第7讲 二次根式的乘除法华师大版九年级上册数学专题讲义（原卷版+解析版）

第7讲 二次根式的乘除法

       【学习目标】

1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.

2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化.

        【基础知识】

考点一、二次根式的乘法

1.乘法法则：

（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.

考点诠释：

(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).

(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

≥0，≥0，…..≥0）.

(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.

考点二、二次根式的除法

1.除法法则：

（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.

考点诠释：

(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.

(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.

考点三、分母有理化

1.分母有理化

把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.

2.有理化因式

  两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：

   ①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式.

②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如与，，分别互为有理化因式.

考点诠释：

   分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；  ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.

   【考点剖析】

考点一：二次根式的乘除运算

例1．(1)×； 　(2)×； (3)；   (4)；

【答案】(1)×=；

 (2)×==；

(3)===2；

(4)==×2=2.

【总结】直接利用计算即可．

举一反三：

【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正：

     (1)；

    (2)×=4××=4×=4=8.

【答案】(1)不正确．

改正：=＝×=2×3=6；

(2)不正确．

改正：×=×===＝4.

例2. 计算：．

【思路】首先把乘除法混合运算转化成乘法运算，然后进行乘法运算即可．

【答案】

解：

=3×（﹣）×2

=﹣×5

=﹣．

【总结】本题考查了二次根式的乘除混合运算，正确转换成乘法运算是关键．

例3.已知0＜＜,化简.

【答案】原式===

【总结】成立的条件是＞0；若＜0,则.

考点二：分母有理化

例4．把下列各式分母有理化：

【思路】找分母有理化因式.

【答案】

  （1）

   （2）

   （3） 

【总结】有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜.显然，与，a与a，b与b都是互为有理化因式.

举一反三：

【变式】观察下列等式：

①==﹣1

②==﹣

③==﹣

……

回答下列问题：

（1）化简：=　　                 ；（n为正整数）

（2）利用上面所揭示的规律计算：+++…++．

【答案】

解：（1）=；

故答案为：．

（2）+++…++

=…+

=﹣1．

        【真题演练】

一、           选择题

1.计算的结果是（   ）

A．  B.  C.   D.

【答案】C

2.当＜0, ＜0时，化简得（   ）

A．  B.-  C.  D.

【答案】C

【解析】原式===.

3.在中，最简二次根式有（   ）

A．1个   B.2个   C.3个   D.4个

【答案】A

4. （柘城县校级月考）化简结果正确的是（　　）

A．3  B．3    C．17    D．17﹣12

【答案】A

【解析】解：原式==3+2．

5.（杭州校级月考）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①•=1；②=；③÷=﹣b，其中正确的是（　　）

A．①②    B．①③      C．②③    D．①②③

【答案】B

【解析】解：∵ab＞0，a+b＜0，

∴a＜0，b＜0，

∴①•=1，正确；②=，错误；③÷=﹣b，正确，

故选B．

6. 已知，化简二次根式的正确结果为（   ）.

　　A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.

【答案】 D

【解析】 因为，是被开方数，所以y<0,x<0.

          所以原式===

二. 填空题

7..计算：=____________________________.

【答案】

【解析】原式==

8.（宜兴市校级期中）化简：=　　          ．

【答案】+；

【解析】解：原式==+．

故答案为：+.

9．计算：(1)=_______；　(2)=________.

【答案】 （1）；（2）6.

10.化简：（1）=_________,(2)=___________.

【答案】 (1) ;(2) .

【解析】（1）.原式=;

          (2).原式=.

11.若=0，则=_______________.

【答案】 -1

【解析】因为=0，所以2-x≥0，x-2≥0，所以x=2;则原式=.

12.有如下判断：

（1）    (2)=1    (3)

(4)  （5） （6）成立的条件是同号.其中正确的有_____________个.

【答案】 2个

【解析】只有（1），（3）正确.

三 综合题

13.把下列各式化成最简二次根式.

(1)； (2)； (3)； (4)；  (5)

【解析】(1) ；

(2) ；

(3) ；

(4) ；

(5) .

14.（x＞0，y＞0）

【解析】

解：原式=﹣

=﹣，

∵x＞0，y＞0，

∴原式=﹣=﹣3xy．

15.（福清市期中）阅读材料并解决问题：===﹣，像上述解题过程中，+与﹣相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．

（1）的有理化因式是　   　；﹣2的有理化因式是　   　；

（2）将下列式子进行分母有理化：①=    　；②=　　     ；

（3）已知a=，b=4﹣2，利用上述知识比较a与b的大小．

【解析】

解：（1）的有理化因式是：，

﹣2的有理化因式是：+2；

（2） ①=；

②=3﹣；

（3）∵a===4﹣2，

∴a=b．

       【过关检测】

一.选择题

1.若（   ）.

A．-1   B.1   C .2x-1  D.1-2x

【答案】 A

【解析】 所以选A.

2.下列计算正确的是(    )

　　A． 　B．　 C． 　D．

【答案】 B

3.计算等于（   ）.

A．  B.  C.    D .

【答案】 A

【解析】 原式==.

4.把根号外的因式移到根号内，得（   ）．

A．         B．     C．       D．

【答案】C

5. （长沙校级期中）已知a=，b=﹣2，则a，b的关系是（　　）

A．a=b   B．a=﹣b    C．a=     D．ab=﹣1

【答案】B

【解析】解：∵a===2﹣，b=﹣2，

∴a=﹣b，故选：B．

6.若,那么的值是（  ）.

A．1    B.-1    C.    D.

【答案】D

【解析】

      .

       则，，

则=.

二、 填空题

7.（聊城）计算：=________.

【答案】12

【解析】解：=3×÷=3=12．

8. =________.

【答案】-6

9.若互为相反数，则x=_____________.

【答案】0

【解析】因为互为相反数，所以

    则.

10.已知=___________.

【答案】1

【解析】=

11.计算=___________________________.

【答案】

【解析】因为x>0,所以，所以=

12.（张家港市校级期末）使等式=成立的实数a的取值范围是　      　．

【答案】a＞2．

【解析】解：根据题意得：

解得：

所以不等式组的解集为：a＞2．

故答案为：a＞2．

三、综合题

13.若，求的值.

【解析】因为，所以2x-3≥0,3-2x≥0，即x=，y=

则=.

14.若

【解析】因为，所以

所以

=.

15.已知x为奇数，且=，求•．

【解析】

解：∵=，

∴6≤x＜9，

∵x为奇数，

∴x=7，

则•=8×=12．