人教版九年级上册22.1.1 二次函数学案及答案

二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）

【学习目标】

1.会用描点法画出二次函数(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线与图象之间的关系；

2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题；

3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．

【要点梳理】

要点一、函数与函数的图象与性质

1.函数的图象与性质

2.函数的图象与性质

要点诠释：

二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．

要点二、二次函数的平移

1.平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2.平移规律：

    在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．

要点诠释：

⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成

（或）

⑵沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）

【典型例题】

类型一、二次函数图象及性质

1. 已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．

    (1)求出a、h、k的值；

    (2)在同一坐标系中，画出与的图象；

    (3)观察的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增大而减小，并求出函数的最值；

(4)观察的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗?

【答案与解析】

 (1)∵  抛物线向上平移2个单位长度，

再向右平移1个单位长度得到的抛物线是，

∴  ，，．

(2)函数与的图象如图所示．

(3)观察的图象知，当时，y随x的增大而增大；

当时，y随x增大而减小，当x＝1时，函数y有最大值是2．

    (4)由图象知，对于一切x的值，总有函数值y≤2．

【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题．

举一反三：

【高清课程名称：《二次函数》专题 第二讲：函数与函数的图象与性质

高清ID号：  391919   关联的位置名称（播放点名称）：练习3】

【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．

（1）试确定a、h、k的值；

（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．

【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5），

         当x≥1时，y随x的增大而减小；  当x＜1时，y随x的增大而增大.

2. 已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（    ）

A．0   B．1  C．2  D．3

【答案】D；

【解析】函数 的图象如图：

，

根据图象知道当y=3时，对应成立的x恰好有三个，

∴k=3．

故选D．

【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．

类型二、二次函数性质的综合应用

3.（2016•杭州校级二模）二次函数y=（x﹣1）2+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为　                　．

【思路点拨】把y=2和y=5分别代入二次函数解析式，求x的值，已知对称轴为x=1，根据对称性求x的取值范围．

【答案】﹣1＜x≤0或2≤x＜3．

【解析】解：当y=2时，（x﹣1）2+1=2，

解得x=0或x=2，

当y=5时，（x﹣1）2+1=5，解得x=3或x=﹣1，

又抛物线对称轴为x=1，

∴﹣1＜x≤0或2≤x＜3．

【总结升华】本题考查了二次函数的增减性，对称性．关键是求出函数值y=2或5时，对应的x的值，再结合图象确定x的取值范围．

举一反三：

【变式】（2014秋•岑溪市期末）已知抛物线y=2（x﹣1）2﹣8．

（1）直接写出它的顶点坐标：　　，对称轴：　　；

（2）x取何值时，y随x增大而增大？

【答案与解析】

解：（1）抛物线y=2（x﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；

故答案为（1，﹣8），直线x=1；

（2）当x＞1时，y随x增大而增大．

4.  如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．

    (1)求直线AC的解析式；

    (2)求△ABC的面积；

    (3)当自变量x满足什么条件时，有?

【答案与解析】

(1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x＝0，得，

∴  ．由待定系数法可求出，，

∴  ．

(2)∵  抛物线的对称轴为x＝-1，根据抛物线对称性知．

 ∴  ．

(3)根据图象知或时，有．

【总结升华】 图象都经过A点和C点，说明A点、C点同时出现在两个图象上，A、C两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．

二次函数y=a（x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题
1. 不论m取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都(    )

A.在y=x直线上    B.在直线y=－x上    C.在x轴上    D.在y轴上

2．二次函数的最小值是(    )．

    A．-2       B．2       C．-l       D．1

3．如图所示，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是(    )．

    A．    B．    C．    D．，

第3题                     第5题

4．（2014•牡丹江）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（　　）．

A．（0，2）    B．（0，3）   C．（0，4）    D．（0，7）

5．如图所示，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是(    )．

    A．    B．    C．    D．

6．若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） 

A．=l     B．>l    C．≥l    D．≤l

二、填空题

7．若抛物线y=a（x+m）2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x2的形状相同，开口方向相同，

则点（a，m）关于原点的对称点为________．

8．（2016•温州模拟）已知二次函数y=（x﹣1）2+4，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是　      　．

9．如果把抛物线向上平移－３个单位，再向右平移３个单位长度后得到抛物线，则求的值为         ；的值为        .

