2020-2021学年第四章 几何图形初步综合与测试导学案

《几何图形初步》全章复习与巩固（基础）知识讲解

【学习目标】

1．认识一些简单的几何体的平面展开图及三视图，初步培养空间观念和几何直观；

2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法；

3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题；

4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形．

【高清课堂：图形认识初步章节复习 399079  本章知识结构 】

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、多姿多彩的图形

1． 几何图形的分类

要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.

2．立体图形与平面图形的相互转化

（1）立体图形的平面展开图：

把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．

要点诠释：

①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的 11种展开图，三棱柱，圆柱等的展开图；

②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平面图形，那么排除障碍的方法就是：联系实物，展开想象，建立“模型”，整体构想，动手实践.

（2）从不同方向看：

主（正）视图---------从正面看

几何体的三视图   左视图-----从左（右）边看

俯视图---------------从上面看

要点诠释：

①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.

②能根据三视图描述基本几何体或实物原型.

（3）几何体的构成元素及关系

几何体是由点、线 、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.

要点二、直线、射线、线段

1. 直线，射线与线段的区别与联系

2. 基本性质

(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．

要点诠释：

①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.

②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.

3.画一条线段等于已知线段

（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.

（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：

4．线段的比较与运算

（1）线段的比较：

  比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.

（2）线段的和与差：

如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。

（3）线段的中点：

把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：

要点诠释：

①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.

②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.

要点三、角

1．角的度量

（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.

(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：

要点诠释：

①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；

②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.

（3）角度制及角度的换算

1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.

要点诠释：

①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.

②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.

③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一

成60.

（4）角的分类

（5）画一个角等于已知角

（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.

（2）借助量角器能画出给定度数的角.

（3）用尺规作图法.

2．角的比较与运算

（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.

（2）角的平分线：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.

类似地，还有角的三等分线等.

3．角的互余互补关系                  

余角补角

（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.

（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.

（3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.

要点诠释：

①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).

②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.

③只考虑数量关系，与位置无关．

④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” .

4．方位角

以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.

要点诠释：

（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.

（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.

（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.

【典型例题】

类型一、概念或性质的理解

1.下列说法正确的是(  )

A.射线AB与射线BA表示同一条射线.    B.连结两点的线段叫做两点之间的距离.

C.平角是一条直线.                 D.若∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°,则∠2=∠3.

【答案】D

【解析】选项A中端点和延伸方向不同，所以是两条射线；选项B中两点之间的距离是指线段的长度，是一个数值，而不是图形；C中角和直线是两种不同的概念，不能混淆.

【总结升华】理解概念，掌握概念与概念的本质区别，并进行“比较”性分析和记忆．

举一反三：

【变式】下列结论中，不正确的是  （     ）.

A．两点确定一条直线        B．两点之间，直线最短

C．等角的余角相等          D．等角的补角相等

【答案】B

类型二、立体图形与平面图形的相互转化

2．（2015•泰州）一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是（　　）

A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱

【答案】A． 

【总结升华】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．

举一反三：

【变式】下面形状的四张纸板，按图所示的线经过折叠可以围成一个直三棱柱的是(    )．

【答案】C   

 3.如图所示几何体的主视图是    (    )

【答案】A

【解析】从正面看球位于桌面右方，故选A．

【总结升华】从正面看所得到的图形是主视图，先得到球体的主视图，再得到长方体的主视图，再根据球体在长方体的右边可得出答案．

类型三、互余互补的有关计算

4.（2016春•曹县校级月考）一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数．

【思路点拨】这类题目要先设出这个角的度数．设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数．

【答案与解析】

解：设这个角为x°，则其余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°，依题意有

180﹣x=2（90﹣x）+40，

解得x=40．

答：这个角的度数是40°．

【总结升华】本题考查了余角和补角，是基础题，列出方程是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2015•东莞模拟）一个角的余角比这个角的补角的一半小40°，则这个角为　  　度．

【答案】80．

解：设这个角为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），

由题意得，（180°﹣x）﹣（90°﹣x）=40°，

解得x=80°．

类型四、方位角

5.如图，射线OA的方向是:________； 射线OB的方向是:_________；射线OC的方向是:________ .

【思路点拨】OA表示的方向是北偏东，再加上其偏转的角度即可，同理OB、OC也是如此．

【答案】北偏东15°；北偏西40°；南偏东45°．

【解析】根据方位角的定义解答．

【总结升华】熟知方位角的定义结合图形便可解答．

类型五、钟表上的角

6.钟表分针的运动可看作是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过15分钟旋转了________度．

【答案】90

【解析】根据钟表的特征；整个钟面是360°，分针每5分钟旋转30°，所以经过15分钟旋转了90°．

【总结升华】在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：时钟上的分针匀速旋转一分钟时的度数为6°，时针一分钟转过的度数为0.5°；两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．

