初中数学华师大版九年级上册第22章 一元二次方程综合与测试课时训练

第3讲 反比例函数及图象性质

       【学习目标】

1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；

2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；

3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.

        【基础知识】

考点一、反比例函数的概念

一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.

考点诠释：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.

考点二、反比例函数解析式的确定 

反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.

考点三、反比例函数的图象和性质

1.反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．

考点诠释：

观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．

①的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；

②的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；

③(k≠0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称.

    注：正比例函数与反比例函数，

当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.

2.反比例函数的性质

（1）图象位置与反比例函数性质

 　　当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.

（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.

（3）正比例函数与反比例函数的性质比较

（4）反比例函数y＝中的意义

①过双曲线(≠0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.

②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.

考点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点

　　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.

2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.

   【考点剖析】

考点一：确定反比例函数的解析式

例1．已知函数是反比例函数，则的值为　　　　.

【答案】

【解析】根据反比例函数概念，＝且，可确定的值.

【总结】反比例函数要满足以下两点：一个是自变量的次数是－1，另一个是自变量的系数不等于0.

举一反三：

【变式】反比例函数图象经过点（2，3），则的值是（   ）.

A.   B.    C. 0  D. 1

【答案】D；

反比例函数过点（2，3）．．

考点二：反比例函数的图象及性质

例2．已知，反比例函数的图象在每个分支中随的增大而减小，试求的取值范围．

【思路】由反比例函数性质知，当＞0时，在每个象限内随的增大而减小，由此可求出的取值范围，进一步可求出的取值范围．

【答案】

解：由题意得：，解得，

所以，则＜3．

【总结】熟记并能灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键．

举一反三：

【变式】已知反比例函数，其图象位于第一、第三象限内，则的值可为________（写出满足条件的一个的值即可）．

【答案】3（满足＞2即可）.

例3、在函数（，为常数）的图象上有三点(－3，)、(－2，)、(4，)，则函数值的大小关系是（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D；

【解析】

∵  ||＞0，∴  －||＜0，∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限里，随增大而增大，(－3，)、(－2，)在第二象限，(4，)在第四象限，∴  它们的大小关系是：．

【总结】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不能一概而论，本题的点(－3，)、(－2，)在双曲线的第二象限的分支上，因为－3＜－2，所以，点(4，)在第四象限，其函数值小于其他两个函数值．

举一反三：

【变式1】在同一坐标系中，函数y=和y=kx+3（k≠0）的图象大致是（　　）.

A.                        B.

C.                        D.

【答案】C；

提示：分两种情况讨论：

①当k＞0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y=的图象在第一、三象限；

②当k＜0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y=的图象在第二、四象限．故选C．

【变式2】已知,且则函数与在同一坐标系中的图象不可能是(   ) .

【答案】B ；

提示：因为从B的图象上分析，对于直线来说是，则，对于反比例函数来说，，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形.

例4、如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=　 　．

【思路】根据点P（6，3），可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为12，列出方程求出k的值．

【答案】6．

【解析】

解：∵点P（6，3），

∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，

代入反比例函数y=得，

点A的纵坐标为，点B的横坐标为，

即AM=，NB=，

∵S四边形OAPB=12，

即S矩形OMPN﹣S△OAM﹣S△NBO=12，

6×3﹣×6×﹣×3×=12，

解得：k=6．

故答案为：6．

【总结】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是根据点A、B的纵横坐标，代入解析式表示出其坐标，然后根据面积公式求解．

举一反三：

【变式】如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA，OB，与OB的交点为P，记△AOP与梯形的面积分别为，试比较的大小.

【答案】

解：∵，

  且，

∴.

考点三：反比例函数与一次函数综合

例5．已知反比例函数和一次函数的图象的一个交点坐标是(－3，4)，且一次函数的图象与轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的表达式．

【思路】因为点(－3，4)是反比例函数与一次函数的图象的一个交点，所以把(－3，4)代入中即可求出反比例函数的表达式．欲求一次函数的表达式，有两个待定未知数，已知一个点(－3，4)，只需再求一个一次函数图象上的点即可．由已知一次函数图象与轴的交点到原点的距离是5，则这个交点坐标为(－5，0)或(5，0)，分类讨论即可求得一次函数的解析式．

【答案】

解：因为函数的图象经过点(－3，4)，

    所以，所以＝－12．

    所以反比例函数的表达式是．

    由题意可知，一次函数的图象与轴的交点坐标为(5，0)或(－5，0)，则分两种情况讨论：

当直线经过点(－3，4)和(5，0)时，

有  解得

所以．

当直线经过点(－3，4)和(－5，0)时，

有  解得  所以．

所以所求反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为或．

【总结】本题考查待定系数法求函数解析式，解答本题时要注意分两种情况讨论，不能漏解．

举一反三：

【变式】如图所示，A、B两点在函数的图象上．

（1）求的值及直线AB的解析式；

（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数．

【答案】

解：（1）由图象可知，函数的图象经过点A(1，6)，可得＝6．

设直线AB的解析式为．

∵  A(1，6)，B(6，1)两点在函数的图象上，

∴    解得

∴  直线AB的解析式为．

（2）题图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是3．

考点四：反比例函数应用

例4．一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．

（1）直接写出v与t的函数关系式；

（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇．

①求两车的平均速度；

②甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米，当客车进入B加油站时，货车恰好进入A加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B加油站的距离．