10．（2015•巴中模拟）抛物线y=x2+2x+7的开口向　 　，对称轴是　 　，顶点是　 　．

11．若二次函数中的x取值为2≤x≤5，则该函数的最大值为      ；最小值为       ．

12．已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_____.

三、解答题

13．（2016•东西湖区期中）请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．

14. 如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若点P（m，-m）（m≠0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q

的坐标．
（注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-）.

15．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合）．BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N．

（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；

（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？

【答案与解析】

一、选择题
1.【答案】B；

【解析】抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点为（-m,m）,所以顶点在直线y=－x上.   

2.【答案】B；

【解析】当时，二次函数有最小值为2．

3.【答案】B；

【解析】由两抛物线对称轴相同可知，且由图象知，，．   

4.【答案】B；

【解析】抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），

把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3），

所以平移后抛物线解析式为y=x2+3，

所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．

故选：B．

5.【答案】C；

【解析】由顶点坐标P(1，3)知抛物线的对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小．

6.【答案】C；

【解析】画出草图进行分析得出结论.  

二、填空题

7．【答案】（2，-3）；

【解析】因为抛物线y=a（x+m）2的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x2的形状相同，开口方向相同，

        所以a=-2,m=3, 故点（a，m）关于原点的对称点为(2,-3).

8.【答案】x≤1．

【解析】∵二次函数的解析式的二次项系数是，

∴该二次函数的开口方向是向上；

又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（1，4），

∴该二次函数图象在对称轴左侧上是减函数，即y随x的增大而减小；

即：当x≤1时，y随x的增大而减小.

9．【答案】　，；

  【解析】抛物线向上平移－３个单位得到，再向右平移３个单位长度得到，即与相同，故，.

10．【答案】上，x=﹣1，（﹣1，6）．

【解析】∵y=x2+2x+7，

而a=1＞0，

∴开口方向向上，

∵y=y=x2+2x+7=（x2+2x+1）+6=（x+1）2+6，

∴对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，6）．

11．【答案】50；5.

   【解析】由于函数的顶点坐标为(1，2)，，

当时，y随x的增大而增大，

当x＝5时，函数在2≤x≤5范围内的最大值为50；

当x＝2时，函数的最小值为．

12．【答案】；  

【解析】把代入y=x2+x+b2得，，

，代入即可求得.

三、解答题

13.【答案与解析】

解：如图：

，

①向左平移两个单位得到②，

②的开口方向向上，对称轴是x=2，顶点坐标为（2，0）．

14.【答案与解析】

      解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+1，
将点O（0，0）的坐标代入得：4a+1=0，
解得a=-．
所以二次函数的解析式为y=-（x-2）2+1；
（2）∵抛物线y=-

（x-2）2+1的对称轴为直线x=2，且经过原点O（0，0），
∴与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0），
∴△AOB的面积=×4×1=2；
（3）∵点P（m，-m）（m≠0）为抛物线y=-（x-2）2+1上一点，
∴-m=-（m-2）2+1，
解得m1=0（舍去），m2=8，
∴P点坐标为（8，-8），
∵抛物线对称轴为直线x=2，
∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（-4，-8）．

15.【答案与解析】

      （1）连接ME，设MN交BE交于P，

        根据题意得MB=ME，MN⊥BE．

        过N作NF⊥AB于F，在Rt△MBP和Rt△MNF中，∠MBP+∠BMN=90°，

        ∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF，又AB=FN，Rt△EBA≌Rt△MNF，MF=AE=x．

        在Rt△AME中，由勾股定理得

        ME2=AE2+AM2，

        所以MB2=x2+AM2，即（2-AM）2=x2+AM2，解得AM=1-x2．

        所以四边形ADNM的面积

S=×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2（1-x2）+x=-x2+x+2．

即所求关系式为S=-x2+x+2．

（2）S=-x2+x+2=-（x2-2x+1）+=-（x-1）2+．

当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，此时最大值是．