2022年青海省西宁市城区中考数学试卷（Word解析版）

2022年青海省西宁市城区中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列各数是负数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若长度是，，的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 家务劳动是劳动教育的一个重要方面，教育部基础教育司发布通知要求家长引导孩子力所能及地做一些家务劳动．某校为了解七年级学生平均每周在家的劳动时间，随机抽取了部分七年级学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下频数分布表：

根据表中的信息，下列说法正确的是(    )

A. 本次调查的样本容量是人
B. 本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的中位数落在二组
C. 本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的众数落在四组
D. 若七年级共有名学生，估计平均每周在家劳动时间在四组的学生大约有人

6. 在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆处用一根细线悬挂，左端处挂一重物，右端处挂钩码，每个钩码质量是若，，挂个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为，根据题意列方程得(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；连接，，，过点作于点，于点则以下结论错误的是(    )

A. 是等边三角形 B.
C. ≌ D. 四边形是菱形

8. 如图，中，，边上的高为，点，，分别在边，，上，且设点到的距离为，的面积为，则关于的函数图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20分）

9. 的绝对值是______．
10. 计算： ______ ．
11. 若正边形的一个外角是，则 ______ ．
12. 某校围绕习近平总书记在庆祝中国共产主义青年团成立周年大会上的重要讲话精神，开展了主题为“我叫中国青年”的线上演讲活动．九年级班共有人，其中男生有人，现从中随机抽取人参加该活动，恰好抽中男生的概率是______．
13. 如图，直线与直线交于点当时，的取值范围是______．

14. 在中，，，，则______．
15. 如图，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则______．

16. 如图，等边三角形内接于，，则图中阴影部分的面积是______．

17. 如图，在中，，，，将绕点逆时针方向旋转得到，交于点，则______．

18. 矩形中，，，点在边上，若点是矩形边上一点，且与点，构成以为腰的等腰三角形，则等腰三角形的底边长是______．

三、计算题（本大题共1小题，共7分）

19. 计算：．

四、解答题（本大题共8小题，共69分）

20. 解不等式组：，并写出该不等式组的最大整数解．
21. 解方程：．
22. “青绣”是我省非遗项目，其中土族盘绣、湟中堆绣、贵南藏绣、河湟刺绣等先后列入国家级、省级非物质文化遗产代表作名录．
    省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是______填“全面调查”或“抽样调查”；
    为了增进我省青少年对“青绣”文化的了解，在一次社会实践活动中设置了转盘游戏．如图所示，一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的个扇形，并在每个扇形区域分别标上，，，代表土族盘绣、代表湟中堆绣、代表贵南藏绣、代表河湟刺绣游戏规则：每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就获得相应的绣品若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两名同学获得同一种绣品的概率，并列出所有等可能的结果．

23. 如图，四边形是菱形，于点，于点．
    求证：≌；
    若，，求菱形的边长．

24. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数图象上，连接，过点作轴于点．
    求反比例函数解析式；
    点在第一象限，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．

25. 如图，在中，，点在上，以为直径的与相切于点，交于点，连接，交于点．
    求证：四边形是矩形；
    若，的半径为，求的长．

26. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
    将因式分解．
    【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
    解法一：原式
    
    解法二：原式
    
    【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止
    【类比】请用分组分解法将因式分解；
    【挑战】请用分组分解法将因式分解；
    【应用】“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是和，斜边长是，小正方形的面积是．
    根据以上信息，先将因式分解，再求值．

27. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴于点，将沿所在直线翻折，使点恰好落在抛物线上的点处．
    求抛物线解析式；
    连接，求的面积；
    抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：既不是正数也不是负数，故A不符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，，故C不符合题意；
D.，故D符合题意；
故选：．
先化简各式，然后再进行判断即可．
本题主要考查了负数的定义．解题的关键是掌握负数的定义，要注意既不是正数，也不是负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：长度是，，的三条线段能组成一个三角形，
，
，
只有选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意；
故选：．
根据三角形三边关系定理得出，求出，再逐个判断即可．
本题考查了三角形的三边关系定理，能熟记三角形的三边关系定理是解此题的关键，注意：三角形的任意两边之和都大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
 

