2020-2021学年第23章 图形的相似综合与测试课时作业

第10讲 成比例线段及相似图形

       【学习目标】

1. 平行线分线段成比例及其推论.

2. 平行线分线段成比例及其推论的应用.

3.相似多边形的有关概念.

        【基础知识】

考点一、平行线分线段成比例及其推论

平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.

考点诠释：

(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示：

   等等.

（2）有推论可以得出以下结论：

考点二、行线分线段成比例及其推论的应用

行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度.

考点三、相似多边形的有关概念

相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”.

相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比.

考点诠释：

（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

　　（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.

（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．

   【考点剖析】

考点一：平行线分线段成比例及其推论

例1．如图，直线AD∥BE∥CF，BC= AC，DE=4，那么EF的值是__________.

【思路】根据BC=AC可得，再根据条件AD∥BE∥CF，可得

，再把DE=4代入可得EF的值．

【答案】2.

【解析】

解：∵BC=AC，

∴，

∵AD∥BE∥CF，

∴，

∵DE=4，

∴=2，

∴EF=2．

故答案为：2．

【总结】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

例2、如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．

【思路】根据PQ∥BC可得，进而得出，再解答即可．

【答案】

解：∵PQ∥BC，

∴=，

∴，

∴，

∵AP=AQ，

∴PQ=3．

【总结】此题考查了平行线段成比例，关键是根据平行线等分线段定理进行解答．

举一反三

【变式】如图，直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，已知AC=4，CE=6，BD=3，则BF等于______________.

【答案】7.5.

考点二：平行线分线段成比例及其推论的应用

例3．如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC，△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，AB=7，求CD的长．

【思路】根据△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，可知OB：OD的值，再根据平行线分线段成比例即可求解．

【答案】

解：∵AB∥DC，

∴，

∵△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，

∴，

∴，

∵AB=7，

∴CD= ．

【总结】主要考查了平行线分线段成比例和等高三角形的面积的比等于对应底边的比的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

举一反三

【变式】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（　　）

   A．4.5 B．8 C．10.5   D．14

【答案】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∴，

解得：EC=8．

故选：B．

例4、如图，直线l1∥l2∥l3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF的值为（　　）

   A       B      C    6    D   

【答案】B.

【解析】解：∵直线l1∥l2∥l3，

∴，

∵AB=2，BC=3，DE=1，

∴，

∴EF=，

故选B．

【总结】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的对应线段成比例．

举一反三

【变式】如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（　　）

   A．5：8    B．3：8 C．3：5 D．2：5

【答案】解：∵AD：DB=3：5，

∴BD：AB=5：8，

∵DE∥BC，

∴CE：AC=BD：AB=5：8，

∵EF∥AB，

∴CF：CB=CE：AC=5：8．

故选A．

考点三：相似多边形的有关概念

例5．如图是一个由12个相似（形状相同，大小不同）的直角三角形所组成的图案，它是否有点像一个商标图案？你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案？最好再给你设计的图案取一个名字．

【思路】相似图形是指形状相同的图形．根据相似图形进行变换可以形成一些美丽的图案．

【答案】解：由12个相似的直角三角形形成的图案很有创意，给人以美的享受，可以作为一个商标的图案．

以下几个图案分别是用相似形设计的美丽图案．

【总结】考查的是相似图形，相似图形是指形状相同的图形．把一组相似图形进行变换可以得到美丽的图案．

例6.如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．

（1）求证：EB=GD；

（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．

【思路】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；

（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB=60°得到然后求得EP=2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．

【答案】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，

∴∠EAG=∠BAD，

∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，

∴∠EAB=∠GAD，

∵AE=AG，AB=AD，

∴△AEB≌△AGD，

∴EB=GD；

（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，

∵∠DAB=60°，

∴∠PAB=30°，

∴BP=AB=1，

AP==，AE=AG=，

∴EP=2，

∴EB===，

∴GD=．

【总结】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．

        【真题演练】

一、选择题

1. 下列四组图形中，一定相似的是（　　）

　 A． 正方形与矩形 B． 正方形与菱形

　 C． 菱形与菱形 D． 正五边形与正五边形

【答案】D；

【解析】解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；

B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；

C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；

D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．

故选：D．

2．如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与相等的是(    )

A          B        C        D    

【答案】D.