【答案】

解：（1）设函数关系式为v=，

∵t=5，v=120，

∴k=120×5=600，

∴v与t的函数关系式为v=（5≤t≤10）；

（2）①依题意，得

3（v+v﹣20）=600，

解得v=110，

经检验，v=110符合题意．

当v=110时，v﹣20=90．

答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；

②当A加油站在甲地和B加油站之间时，

110t﹣（600﹣90t）=200，

解得t=4，此时110t=110×4=440；

当B加油站在甲地和A加油站之间时，

110t+200+90t=600，

解得t=2，此时110t=110×2=220．

答：甲地与B加油站的距离为220或440千米． 

【总结】解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.

        【真题演练】

一.选择题

1.若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是（　　）

A．（2，3）     B．（3，2）       C．（﹣2，3）      D．（﹣2，﹣3）

【答案】D；

【解析】∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，

∴另一个交点的坐标与点（2，3）关于原点对称，

∴该点的坐标为（﹣2，﹣3）．故选：D．

2. 函数与在同一坐标系内的图象可以是（    ）

【答案】B；

【解析】分＞0，和＜0分别画出图象，只有B选项是正确的.

3. 反比例函数是y=的图象在（　　）

A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限

【答案】B．

【解析】∵反比例函数是y=中，k=2＞0，

∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限．

4. 数是反比例函数，则的值是（   ）

A．±1    B．1    C．    D．－1

【答案】D；

【解析】由反比例函数的意义可得：解得，＝－1．

5. 如图所示，直线与双曲线相交于点A，点A的纵坐标为3，的值为（   ）．

A．1      B．2      C．3       D．4

【答案】C；

【解析】把＝3代入，得．∴  A(1，3)．把点A的坐标代入，得.

6. 点(－1，)，(2，)，(3，)在反比例函数的图象上．下列结论中正确的是（  ）．

A．    B．    C．    D．

【答案】B；

【解析】∵  ，∴  反比例函数的图象位于第二、四象限，画出函数图象的简图，并在图象上表示出已知各点，易知．

7. 已知、、是反比例函数图象上的三点，且，则、、的大小关系是（　　）

A．    B．     C．    D．

【答案】C；

【解析】观察图象如图所示．

8. 如图所示，点P在反比例函数的图象上，且横坐标为2．若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点，则在第一象限内，经过点的反比例函数图象的解析式是（  ）．

A．    B．    C．    D．

【答案】D；

【解析】  由点P的横坐标为2，可得点P的纵坐标为．

∴  ．由题意可得点．

∴  在第一象限内，经过点的反比例函数图象的解析式为．故选D项．

二.填空题

9. 若反比例函数的图象过点（3，﹣2），则其函数表达式为　       　．

【答案】y=﹣．

【解析】设反比例函数解析式为y=（k为常数，且k≠0），

∵该函数图象过点（3，﹣2），

∴k=3×（﹣2）=﹣6．

∴该反比例函数解析式为y=﹣．

10.若函数y=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围___________.

【答案】m＜2；

【解析】∵函数y=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，

∴m﹣2＜0，解得m＜2．

11.反比例函数的图象叫做__________.当时，图象分居第__________象限，在每个象限内随的增大而_______；当时，图象分居第________象限，在每个象限内随的增大而__________.

【答案】双曲线；一、三；减小；二、四；增大；

12. 若点A(，－2)在反比例函数的图象上，则当函数值≥－2时，自变量的取值范围是___________.

【答案】≤－2或；

【解析】结合图象考虑反比例函数增减性

13.若变量与成反比例，且时，，则与之间的函数关系式是________，在每个象限内函数值随的增大而_________.

【答案】；增大 ；

14.已知函数，当时，，则函数的解析式是__________.

【答案】；

15．如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数的图象上，另三点在坐标轴上，则.

【答案】－3；

【解析】由矩形OABC的面积＝3，可得B点的横坐标与纵坐标的乘积的绝对值＝3，又因为图象在第四象限，所以反比例函数的.

16.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变．在一定范围内，密度ρ是容积V的反比例函数．当容积为5时，密度是1.4，则ρ与V的函数关系式为_______________．

【答案】.

三.解答题

17. 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t()与行驶速度v()满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(，0.5)．

（1）求和的值；

（2）若行驶速度不得超过60，则汽车通过该路段最少需要多少时间？

【解析】

解：（1）将(40，1)代入，得，解得＝40．

∴  该函数解析式为．

∴  当t＝0.5时，，解得＝80，

∴  ＝40，＝80．

（2）令v＝60，得，

结合函数图象可知，汽车通过该路段最少需要小时．

18. 在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（）的反比例函数，其图象如图所示．

(1) 求P与S之间的函数关系式；

(2) 求当S＝0.5 时物体承受的压强P．

【解析】

解：（1）设所求函数解析式为,把（0.25,1000）代入解析式，

　 　　得1000＝, 解得＝250

　 　　∴所求函数解析式为（s＞0）

　 （2）当s＝0.5时，P＝500(Pa)

19.如图，直线y=x与双曲线y=（x＞0）交于点A，将直线y=x向下平移个6单位后，与双曲线y=（x＞0）交于点B，与x轴交于点C.