3.【答案】 

【解析】解：，不是同类项，不能合并，
不合题意．
，
不合题意．
，
符合题意．
，
不合题意．
故选：．
用完全平方公式，合并同类项，幂的运算法则依次判断即可．
本题考查完全平方公式，合并同类项，幂的运算法则，掌握相应法则是求解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程没有实数根，
，
，
，
．
故选A．
利用的符号求出的范围．
本题考查一元二次方程解的情况，掌握一元二次方程没有实数根的条件是求解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：本次调查的样本容量是，原说法错误，故本选项不合题意；
B.本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的中位数落在二组，说法正确，故本选项符合题意；
C.无法判断本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的众数落在哪一组，原说法错误，故本选项不合题意；
D.若七年级共有名学生，估计平均每周在家劳动时间在四组的学生大约有人，原说法错误，故本选项不合题意．
故选：．
利用样本容量、众数、中位数及样本估计总体分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了样本容量、众数、中位数及样本估计总体，理解这些概念的意义是正确做出判断的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
利用重物的质量的长度个钩码的质量的长度，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，
，
，
是等边三角形，
的结论正确，不符合题意；
分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，
，
在和中，
，
≌，
．
，，
．
的结论正确，不符合题意；
，，
．
在和中，
，
≌．
的结论正确，不符合题意；
由作图过程可知：与不一定相等，
四边形是菱形不成立，
的结论错误，符合题意，
故选：．
利用等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，和菱形的判定定理对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，基本作图和菱形的判定定理，利用基本作图的过程得出线段相等的条件是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点向作于点，

根据相似比可知：，
即
所以．
与的关系式为：．
纵观各选项，只有选项图象符合．
故选：．
可过点向作于点，所以根据相似三角形的性质可求出，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出与的函数关系式是解题的关键，也是本题的难点．
 

9.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：．
利用绝对值定义计算即可．
考查绝对值的计算，关键要掌握绝对值的定义．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故填．
根据单项式乘单项式，把系数和相同字母分别相乘，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数，作为积的一个因式．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算即可．
先确定符号，相应的关于整式乘除法的法则需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用多边形的外角和即可解决问题．
主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数直接让度除以外角即可．
 

12.【答案】 

【解析】解：共有人，男生有人，
随机抽取人，恰好抽中男生的概率是．
故答案为：．
直接根据概率求解即可．
此题考查了概率的求法．通过所有可能的结果求出，再从中选出符合事件结果数目，然后根据概率公式求出事件概率．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线与直线交于点，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
根据两函数的交点坐标和函数的图象得出的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，能正确根据函数图象得出不等式的解集是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得：，
所以，
故答案为：．
根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出即可．
本题考查了解直角三角形，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：是的中位线，
．
，是的中点，
，
．
故答案为：．
利用三角形中位线定理得到由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．
本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．
 

16.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
故答案为：．
根据等边三角形的性质可得，，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．
本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，，，
将绕点逆时针方向旋转得到，
≌，，
，，
．
先在含锐角的直角三角形中计算出两条直角边，再根据旋转性质得到对应边相等、对应角相等得到，，即可解答．
本题考查了旋转的性质，含度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质的应用，解题关键是熟练掌握旋转的性质．
 

18.【答案】或 

【解析】解：如图所示，

当时，
，
是等腰直角三角形，
底边；
当时，
，，
，
底边；
综上所述：等腰三角形的底边长为或；
故答案为：或．
分情况讨论：当时，则是等腰直角三角形，得出底边即可；
当时，求出，由勾股定理求出，再由勾股定理求出底边即可．
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，二次根式的化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，
该不等式组的最大整数解为． 

【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．
 

21.【答案】解：方程两边同乘以得：
．
去括号得：
，
移项，合并同类项得：
．
检验：当时，，
是原方程的根．
． 

【解析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．
本题主要考查了解分式方程，利用解分式方程的一般步骤解答是解题的关键．
 

