ACD≌△BAE(SAS)．∴  ∠CAD＝∠ABE．    ∵  ∠CAD＋∠BAP＝∠BAC＝60°，∴  ∠ABE＋∠BAP＝60°，∴  ∠BPQ＝60°．∵  BQ⊥AD，∴  ∠BQP＝90°，∴  ∠PBQ＝90°－60°＝30°，∴  BP＝2PQ． 【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含30°直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查了学生综合运用知识解答问题的能力. 【巩固练习】一.选择题1. （2016春•保定期末）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的长为（　　）　 A．2       B．3      C．4      D．52．如图，B、C、D在一直线上，△ABC、△ADE是等边三角形，若CE＝15，CD＝6，则 AC＝（      ） A.9         B.8         C.7         D.103. 已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，与P关于OB对称，与P关于OA对称，则，与O三点构成的三角形是（    ）   A.直角三角形    B.等腰三角形     C.等边三角形      D.视P点的位置而定4. 如图，木工师傅从边长为90的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（　　）A.34         B.32         C.30         D.285. 已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的任意一点，连接AD并作等边三角形ADE，若DE⊥AB，则的值是（　　）A.           B.           C.1            D.6. 如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN．其中，正确结论的个数是（　　）A.3个         B.2个        C.1个       D.0个二.填空题7. 如图，已知AB＝AC＝BC＝AD,則∠BDC＝_________.8．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，∠EDC＝∠BAC，AE＝AF，∠B＝60°，则图中的线段: AF、BF、AE、CE、AD、BD、DC、DF中与DE的长相等的线段有        条.9. 如图，已知ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2，则BC＝_____.10.（2015春•鄄城县期中）如图，AB=AC=AD=4cm，DB=DC，若∠ABC为60度，则BE为　   　，∠ABD=　    　°． 11．（2016•黄冈校级自主招生）在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，AD为△ABC的中线，则∠ADC=　    　．12．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则＝           ． 三.解答题13.已知△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM相交于点Q．下面给出了三种情况（如图①，②，③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM是否为定值并利用其中一图证明你的结论． 14.（秋•滨州期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程． 15. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目.           小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论    当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE______DB（填“＞”,“＜”或“＝”）.           （2）一般情况，证明结论     如图2，过点E作EFBC，交AC于点F.    （请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明）     证明：  【答案与解析】1. 【答案】C；    【解析】解：作PH⊥MN于H，如图，∵PM=PN，∴MH=NH=MN=1，在Rt△POH中，∵∠POH=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=OP=×10=5，∴OM=OH﹣MH=5﹣1=4．故选C．2. 【答案】A；   【解析】证△ABD≌△ACE，AC＝BC＝BD－CD＝CE－CD＝15－6＝9.3. 【答案】C；【解析】根据对称性，∠＝60°，且.4. 【答案】C ；【解析】图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，所以正六边形的周长是正三角形的周长的，正六边形的周长为90×3×＝180，所以正六边形的边长是180÷6＝30．5. 【答案】C；【解析】根据题意：若DE⊥AB，必有∠BDE＝30°，而∠EDA＝60°；故AD⊥BC；即BD＝DC；故的值是1．6. 【答案】B；【解析】①②正确. 证△ACE≌△DCB（SAS），△EMC≌△BNC（ASA）.二.填空题7. 【答案】150°；   【解析】设∠CBD＝，∠BCD＝，由题意∠ADB＝60°＋，∠ADC＝60°＋，△BCD中，＋＋60°＋＋60°＋＝180°,＋＝30°，所以∠BDC＝150°.8. 【答案】3；   【解析】由题意可得∠DEC＝60°，△AFD≌△AED，易证△BFD为正三角形，故BD＝BF＝FD＝DE.9. 【答案】12；   【解析】连接AD，反复利用30°所对直角边等于斜边的一半.10.【答案】2cm，75；   【解析】解：①∵AB=AC，∠ABC为60度，∴△ABC为等边三角形．在△ABD和△ACD中，∵，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∴AE是BC边的中垂线，∴BE=BC=2cm；②∵AB=AD（已知），∴∠ABD=∠ADB（等边对等角），∴∠ABD=（180°﹣∠BAD）=（180°﹣30°）=75°．11.【答案】45°；   【解析】过C作CE⊥AB于点E，则有∠AEC=∠BEC=90°，∵∠CAB=45°，∠B=30°，∴∠ACE=∠CAB=45°，∠BCE=60°，∴AE=CE，∵AD为三角形的中线，∴BD=CD=DE=BC，∴∠BED=30°，∴△CED是等边三角形，∴DE=CE=AE，∠CDE=60°，∴∠ADE=∠DAE=∠BED=15°，∴∠ADC=∠CDE﹣∠ADE=45°．故答案为：45°．12．【答案】；   【解析】证△CBD≌△ACE，∠BCD＝∠CAE，因为∠ACF＋∠BCD＝60°，∠CAE＋∠ACF＝∠AFG＝60°，所以∠FAG＝30°，所以＝.三.解答题13.【解析】解：∠BQM为定值．理由：如图①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC∵BM＝CN∴△ABM≌△BCN（SAS）∴∠BAM＝∠CBN（全等三角形的对应角相等），∴∠BQM＝∠BAQ＋∠ABQ＝∠CBQ＋∠ABQ＝∠ABC＝60°即∠BQM为定值．图②中：∠BQM＝∠ABN＋∠BAM∵△ABM≌△BCN∴∠BAM＝∠CBN∴∠BQM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°图③中：∠BQM＝∠N＋∠NAQ∵△ABM≌△BCN，∴∠N＝∠M，且∠NAQ＝∠CAM，又∵∠ACB＝∠M＋∠CAM＝∠N＋∠NAQ，且∠BQM＝∠N＋∠NAQ，∴∠BQM＝∠ACB＝60°．14.【解析】解：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°∴△ODE是等边三角形； （2）答：BD=DE=EC，其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°，∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO=30°，∴∠DBO=∠DOB，∴DB=DO，同理，EC=EO，∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC．15.【解析】解：（1）＝（2）证明：在等边△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC∵EF∥BC∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，且∠CEF＝∠ECD，∴AE＝AF＝EF，∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠CEF＝∠EDB∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，∴∠BED＝∠FCE，∴△DBE≌△EFC∴DB＝EF，∴AE＝BD.