初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试练习

八年级秋季班 同步提高宝典

第一章 勾股定理周末教案（第一周 课时1）

第一节 探索勾股定理

【知识梳理】

相关知识链接：直角三角形的两锐角互余， 直角所对的边最长.

知识点一、 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.

若ΔABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A， ∠B， ∠C的对边， 则勾股定理用字母可以表示为a2+b2=c2 ；它的变形公式有b2=c2-a2， a2=c2-b2 .

【例1】直角三角形的两条直角边分别为1cm和2cm，一正方形的边长恰好等于这个直角三角形的斜边，则这个正方形的面积为(     )A.3cm2       B. 4cm2       C. 5cm2        D.6cm2

【例2】已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是          .

考点2 勾股数：若正整数a，b， c满足关系式a2+b2=c2， 则称a，b， c为勾股数.

常用的七组勾股数(必记)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，12，15；9，40，41；

【例3】一直角三角形的斜边比一直角边大4，另一直角边长为8，则斜边长为         .

【例4】在RtΔABC中，∠C=90º，则：(1)若a=12，b=16，则c=        ； (2)若a=10，c=26，则b=        .

考点3 勾股定理的验证：(1)推导勾股定理时面积相等是关键；(2)由面积之间的等量关系并结合图形 利用代数恒等变形进行推导；(3)拼图法推导一般遵循以下步骤：拼出图形-找出图形面积的表示式-恒等变换-推导出勾股定理

☆【例5】 如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图．(2)证明勾股定理．

第2节   一定是直角三角形吗

【知识梳理】

知识点 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

点拨：判断一个三角形是否为直角三角形，常用的方法有：

【例6】满足下列条件的ΔABC，不是直角三角形的是(     )

A. b2=c2-a2     B. a:b:c=3:4:5     C. ∠C=∠A-∠B     D. ∠A:∠B:∠C=12:13:15

【例7】 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(     )

【例8】如图，长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求AE的长

（例8）

解析：图形的折叠是勾股定理应用非常典型的一类题型，此类题往往是把一条已知的线段“一折为二”，而且折成的两条线段刚好在同一个直角三角形里，我们只需要找到折叠后的直角三角形，把三边都表示出来（一边设为x，另一边用已知长度减去x，第三边已知），就能利用勾股定理列方程来解答。

【习题精练】

1.下列四组数据不能作为直角三角形三边长的是（     ）

A. 0.6、0.8、1          B. 5、12、13           C. 9、15、12          D. 12、16、22

2.如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是 (     )  A. 12米    B. 13米    C. 14米     D. 15米

3. 在ΔABC中,若AC2+AB2=BC2, 则下列说法不正确的是（     ）

A. 三角形的斜边为BC边   B.∠A+∠B=90o.   C.三角形三边长可能为24,7,25    D.三角形三边长可能为0.3,0.4,0.5

4．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　 　）

A．b2=a2﹣c2                        B．a：b：c=3：4：5   

C．∠C=∠A﹣∠B                   D．∠A：∠B：∠C=3：4：5

5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b分别为直角边，c为斜边，求下列问题。

（1）已知a=5，b=12，则c=     ;                （2）已知c=17，b=15， a=     ;

（3）已知a:b=3:4，且c=10，则a=     ， b=     。（4）若a:b=5:12,c=39，则a=        ,b=         .

6.已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2         。

7.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在AB上，且与AE重合，求CD的长。

（7题）

【提高训练】

☆1.在ΔABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC的长是        .

☆2.如图所示的是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x,y表示直角三角形的两直角边（x>y)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（     ）

1. x2+y2=49         B. x-y=2          C. 2xy+4=49           D. x+y=13

（2题）

【培优训练】

☆☆1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90º,∠CAD=∠BAD,DC=3,BD=5,求AC的长.     

(1题)

☆☆2. 如图所示，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ。⑴猜想AP与CQ之间的数量关系，并说明你的理由。⑵若PA=3，PB=4，,PC=5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由。

（2题）

第一章 勾股定理周末教案（第一周 课时2）

第3节   勾股定理的应用

【知识梳理】

知识点一、 勾股定理的应用：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量的关系， 是直角三角形的重要性质， 也是直角三角形中有关计算的主要依据. 其主要作用有：已知直角三角形的两边， 求第三边， 证明含平方关系的式子等等。

