人教版数学九下03《反比例函数 全章复习与巩固》知识讲解+巩固练习(基础版)（含答案）
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这是一份人教版数学九下03《反比例函数 全章复习与巩固》知识讲解+巩固练习(基础版)（含答案），共16页。
反比例函数全章复习与巩固（基础） 【学习目标】1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂406878 反比例函数全章复习 知识要点】要点一、反比例函数的概念一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.要点诠释：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.要点二、反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.要点三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要点诠释：观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称. 注：正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称. 2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质 当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较 正比例函数反比例函数解析式图 像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位 置，一、三象限；
，二、四象限，一、三象限
，二、四象限增减性，随的增大而增大
，随的增大而减小，在每个象限，随的增大而减小
，在每个象限，随的增大而增大（4）反比例函数y＝中的意义①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.【典型例题】类型一、确定反比例函数的解析式 1、已知函数是反比例函数，则的值为 . 【答案】【解析】根据反比例函数概念，＝且，可确定的值.【总结升华】反比例函数要满足以下两点：一个是自变量的次数是－1，另一个是自变量的系数不等于0.举一反三：【变式】反比例函数图象经过点（2，3），则的值是（ ）.A. B. C. 0 D. 1【答案】D；反比例函数过点（2，3）．． 类型二、反比例函数的图象及性质2、已知，反比例函数的图象在每个分支中随的增大而减小，试求的取值范围．【思路点拨】由反比例函数性质知，当＞0时，在每个象限内随的增大而减小，由此可求出的取值范围，进一步可求出的取值范围．【答案与解析】解：由题意得：，解得，所以，则＜3．【总结升华】熟记并能灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键．举一反三：【变式】已知反比例函数，其图象位于第一、第三象限内，则的值可为________（写出满足条件的一个的值即可）．【答案】3（满足＞2即可）.3、在函数（，为常数）的图象上有三点(－3，)、(－2，)、(4，)，则函数值的大小关系是（ ）A． B． C． D．【答案】D；【解析】∵ ||＞0，∴ －||＜0，∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限里，随增大而增大，(－3，)、(－2，)在第二象限，(4，)在第四象限，∴ 它们的大小关系是：．【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不能一概而论，本题的点(－3，)、(－2，)在双曲线的第二象限的分支上，因为－3＜－2，所以，点(4，)在第四象限，其函数值小于其他两个函数值．举一反三：【变式1】（2014春•海口期中）在同一坐标系中，函数y=和y=kx+3（k≠0）的图象大致是（ ）.A. B.C. D. 【答案】C；提示：分两种情况讨论：①当k＞0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y=的图象在第一、三象限；②当k＜0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y=的图象在第二、四象限．故选C． 【高清课堂406878 反比例函数全章复习 例7】【变式2】已知,且则函数与在同一坐标系中的图象不可能是( ) . 【答案】B ；提示：因为从B的图像上分析，对于直线来说是，则，对于反比例函数来说，，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形.4、（2016•齐齐哈尔）如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k= ．【思路点拨】根据点P（6，3），可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为12，列出方程求出k的值．【答案】6．【解析】解：∵点P（6，3），∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入反比例函数y=得，点A的纵坐标为，点B的横坐标为，即AM=，NB=，∵S四边形OAPB=12，即S矩形OMPN﹣S△OAM﹣S△NBO=12，6×3﹣×6×﹣×3×=12，解得：k=6．故答案为：6．【总结升华】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是根据点A、B的纵横坐标，代入解析式表示出其坐标，然后根据面积公式求解．举一反三：【变式】如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA，OB，与OB的交点为P，记△AOP与梯形的面积分别为，试比较的大小.【答案】解：∵， 且，∴. 类型三、反比例函数与一次函数综合5、已知反比例函数和一次函数的图象的一个交点坐标是(－3，4)，且一次函数的图象与轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的表达式．【思路点拨】因为点(－3，4)是反比例函数与一次函数的图象的一个交点，所以把(－3，4)代入中即可求出反比例函数的表达式．欲求一次函数的表达式，有两个待定未知数，已知一个点(－3，4)，只需再求一个一次函数图象上的点即可．由已知一次函数图象与轴的交点到原点的距离是5，则这个交点坐标为(－5，0)或(5，0)，分类讨论即可求得一次函数的解析式．【答案与解析】解：因为函数的图象经过点(－3，4)， 所以，所以＝－12． 所以反比例函数的表达式是． 由题意可知，一次函数的图象与轴的交点坐标为(5，0)或(－5，0)，则分两种情况讨论：当直线经过点(－3，4)和(5，0)时，有 解得所以．当直线经过点(－3，4)和(－5，0)时，有 解得 所以．所以所求反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为或．【总结升华】本题考查待定系数法求函数解析式，解答本题时要注意分两种情况讨论，不能漏解．举一反三：【变式】如图所示，A、B两点在函数的图象上．（1）求的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．【答案】解：（1）由图象可知，函数的图象经过点A(1，6)，可得＝6．设直线AB的解析式为．∵ A(1，6)，B(6，1)两点在函数的图象上，∴ 解得∴ 直线AB的解析式为．（2）题图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是3．类型四、反比例函数应用6、（2015•兴化市三模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．（1）直接写出v与t的函数关系式；（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇．