2022年湖南省益阳市中考数学试卷（Word解析版）

2022年湖南省益阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 四个实数，，，中，比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式中，运算结果等于的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若是方程的一个根，则此方程的另一个根是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知一个函数的因变量与自变量的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在某市组织的物理实验操作考试中，考试所用实验室共有个测试位，分成组，同组个测试位各有一道相同试题，各组的试题不同，分别标记为，，，，，，考生从中随机抽取一道试题，则某个考生抽到试题的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图所示，将长为的矩形纸片沿虚线折成个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图所示的三棱柱形物体，则图中的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在▱中，，点是上一点，，连接，过点作，交的延长线于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，平分，以点为圆心，以任意长为半径画弧交射线，于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接，以下说法错误的是(    )

A. 到，边的距离相等 B. 平分
C. 是的内心 D. 到，，三点的距离相等

10. 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：，，，，正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32分）

11. 的绝对值是______．
12. 计算：______．
13. 已知，同时满足与，则的值是______．
14. 反比例函数的图象分布情况如图所示，则的值可以是______写出一个符合条件的值即可．

15. 如图，，表示以为起点的两条公路，其中公路的走向是南偏西，公路的走向是南偏东，则这两条公路的夹角______

16. 近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的种候鸟的情况，从中捕捉只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，只种候鸟中有只佩有识别卡，由此估计该湿地约有______只种候鸟．
17. 如图，在中，，若，则______．

18. 如图，将边长为的正方形沿其对角线平移，使的对应点满足，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是______．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 计算：．
20. 如图，在中，，，于点，且求证：≌．

21. 如图，直线与轴交于点，点关于轴的对称点为，经过点和轴上的点的直线设为．
    求点的坐标；
    确定直线对应的函数表达式．

22. 为了加强心理健康教育，某校组织七年级两班学生进行了心理健康常识测试分数为整数，满分为分，已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
    
    求班学生中测试成绩为分的人数；
    请确定下表中，，的值只要求写出求的计算过程；

从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．

23. 如图，是圆被直径分成的半圆上一点，过点的圆的切线交的延长线于点，连接，，．
    求证：；
    若，求的度数；
    在的条件下，若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号．

24. 在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控、两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少，两人各收割亩水稻，乙则比甲多用小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为，．
    甲、乙两人操控、型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？
    某水稻种植大户有与比赛中规格相同的亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过，则最多安排甲收割多少小时？
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点在抛物线：上，直线与抛物线，分别交于点，．
    求的值；
    将，的纵坐标分别记为，，设，若的最大值为，则的值是多少？
    是轴的正半轴上一点，且的中点恰好在抛物线上．试探究：此时无论为何负值，在轴的负半轴上是否存在定点，使总为直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26. 如图，矩形中，，，是边上一点不与点重合，作于，于，延长至点，使，连接，．
    直接写出图中与相似的一个三角形；
    若四边形是平行四边形，求的长；
    当的长为多少时，以，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据负数都小于零可得，．
故选：．
利用零大于一切负数来比较即可．
本题考查了实数的大小比较，解答此题关键要明确：正实数零负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是同类项，不能进行合并运算，选项A不符合题意；
B、，选项B不符合题意；
C、，选项C符合题意；
D、，选项D不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的运算及整式的加减运算进行计算判断即可．
本题考查了同底数幂的运算及整式的加减运算，熟记同底数幂的运算的运算法则及整式的加减运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不等式组的解集为，不在这个范围内，故选项A不符合题意；
B、不等式组的解集为，不在这个范围内，故选项B不符合题意；
C、不等式组无解，不在这个范围内，故选项C不符合题意；
D、不等式组的解集为，在这个范围内，故选项D符合题意．
故选：．
先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断是否是解集一个解．
本题考查了不等式组的解集，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．
 

4.【答案】 

【解析】解：设另一个根是，
，
，
故选：．
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据表中数据可以看出：的值是值的倍．
．
故选：．
观察表中，的对应值可以看出，的值恰好是值的倍．从而求出与的函数表达式．
本题考查了列正比例函数表达式，解题的关键是根据所给的数据找出自变量与因变量之间的关系．
 

6.【答案】 

【解析】解：总共有道题，试题共有道，
抽到试题，
故选：．
根据抽到试题的概率试题出现的结果数所有可能出现的结果数即可得出答案．
本题考查了概率公式，掌握到试题的概率试题出现的结果数所有可能出现的结果数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：长为的线段围成等腰三角形的两腰为则底边长为．
由题意得，．
解得．
所给选项中分别为：，，，．
只有符合上面不等式组的解集．
只能取．
故选：．
本题实际上是长为的线段围成一个等腰三角形．求腰的取值范围．
本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是把把三棱柱的问题转化为三角形三边的问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质可知，已知，则，再判定四边形是平行四边形，则，，即可求出．
本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键，平行四边形的判定；两组对边分别平行的四边形是平行四边形定义判定法；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对边平行判定；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作图可知，是的平分线，
到，边的距离相等，故选项A正确，不符合题意；
平分，三角形三条角平分线交于一点，
平分，故选项B正确，不符合题意；
是的内心，故选项C正确，不符合题意，
到，，的距离相等，不是到，，三点的距离相等，故选项D错误，符合题意；
故选：．
根据作图先判断平分，再由三角形内心的性质解答即可．
本题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转得到，
故正确；
绕点逆时针旋转，
．
，
．
，
．
故正确；
在中，
，，
．
．
与不垂直．故不正确；
在中，
，，
．
故正确．
这三个结论正确．
故选：．
根据旋转的性质可得，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可．
本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
根据绝对值的意义，求出结果即可．
本题考查绝对值的意义，理解负数的绝对值等于它的相反数．
【解答】
解：根据负数的绝对值等于它的相反数可得，，
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：
根据同分母分式加减法则进行计算即可．
本题考查了同分母分式的加减，同分母分式的加减，分母不变，分子相加减．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
观察已知和所求可知，，将代数式的值代入即可得出结论．
本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键．
 

