初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法学案

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法学案，共9页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，答案与解析，总结升华，思路点拨，巩固练习等内容，欢迎下载使用。
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（基础） 【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式
　一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．
　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根；
　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根；
　　　 ③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　　　 ①把一元二次方程化为一般形式；
　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
　　　 ③求出的值；
　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解；
　　　 　若，则原方程无实根.
要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.    ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.
要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：
   （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次            因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1) x2+3x+1=0；        (2)；   (3) 2x2+3x-1=0．【答案与解析】 (1) a=1，b=3，c=1∴x==．∴x1=，x2=．(2)原方程化为一般形式，得．∵，，，∴．∴，即，．     (3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b2﹣4ac=17＞0∴x=∴x1=，x2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x2﹣3x﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==，∴x1=，x2=．2．用公式法解下列方程：(1) （2014•武汉模拟）2x2+x=2；       (2) （2014秋•开县期末）3x2﹣6x﹣2=0 ；   （3）（2015•黄陂区校级模拟）x2﹣3x﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c的值，代入求值即可.【答案与解析】 解：(1)∵2x2+x﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x===，∴x1=，x2=．(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=，∴x1=，x2=      （3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b2﹣4ac=9+28=37.x= = ，解得 x1=，x2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．举一反三：【变式】用公式法解下列方程： ；【答案】解：移项，得．∵ ，，，，∴ ，∴ ，．类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2016•沈阳）一元二次方程x2﹣4x=12的根是（　　）A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 D．x1=2，x2=6【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【答案】B【解析】 解：方程整理得：x2﹣4x﹣12=0，分解因式得：（x+2）（x﹣6）=0，解得：x1=﹣2，x2=6，故选B【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．解下列一元二次方程：        (1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；         (2)．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．           即，∴  ．(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以，．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x＝1这个根．举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0      （2）【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0            (x+6)(x+5)=0             X1=-6,x2=-5.         (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0            (2x+1)(3x-2)=0            .5．探究下表中的奥秘，并完成填空： 一元二次方程 两个根二次三项式因式分解  x2﹣2x+1=0 x1=1，x2=1 x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1） x2﹣3x+2=0 x1=1，x2=2  x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2） 3x2+x﹣2=0 x1=，x2=﹣13x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1） 2x2+5x+2=0  x1=﹣，x2=﹣2 2x2+5x+2=2（x+）（x+2） 4x2+13x+3=0 x1=　　，x2=　　  4x2+13x+3=4（x+　　）（x+　　）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法． 一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题
1．（2016•厦门）方程x2﹣2x=0的根是（　　）A．x1=x2=0   B．x1=x2=2   C．x1=0，x2=2   D．x1=0，x2=﹣22．方程的解是(    )    A．    B．     C．，    D．，3．一元二次方程的解是(    )    A．；    B．；    C．；    D．；4.方程x2-5x-6＝0的两根为(    )    A．6和1      B．6和-1     C．2和3    D．-2和35．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是  (    )    A．x＝5     B．x＝5或x＝6    C．x＝7    D．x＝5或x＝76．已知，则的值为 (    )    A． 2011     B．2012    C． 2013    D．2014二、填空题7．（2015•厦门）方程x2+x＝0的解是___  _____；8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____    ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___            _____．10．若方程x2-m＝0的根为整数，则m的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可)11．已知实数x、y满足，则________．12．（2016•随州）已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为　          　． 三、解答题13．（2014秋•宝坻区校级期末）解方程（1）2（x﹣3）2=8（直接开平方法）        （2）4x2﹣6x﹣3=0（运用公式法）（3）（2x﹣3）2=5（2x﹣3）（运用分解因式法）  （4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）    14. 用因式分解法解方程   （1）x2-6x-16＝0．               （2） (2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．    15．(1)利用求根公式完成下表：方程的值的符号（填＞0，=0，＜0），的关系（填“相等”“不等”或“不存在”）            (2)请观察上表，结合的符号，归纳出一元二次方程的根的情况．   (3)利用上面的结论解答下题．    当m取什么值时，关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2＝0，    ①有两个不相等的实数根；    ②有两个相等的实数根；    ③没有实数根．  【答案与解析】一、选择题
1.【答案】C【解析】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，解得：x1=0，x2=2．故选：C．2.【答案】C；【解析】整理得x2-x-2＝0，∴  (x-2)(x+1)＝0.3.【答案】A ； 【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝04.【答案】B；【解析】要设法找到两个数a，b，使它们的和a+b＝-5，积ab＝-6，        ∴  (x+1)(x-6)＝0，∴  x+1＝0或x-6＝0．        ∴  x1＝-1，x2＝6．5.【答案】D；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴  (x-5)(x-6-1)＝0，∴  ，6.【答案】C；【解析】由已知得x2-x＝1，∴  ．   二、填空题7．【答案】x1＝0，x2＝-1．【解析】可提公因式x，得x(x+1)＝0．          ∴  x＝0或x+1＝0，∴  x1＝0，x2＝-1．8．【答案】x1＝1，x2＝-2，x3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解．9．【答案】；     【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案．10．【答案】4；   【解析】 m应是一个整数的平方，此题可填的数字很多．11．【答案】2；   【解析】由(x2+y2)2-(x2+y2)-2＝0得(x2+y2+1)(x2+y2-2)＝0又由x，y为实数，∴  x2+y2＞0，∴  x2+y2＝2．12.【答案】19或21或23．【解析】由方程x2﹣8x+15=0得：（x﹣3）（x﹣5）=0，∴x﹣3=0或x﹣5=0，解得：x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23. 三、解答题13. 【解析】解：（1）（x﹣3）2=4x﹣3=2或x﹣3=﹣2，解得，x1=1或x2=5；（2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，x==，，；（3）移项得，（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）=0，因式分解得，（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）=0，，x2=4；（4）化简得，x2+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，解得，x1=﹣4，x2=﹣5．14. 【解析】    （1）(x-8)(x+2)＝0，         ∴  x-8＝0或x+2＝0，         ∴  ，．    （2）设y＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴  (y+1)(y+2)＝0，∴  y+1＝0或y+2＝0，∴  y＝-1或y＝-2．当时，，；当时，，．∴  原方程的解为，．15.【解析】 (1) 方程的值的符号（填＞0，=0，＜0），的关系（填“相等”“不等”或“不存在”）16＞0不等0=0相等-8＜0不存在 (2)①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根．(3)，①当原方程有两个不相等的实数根时，，即且m≠2；②当原方程有两个相等的实数根时，b2 -4ac=20m-15=0，即；③当原方程没有实数根时， ，即．