22.【答案】抽样调查 

【解析】解：省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，分别为、、、、、、、、、、、、、、、，
其中甲，乙两名同学获得同一种绣品的结果有种，
甲，乙两名同学获得同一种绣品的概率为．
由题意即可得出结论；
画树状图，共有种等可能的结果，分别为、、、、、、、、、、、、、、、，其中甲，乙两名同学获得同一种绣品的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及抽样调查．树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：设菱形的边长为，
，，
，
≌，
，
在中，根据勾股定理得，
，
即，
解得，
菱形的边长是． 

【解析】由菱形的四条边相等、对角相等的性质知，；然后根据已知条件“，”知；最后由全等三角形的判定定理证明≌；
由全等三角形≌的对应边相等知，然后根据菱形的四条边相等求得，设，已知，则，利用勾股定理即可求出菱形的边长．
本题考查了菱形的性质，解题的关键熟记菱形的性质并灵活运用．菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
 

24.【答案】解：正比例函数与反比例函数的图象交于点，
，
，
，
．
反比例函数的表达式为：．
当时，，
．
．
在第一象限，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
，，
轴，
的坐标为或． 

【解析】先求，再求解析式．
数形结合，利用平行四边形的性质求的坐标．
本题考查求反比例函数表达式及点的坐标，掌握待定系数法，充分利用平行四边形性质是求解本题的关键．
 

25.【答案】证明：是的直径，
，
．
与相切于点，
，
．
又，
，
，
四边形是矩形．
解：在中，，，，
，
．
，
，
∽，
，即，
，
．
又四边形是矩形，
． 

【解析】利用直径所对的圆周角是直角及邻补角互补，可求出，由与相切于点，利用圆的切线垂直于过切点的半径可得出，进而可得出，结合，可得出，再利用四个角都是直角的四边形是矩形，即可证出四边形是矩形；
在中，利用勾股定理可求出的长，进而可得出的长，由，利用“同位角相等，两直线平行”可得出，进而可得出∽，利用相似三角形的性质可求出的长，结合可求出的长，再利用矩形的对边相等，即可求出的长．
本题考查了矩形的判定、相切、勾股定理、平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：根据各角之间的关系，找出四边形的四个角均为直角；利用勾股定理及相似三角形的性质，求出的长度．
 

26.【答案】解：原式

；
原式

；
原式


，
，，
原式． 

【解析】用分组分解法将因式分解即可；
用分组分解法将因式分解即可；
先将因式分解，再求值即可．
本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．
 

27.【答案】解：将沿所在直线翻折，使点恰好落在抛物线上的点处，点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为．
将，代入，
得：，解得：，
抛物线的解析式为．
当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，解得：，
直线的解析式为．
点在直线上，轴于点，当时，，
点的坐标为．
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
，，，
，
的面积为．
存在，理由如下：
点的坐标为，点的坐标为，
．
在中，，，
．
点在抛物线上，
设点的坐标为．
当点在轴上方时记为，过点作轴于点，
在中，，，
，即，
解得：不合题意，舍去，，
点的坐标为；
当点在轴下方时记为，过点作轴于点，
在中，，，
，即，
解得：不合题意，舍去，，
点的坐标为．
综上所述，抛物线上存在一点，使，点的坐标为或． 

【解析】由点的坐标可得出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，再利用三角形的面积计算公式，结合，即可求出的面积；
存在，由点，的坐标可得出，结合可得出，设点的坐标为，分点在轴上方及点在轴下方两种情况考虑：当点在轴上方时记为，过点作轴于点，则，进而可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将符合题意的值代入点的坐标中即可求出点的坐标；当点在轴下方时记为，过点作轴于点，则，进而可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将符合题意的值代入点的坐标中即可求出点的坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、等腰直角三角形以及解一元二次方程，解题的关键是：根据点，的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；利用三角形的面积计算公式，结合求出的面积；分点在轴上方及点在轴下方两种情况，求出点的坐标．