（1）求C点的坐标.

（2）若=2，则k的值为？

【解析】

解：（1）∵将直线y=x向下平移个6单位后得到直线BC，

∴直线BC解析式为：y=x﹣6，

令y=0，得x﹣6=0，

∴C点坐标为（，0）；

（2）∵直线y=x与双曲线y=（x＞0）交于点A，

∴A（，），

又∵直线y=x﹣6与双曲线y=（x＞0）交于点B，且=2，

∴B（+，），将B的坐标代入y=中，得

（+）=k，

解得k=12．

20.如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点A(4，)和B(－8，－2)，与轴交于点C．

(1) ________，________；

(2)根据函数图象可知，当时，的取值范围是________；

(3)过点A作AD⊥轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当时，求点P的坐标．

【解析】

解：(1)，16；

(2)－8＜＜0或＞4；

(3)由(1)知，，．

∴  ＝4，点C的坐标是(0，2)，点A的坐标是(4，4)．

∴  CO＝2，AD＝OD＝4．

∴  ．

∵  ，∴ 

即，∴  DE＝2．∴  点E的坐标为(4，2)．

又点E在直线OP上，∴  DE＝2．∴  点E的坐标为(4，2)．

由  得 （不合题意舍去）

∴  P的坐标为.

       【过关检测】

一.选择题

1. 已知函数的反比例函数，且图象在第二、四象限内，则的值是（  ）．

A．2    B．－2    C．±2    D．

【答案】B；

【解析】由题意可知  解得＝－2．

2. 如图是三个反比例函数、、在轴上方的图象，由此观察得到的大小关系（      ）.

A．      B．

  C．      D．

【答案】B；

3. 如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于轴、轴，若双曲线 (≠0)与有交点，则的取值范围是（     ）

A． B．  C． D．

【答案】C；

【解析】双曲线经过点A和BC的中点，此时或，当时，双曲线 与有交点.

4.如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　）

A．    B．    C．3    D．4

【答案】B；

【解析】过点B作BE⊥x轴于点E，

∵D为OB的中点，

∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE．

设A（x，），则B（2x，），CD=，AD=﹣，

∵△ADO的面积为1，

∴AD•OC=1，（﹣）•x=1，解得y=，

∴k=x•=y=．故选B．

5. 函数y=的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C.

【解析】函数y=是反比例y=的图象向左移动一个单位，

即函数y=是图象是反比例y=的图象双曲线向左移动一个单位．故选C.

6. 如图所示，在同一直角坐标系中，函数和函数(是常数且≠0)的图象只可能是(   )．

【答案】B；

【解析】可用排除法确定选项．由函数的解析式可知，其图象应过点(0，1)，所以可排除C、D两项；A项中，函数的图象可知＜0，而由函数的图象可知＞0，这是一个矛盾，可排除A项．

7. 如图所示，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作轴的平行线与过点B作轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为（   ）．

A．8       B．6       C．4        D．2

【答案】A；

【解析】设点B的坐标为()，由对称性知点A的坐标为．

∴  ．

∵  点B()在双曲线上，

∴  ．∴  ．

∴  ．

8. 如图，反比例函数的图象经过点A(－1,－2).则当＞1时，函数值的取值范围是（      ）

A. ＞1       B.0＜＜1       C. ＞2       D.0＜＜2      

【答案】D；

【解析】在第一象限，随的增大而减小，且＞0，所以当＞1时，0＜＜2 .

二.填空题

9.直线与双曲线交于A（），B（）两点，则 ＝___________．

【答案】20；

【解析】由题意，所以

.

10.已知与成正比例(比例系数为)，与成反比例(比例系数为)，若函数的图象经过点(1，2)，(2，)，则的值为________.

【答案】9；

【解析】由题意，解得，，.

11. 在函数（为常数）的图象上有三个点（－2，），(－1，)，（，），函数值，，的大小为_________.

【答案】；

【解析】因为，图象在二、四象限，因为－2＜－1，所以，而.

12.已知点A(，5)，B(2，)关于轴对称，若反比例函数的图象经过点C(，)，则这个反比例函数的表达式为____________.

【答案】；

【解析】由题意，，设反比例函数为，∴，

∴.

13.已知（），（），（）是反比例函数的图象上的三个点，并且，则的大小关系是         .

【答案】；

【解析】在第二象限，反比例函数的值随着的增大而增大.

14．设有反比例函数，(，)，(，)为其图象上两点，若，，则的取值范围是_______．

【答案】；

【解析】由题意可判断函数图象在一、三象限，所以，得.

15．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为　　．

【答案】y=﹣；

【解析】过A点向x轴作垂线，如图：

根据反比例函数的几何意义可得：四边形ABCD的面积为3，即|k|=3，

又∵函数图象在二、四象限，

∴k=﹣3，即函数解析式为：y=﹣．