类型六、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算

1.方程的思想方法

7. 如图所示，在射线OF上，顺次取A、B、C、D四点，使AB:BC:CD＝2:3:4，又M、N分别是AB、CD的中点，已知AD＝90cm，求MN的长．

【思路点拨】有关比例问题，可设每一份为x，列方程求解，再利用中点定义，找出线段的和、差．

【答案与解析】

解：设线段AB，BC，CD的长分别是2x cm，3x cm，4x cm，

∵AB+BC+CD＝AD＝90 cm，∴ 2x+3x+4x＝90，x＝10，

∴AB＝20 cm，  BC＝30 cm， CD＝40 cm，

∴MN＝MB+BC+CN＝AB+BC+CD＝10+30+20＝60(cm)．

【总结升华】当已知某线段被分成的几条线段的长度比时，可根据比设未知数x，用x的式子表示相关的线段的长度，列方程求出x的值，进而求出线段的长．

举一反三：

【变式】如图所示，已知∠AOC＝∠BOD＝100°，且∠AOB:∠AOD＝2:7，求∠BOC和∠COD的度数．

【答案】

 解：设∠AOB的度数为2x，则∠AOD的度数为7x．

     由∠AOD＝∠AOB+∠BOD及∠BOD＝100°，

     可得7x＝2x+100°．

     解得x＝20°，所以∠AOB＝2x＝40°．

     所以∠BOC＝∠AOC-∠AOB＝100°-40°=60°，

         ∠COD＝∠BOD-∠BOC＝100°-60°＝40°．

2.分类的思想方法

 8.以∠AOB的顶点O为端点的射线OC，使∠AOC:∠BOC＝5:4．

    (1)若∠AOB＝18°，求∠AOC与∠BOC的度数；

    (2)若∠AOB＝m，求∠AOC与∠BOC的度数．

【答案与解析】

解：(1)分两种情况：

①OC在∠AOB的外部，可设∠AOC＝5x，则∠BOC＝4x

得∠AOB＝x，即x＝18°

所以∠AOC＝90°，∠BOC＝72°

②OC在∠AOB的内部，可设∠AOC=5x，则∠BOC＝4x

∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝9x

所以9x＝18°，   则x＝2°

所以∠AOC＝10°，∠BOC＝8°

（2）仿照（1），可得：若∠AOB＝m，则∠AOC＝，∠BOC＝，或∠AOC＝5m，∠BOC＝4m．

【总结升华】本题中的已知条件没有明确地说明OC在∠AOB的内部或外部，所以两个问题都必须分类讨论．

举一反三：

【变式1】已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC＝3cm，求线段AC的长．

【答案】

解：分两种情况：

(1)如图(1)，AC＝AB－BC＝8－3＝5(cm)；

(2)如图(2)，AC＝AB+BC＝8+3＝11(cm)．

所以线段AC的长为5cm或11cm．

【变式2】下列判断正确的个数有 (    )

    ①已知A、B、C三点，过其中两点画直线一共可画三条

    ②过已知任意三点的直线有1条

    ③三条直线两两相交，有三个交点

    A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

【答案】A

3.类比的思想方法

【高清课堂：图形认识初步章节复习399079  类比思想例5】

9.(1)如图,线段AD上有两点B、C,图中共有______条线段.

(2)如图，在∠AOD的内部有两条射线OB、OC，则图中共有            个角.

【答案】（1）6；  （2）6.

【解析】（1）以A为端点的线段有3条，同样以B,C,D为一个端点的线段也各有3条，又因为所有线段均重复了一次，所以共有线段条数：（条）.

（2）以射线OA为一边的角有3个，同样以OB，OC，OD为一边的角也各有3个，又因为所有角均重复一次，所以共有角的个数：（个）.

【总结升华】用同样的方法解决了不同的问题，用已知的知识类比地学习未知的内容.

【巩固练习】

一、选择题

1．从左边看图1中的物体，得到的是图2中的(    )．

2．如图所示是正方体的一种平面展开图，各面都标有数，则标有数“-4”的面与其对面上的数之积是(    )．

    A．4    B．12    C．-4    D．0

3．（2016•宜昌）如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）

A．垂线段最短

B．经过一点有无数条直线

C．经过两点，有且仅有一条直线

D．两点之间，线段最短

4．如图所示，点O在直线AB上，∠COB＝∠DOE＝90°，那么图中相等的角的对数是(    )．

    A．3    B．4    C．5    D．7

5．如图所示的图中有射线(    )．

A．3条    B．4条    C．2条    D．8条

6．（2015•宝应县校级模拟）在地理课堂上，老师组织学生进行寻找北极星的探究活动时，李佳同学使用了如图所示的半圆仪，则下列四个角中，最可能和∠AOB互补的角为（　　）

A． B． C． D．

7．十点一刻时，时针与分针所成的角是(    )．

    A．112°30′    B．127°30′    C．127°50′    D．142°30′

8．在海面上有A和B两个小岛，若从A岛看B岛是北偏西42°，则从B岛看A岛应是(    )．

    A．南偏东42°    B．南偏东48°    C．北偏西48°    D．北偏西42°

二、填空题

9．把一条弯曲的公路改为直道，可以缩短路程，其理由是________．

10．已知∠α＝30°18′，∠β＝30.18°，∠γ＝30.3°，则相等的两角是________．

11．用平面去截一个几何体，如果得出的横截面是圆形，那么被截的几何体是________(填一个答案即可)．

12．（2015秋•泾阳县期中）如图是一个正方体的展开图，和C面的对面是　　面．

13．若∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，则∠2＝∠3，其根据是________．

14．若∠α是它的余角的2倍，∠β是∠α的2倍，那么把∠α和∠β拼在一起(有一条边重合)组成的角是________度．

15.一副三角板如图摆放，若∠BAE=135 °17′，则∠CAD的度数是               .