14.【答案】答案不唯一． 

【解析】解：由反比例函数的图象位于第二，四象限可知，，
，
的值可以是，
故答案为：答案不唯一．
根据反比例函数的图象所处的位置确定的符号，从而确定的范围，可得答案．
考查了反比例函数的性质及图象，解题的关键是掌握反比例函数的性质，难度不大．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图：

由题意得：
，，
，
故答案为：．
根据题意可得，，然后进行计算即可解答．
本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设该湿地约有只种候鸟，
则：：，
解得．
故答案为：．
在样本中“只种候鸟中有只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
 

17.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
．
故答案为：．
根据三角函数的定义即可得到．
本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若，则，熟知相关定义是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：正方形的边长为，
，
，
，
由题意可得重叠部分是正方形，
．
故答案为：．
由正方形边长为，可求，则，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．
本题考查了正方形的性质，平移的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】利用零指数幂的意义，有理数的乘法，二次根式的性质化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，有理数的乘法，二次根式的性质，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，，
，
，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】由垂直的定义可知，，由平行线的性质可得，，进而由可得结论．
本题主要考查全等三角形的判定，垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题基础．
 

21.【答案】解：令，则，
，
．
点关于轴的对称点为，
．
设直线的函数表达式为，
，
解得：，
直线对应的函数表达式为． 

【解析】利用直线解析式求得点坐标，利用关于轴的对称点的坐标的特征解答即可；
利用待定系数法解答即可．
本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，关于轴的对称点的坐标的特征，利用待定系数法解得是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意知，班和班人数相等，为：人，
班学生中测试成绩为分的人数为：人，
答：班学生中测试成绩为分的人数是人；
由题意知，；
；；
答：，，的值分别为，，；
根据方差越小，数据分布越均匀可知班成绩更均匀． 

【解析】根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论；
根据中数据分别计算，，的值即可；
根据方差越小，数据分布越均匀判断即可．
本题主要考查统计的知识，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
 

23.【答案】证明：是半圆的直径，
，
是半圆的切线，
，
，
；
解：由知，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
答：的度数是；
解：由知，
，
，，
，
阴影部分的面积是，
答：阴影部分的面积是． 

【解析】由是半圆的直径，是半圆的切线，可得，即得；
由，可得，从而，，可得的度数是；
，可得，，即得，故阴影部分的面积是．
本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．
 

24.【答案】解：设甲操控型号收割机每小时收割亩水稻，则乙操控型号收割机每小时收割亩水稻，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲操控型号收割机每小时收割亩水稻，乙操控型号收割机每小时收割亩水稻．
设安排甲收割小时，则安排乙收割小时，
依题意得：，
解得：．
答：最多安排甲收割小时． 

【解析】设甲操控型号收割机每小时收割亩水稻，则乙操控型号收割机每小时收割亩水稻，利用工作时间工作总量工作效率，结合乙比甲多用小时完成任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出甲操控型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入中即可求出乙操控型号收割机每小时收割水稻的亩数；
设安排甲收割小时，则安排乙收割小时，根据要求平均损失率不超过，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】解：由题意可知，抛物线：的顶点的坐标为，
点在抛物线：上，
，
．
直线与抛物线，分别交于点，，
，，



，
，
当时，的最大值为，
的最大值为，
，解得，
，
．
存在，理由如下：
设点的坐标为，则，
，
点在轴正半轴上，
且，
，
，．
如图，过点作轴的垂线，分别过点，作轴的平行线，与分别交于，，

，，
，
，
，
∽，
：：，即．
，，，

解得．
 

【解析】由抛物线的顶点式可直接得出顶点的坐标，再代入抛物线即可得出结论；
根据题意可分别表达，的纵坐标，再根据二次函数的性质可得出的值；
过点作轴的垂线，分别过点，作轴的平行线，与分别交于，，则∽，设出点的坐标，可表达点和点的坐标，进而可得出结论．
本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，构造相似得出方程是解题关键．
 

26.【答案】解：任意回答一个即可；
如图，∽，理由如下：

四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
∽；
∽，理由如下：
，
，
，
，
∽；
∽，理由如下：
，
，
，
∽；
四边形是平行四边形，
，
由知：∽，
，即，
设，，
，
，
，
∽∽，
，即，
；
分两种情况：
当时，如图，

，
，
，
四边形是菱形，
，
由知：，，
，
∽，
，即，
，
；
当时，如图，

由知：∽，
，
设，，
，
，，
，
，
，
，
；
综上，当的长为长为或时，以，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形． 

【解析】因为是直角三角形，所以和它相似的三角形都是直角三角形，有三个直角三角形相似和相似，解答时任意写出一个即可；
根据∽，得，即，设，，根据∽∽，列比例式可得的长；
分两种情况：当时，如图，当时，如图，根据三角形相似列比例式可得结论．
本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．