①求两车的平均速度；②甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米，当客车进入B加油站时，货车恰好进入A加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B加油站的距离．【答案与解析】解：（1）设函数关系式为v=，∵t=5，v=120，∴k=120×5=600，∴v与t的函数关系式为v=（5≤t≤10）；（2）①依题意，得3（v+v﹣20）=600，解得v=110，经检验，v=110符合题意．当v=110时，v﹣20=90．答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；②当A加油站在甲地和B加油站之间时，110t﹣（600﹣90t）=200，解得t=4，此时110t=110×4=440；当B加油站在甲地和A加油站之间时，110t+200+90t=600，解得t=2，此时110t=110×2=220．答：甲地与B加油站的距离为220或440千米． 【总结升华】解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具. 【巩固练习】一.选择题1.（2014•宜阳县校级模拟）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是（ ）A．（2，3） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）2. 函数与在同一坐标系内的图象可以是（ ）3. （2016•兰州）反比例函数是y=的图象在（ ）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限4. 数是反比例函数，则的值是（ ）A．±1 B．1 C． D．－15. 如图所示，直线与双曲线相交于点A，点A的纵坐标为3，的值为（ ）．A．1 B．2 C．3 D．46. 点(－1，)，(2，)，(3，)在反比例函数的图象上．下列结论中正确的是（ ）．A． B． C． D．7. 已知、、是反比例函数图象上的三点，且，则、、的大小关系是（ ）A． B． C． D．8. 如图所示，点P在反比例函数的图象上，且横坐标为2．若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点，则在第一象限内，经过点的反比例函数图象的解析式是（ ）．A． B． C． D．二.填空题9. （2016•徐州）若反比例函数的图象过点（3，﹣2），则其函数表达式为 ．10.（2014秋•大竹县校级期末）若函数y=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围___________.11.反比例函数的图象叫做__________.当时，图象分居第__________象限，在每个象限内随的增大而_______；当时，图象分居第________象限，在每个象限内随的增大而__________.12. 若点A(，－2)在反比例函数的图像上，则当函数值≥－2时，自变量的取值范围是___________.13.若变量与成反比例，且时，，则与之间的函数关系式是________，在每个象限内函数值随的增大而_________.14.已知函数，当时，，则函数的解析式是__________.15．如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数的图象上，另三点在坐标轴上，则.16.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变．在一定范围内，密度ρ是容积V的反比例函数．当容积为5时，密度是1.4，则ρ与V的函数关系式为_______________．三.解答题17. 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t()与行驶速度v()满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(，0.5)．（1）求和的值；（2）若行驶速度不得超过60，则汽车通过该路段最少需要多少时间？18. 在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（）的反比例函数，其图象如图所示．(1) 求P与S之间的函数关系式；(2) 求当S＝0.5 时物体承受的压强P． 19.（2015•淄博模拟）如图，直线y=x与双曲线y=（x＞0）交于点A，将直线y=x向下平移个6单位后，与双曲线y=（x＞0）交于点B，与x轴交于点C.（1）求C点的坐标. （2）若=2，则k的值为？20.如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点A(4，)和B(－8，－2)，与轴交于点C．(1) ________，________；(2)根据函数图象可知，当时，的取值范围是________；(3)过点A作AD⊥轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当时，求点P的坐标． 【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（2，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（﹣2，﹣3）．故选：D．2.【答案】B； 【解析】分＞0，和＜0分别画出图象，只有B选项是正确的.3.【答案】B．【解析】∵反比例函数是y=中，k=2＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限．4.【答案】D；【解析】由反比例函数的意义可得：解得，＝－1．5.【答案】C；【解析】把＝3代入，得．∴ A(1，3)．把点A的坐标代入，得.6.【答案】B；【解析】∵ ，∴ 反比例函数的图象位于第二、四象限，画出函数图象的简图，并在图象上表示出已知各点，易知． 7.【答案】C；【解析】观察图象如图所示．8.【答案】D；【解析】 由点P的横坐标为2，可得点P的纵坐标为．∴ ．由题意可得点．∴ 在第一象限内，经过点的反比例函数图象的解析式为．故选D项． 二.填空题9.【答案】y=﹣．【解析】设反比例函数解析式为y=（k为常数，且k≠0），∵该函数图象过点（3，﹣2），∴k=3×（﹣2）=﹣6．∴该反比例函数解析式为y=﹣．10.【答案】m＜2；【解析】∵函数y=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，∴m﹣2＜0，解得m＜2． 11.【答案】双曲线；一、三；减小；二、四；增大；12.【答案】≤－2或；【解析】结合图象考虑反比例函数增减性.13.【答案】；增大 ；14.【答案】；15.【答案】－3；【解析】由矩形OABC的面积＝3，可得B点的横坐标与纵坐标的乘积的绝对值＝3，又因为图象在第四象限，所以反比例函数的.16.【答案】.三.解答题17.【解析】解：（1）将(40，1)代入，得，解得＝40．∴ 该函数解析式为．∴ 当t＝0.5时，，解得＝80，∴ ＝40，＝80．（2）令v＝60，得，结合函数图象可知，汽车通过该路段最少需要小时．18.【解析】解：（1）设所求函数解析式为,把（0.25,1000）代入解析式， 得1000＝, 解得＝250 ∴所求函数解析式为（s＞0） （2）当s＝0.5时，P＝500(Pa)19.【解析】解：（1）∵将直线y=x向下平移个6单位后得到直线BC，∴直线BC解析式为：y=x﹣6，令y=0，得x﹣6=0，∴C点坐标为（，0）；（2）∵直线y=x与双曲线y=（x＞0）交于点A，∴A（，），又∵直线y=x﹣6与双曲线y=（x＞0）交于点B，且=2，∴B（+，），将B的坐标代入y=中，得（+）=k，解得k=12．20.【解析】解：(1)，16；(2)－8＜＜0或＞4；(3)由(1)知，，．∴ ＝4，点C的坐标是(0，2)，点A的坐标是(4，4)．∴ CO＝2，AD＝OD＝4．∴ ．∵ ，∴ 即，∴ DE＝2．∴ 点E的坐标为(4，2)．又点E在直线OP上，∴ DE＝2．∴ 点E的坐标为(4，2)．由 得 （不合题意舍去）∴ P的坐标为.