【解析】解：根据AB∥CD∥EF得到：．

3．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（　　）

A     -1    B   2+     C    +1     D  

【答案】C；

【解析】解：作FG⊥AB于点G，

∵∠DAB=90°，

∴AE∥FG，

∴=，

∵AC⊥BC，

∴∠ACB=90°，

又∵BE是∠ABC的平分线，

∴FG=FC，

在Rt△BGF和Rt△BCF中，

∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），

∴CB=GB，

∵AC=BC，

∴∠CBA=45°，

∴AB=BC，

∴====+1．

故选：C．

4．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（　　）

【答案】C；

【解析】解：设AC交BD于O，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD=OB=BD=3，

当P在OB上时，

∵EF∥AC，

∴==，

∴=，

∴y=x，

当P在OD上时，

同法可得：==，

∴=，

∴y=﹣x+8，

∵两种情况都是一次函数，图象是直线．

故选C．

5．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（　　）

　 A．2 B． 4 C．  D． 

【答案】C；

【解析】∵AB∥CD∥EF，

∴=，即=，

∴BC=，

∴CE=BE﹣BC=12﹣=．

故选C．

6．如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则的值是（　　）

　 A． B．  C．  D． 

【答案】C；

【解析】解：∵AB∥CD∥EF

∴

∵AC=3，CE=4

∴=．

故选C．

二、填空题

7．给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有　       　（填序号）．

【答案】①②④⑤；

8．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是　    　．

【答案】1：3；

【解析】解：由题意可知，相似多边形的边长之比=相似比=2：6=1：3，

故答案为：1：3；

9．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AB=6，AE=3，则AC的长为　　．

【答案】9；

【解析】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴=，

∴=，

∴AC=9，

故答案为：9．

10．如图，在△ABC中，若DE∥BC，=，DE=4cm，则BC的长为　　．

【答案】12cm.

【解析】解：∵DE∥BC，

∴=，

又∵=，

∴，

∴=， 

∴BC=12cm．

故答案为12cm．

11．如图，直线AD∥BE∥CF，BC=AC，DE=4，那么EF的值是　　．

【答案】2.

【解析】解：∵BC=AC，

∴=，

∵AD∥BE∥CF，

∴=，

∵DE=4，

∴=2，

∴EF=2．

故答案为：2．

12．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长为　　         ．

【答案】﹣1.

【解析】解：过F点作FG∥BC．

∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，

∴BD=CD=BC=1，∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°，AD⊥BC，

∵∠ACE=∠BAC，

∴∠CAD=∠ACE=15°，

∴AF=CF，

∵∠ACD=（180°﹣30°）÷2=75°，

∴∠DCE=75°﹣15°=60°，

∵∠ACE=∠BAC，

∴AF=CF.

在Rt△CDF中， CF=2，DF= =，

∵FG∥BC，

∴GF：BD=AF：AD，即GF：1=2：（2+），

解得GF=4﹣2，

∴EF：EC=GF：BC，即EF：（EF+2）=（4﹣2）：2，

解得EF=﹣1．

故答案为：﹣1．

三、解答题

13. 如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF=5：8，AC=24．

（1）求AB的长；

（2）当AD=4，BE=1时，求CF的长．

【解析】（1）解：∵l1∥l2∥l3，EF：DF=5：8，AC=24，

∴==，

∴=，

∴BC=15，

∴AB=AC﹣BC=24﹣15=9．

（2）解：∵l1∥l2∥l3

∴==，

∴=，

∴OB=3，

∴OC=BC﹣OB=15﹣3=12，

∴==，

∴=，

∴CF=4．

14.一个矩形ABCD的较短边长为2．

（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；

（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．

【答案与解析】解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC，

∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，

∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，=，

∴DM•BC=AB•MN，即BC2=4，

∴BC=2，即它的另一边长为2；

（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，

∴=，

∵AB=CD=2，BC=4，

∴DF==1，

∴矩形EFDC的面积=CD•DF=2×1=2．

15．己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．

（1）求证：BE=DF；

（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．

【解析】

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，

∵∠BAF=∠DAE，

∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，

即：∠BAE=∠DAF，

∴△BAE≌△DAF

∴BE=DF；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴△ADG∽△EBG

∴=

又∵BE=DF，=

∴==

∴GF∥BC （平行线分线段成比例）

∴∠DGF=∠DBC

∵BC=CD

∴∠BDC=∠DBC=∠DGF

∴GF=DF=BE

∵GF∥BC，GF=BE

∴四边形BEFG是平行四边形