16.如下图，点A、B、C、D代表四所村庄，要在AC与BD的交点M处建一所“希望小学”，请你说明选择校址依据的数学道理                      .

三、解答题

17.（2015春•淄博校级期中）如图，已知点C为AB上一点，AC=12cm，CB=AC，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．

18．（2016春•启东市月考）如图，∠AOB=90°，∠AOC是锐角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求∠DOE的度数．

19．在一张城市地图上，如图所示，有学校、医院、图书馆三地，图书馆被墨水染黑，具体位置看不清，但知道图书馆在学校的北偏东45°方向，在医院的南偏东60°方向，你能确定图书馆的位置吗?

20.如图所示，线段AB＝4，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA、OB的中点，小明据此很轻松地求得CD＝2．在反思过程中突发奇想：若点O运动到AB的延长线上，原来的结论“CD＝2”是否仍然成立?请帮小明画出图形并说明理由．

【答案与解析】

一、选择题

1．【答案】B 

【解析】从左边看，圆台被遮住一部分，故选B．

2．【答案】B 

【解析】由正方体的平面展开图可知，标有数-4的面的对面是标有数-3的面，故两个数之积为12．

3．【答案】D； 

【解析】解：∵用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，

∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，

∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，

故选D．

4．【答案】C 

【解析】因为∠COB＝90°，所以∠BOD+∠COD＝90°，即∠BOD＝90°-∠COD．因为∠DOE＝90°，所以∠EOC+∠COD＝90°，即∠EOC＝90°-∠COD，所以∠BOD＝∠EOC．同理∠AOE＝∠COD．又因为∠AOC＝∠COB＝∠DOE＝90°(∠AOC＝∠COB，∠AOC＝∠DOE，∠COB＝∠DOE)，所以图中相等的角有5对，故选C．

5．【答案】D

6．【答案】D．

【解析】根据图形可得∠AOB大约为135°，∴与∠AOB互补的角大约为45°，

综合各选项D符合．

7．【答案】D 

【解析】一刻是15分钟，十点一刻，即10点15分时，时针与分针所成的角为：

＝142.5°＝142°30′，故选D．

8．【答案】A 

【解析】方位角存在这样的规律：甲、乙两地之间的方位角，方向相反，角度相等．由此可知从B岛看A岛的方向为南偏东42°，故选A．

二、填空题

9. 【答案】两点之间，线段最短

【解析】本题是应用线段的性质解释生活中的现象，由于这是两点之间连线长度的比较，符合“两点之间，线段最短”．

10.【答案】∠α和∠γ 

【解析】，于是∠α＝∠γ．

11.【答案】圆柱(圆锥、圆台、球体等) 

【解析】答案不唯一，例如用平面横截圆锥即可得到圆形．

12.【答案】F．

【解析】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“B”与面“D”相对，面“A”与面“E”相对，“C”与面“F”相对.

13.【答案】同角的余角相等 

【解析】根据余角的性质解答问题．

14.【答案】60度或180 

【解析】先求出∠α=60°，∠β=120°；再分∠α在∠β内部和外部两种情况来讨论．

15.【答案】44°43′；

【解析】∠BAD＋∠CAE＝180°，即∠BAE＋∠CAD＝180°，所以

∠CAD＝180°－135°17′＝44°43′．

16.【答案】两点之间，线段最短．

三、解答题

17.【解析】

解：∵AC=12cm，CB=AC，

∴CB=6cm，

∴AB=AC+BC=12+6=18cm，

∵E为AB的中点，

∴AE=BE=9cm，

∵D为AC的中点，

∴DC=AD=6cm，

所以DE=AE﹣AD=3cm．

18．【解析】

解：如图，∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∠AOB=90°，

∴∠COD=∠BOC=（∠AOB+∠AOC）=45°+∠AOC，∠COE=∠AOE=∠AOC，

∴∠DOE=∠COD﹣∠AOE=45°+∠AOC﹣∠AOC=45°

即：∠DOE=45°．

19．【解析】

解：如图所示．在医院A处，以正南方向为始边，逆时针转60°角，得角的终边射线AC．在学校B处，以正北方向为始边，顺时针旋转45°角，得角的终边射线BD．AC与BD的交点为点O，则点O就是图书馆的位置．

  20.【解析】

   解：原有的结论仍然成立，理由如下：

当点O在AB的延长线上时，如图所示，

CD＝OC－OD＝(OA－OB)＝AB＝．