知识点二、 勾股定理应用典型---路线最短问题：（解决路线最短问题的依据是两点之间， 线段最短。）

几何体上两点之间最短路线的求解关键是将几何体图形展成平面图形. 把这两点统一到一个平面内， 再运用勾股定理求解.利用勾股定理求长度问题的关键是建立数学模型，构造直角三角形，转化成已知直角三角形两边长，求另一边长的问题。

点拨：①应用勾股定理时，必须分清谁是斜边，谁是直角边.要注意表示直角三角形的各边的字母a、b、c并非是一成不变的。

②看似不可以用勾股定理解决的图形，可通过添加辅助线的办法构造出直角三角形，再利用勾股定理解答问题。

③求长方体(或正方体)表面上两点间的最短路线长方法：先将长方体(或正方体)的表面展成平面图形，展开时一般要考虑各种可能的情况.在各种可能的情况中，分别确定两点的位置并连接成线段，再利用勾股定理分别求其长度，长度最短的路线为最短路线。

④求圆柱侧面上两点间的最短路线长方法：先将圆柱的侧面展开，圆柱的侧面展开图是长方形， 长方形的长是原来圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高.确定两点的位置，两点连接的线段即为最短路线，再在直角三角形中，利用勾股定理求其长度即可。

【例1】如图所示，一个圆柱体高20cm，底面半径为5cm，在圆柱体下底面的A点处有一只蚂蚁，想吃到与A点相对的上底面B处的一只已被粘住的苍蝇，这只蚂蚁从A点出发沿着圆柱形的侧面爬到B点，则最短路程是      (取3)。

(例1)(例2)(例3)

【例2】在一个长6 m、宽3m、高2m的房间里放一根竹竿，则竹竿最长是       m．

【例3】如图，以直角三角形三边为边长作正方形，其中两个以直角边为边长的正方形面积分别为225和400，则正方形A的面积是    625    .

【例4】如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB、BC两条路可到达公路，经测量BC=6km，BA=8km，AC=10km，现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为       ．

（例4）

【例5】如图，在一个高BC为6米，长AC为10米，宽为2.5米的楼梯表面铺设地毯，若每平方米地毯50元，请你帮助算出铺设地毯至少需要花费多少钱？

(例5)

☆【例6】在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是多少？

（例6）

【习题精练】

1. 如图所示,把长方形纸条ABCD沿EF,GH同时折叠,B、C两点恰好落在AD边上的P点处,若∠FPH=90º,PF=8,PH=6,则长方形ABCD的边BC长为(    ) A.20        B.22        C.24        D.30

（1题）（2题）

2.如图所示,一个大正方形被两条线段分割成两个小正方形和两个小长方形,若两个小正方形的面积分别为3和6,则小长方形的对角线AB的长为(    )A.3        B.6        C.9        D.18

3. 如图所示,长方体的高为3,底面是边长为2的正方形,现有一小虫从顶点A出发,沿长方形侧面到达顶点C处,小虫走的路线最短为(     )A. 4      B. 5      C. 6      D. 7 

（3题）（4题）(5题)

4.如图所示，一只鸭子从边长12m的正方形水池一角A处游到水池一边的处（即B点），则它游的最短路程为      

5. 如图，由Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm，则正方形M与正方形N的面积之和为       cm2

6.一个三角形三条边的长分别为15cm，20cm，25cm，这个三角形最长边上的高是      .(等面积法)

7. 如图所示，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米（即BC=140米），其结果是他在水中实际游了500米（即AC=500米），求该河的宽度AB.

(7题)

8. 如图(1)所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图(2)所示，测得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？

(8题)

【提高训练】

☆1小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水平刚好相齐,河水的深度为(    ).A.2m       B.2.5cm        C.2.25m       D.3m

（1题答图）

2. 如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.

(2题)

3. 如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3 cm，AB=8 cm，求图中阴影部分面积.

(3题)

【培优训练】

☆☆1. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

(1题)

☆☆2. 如图Rt△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知CB=9，AB=17，AC=10，求AD的长

（2题）

第一章 勾股定理（第一周 强化训练1）

一、、选择题

1. 满足下列条件的ΔABC,不是直角三角形的是(    )

A. b2=c2-a2     B. a:b:c=3:4:5     C. ∠C=∠A-∠B     D. ∠A:∠B:∠C=12:13:15

2. 已知一个直角三角形的两边长分别为6和8,则第三边长的平方是(    )A. 10     B. 100     C.64     D. 28或100

3.下列各组数，是勾股数的是（    ） A.0.3，0.4，0.5      B.60，80，99      C.      D.9，40，41

4. 在△ABC中，AB＝12cm，BC＝16cm，AC＝20cm，则S△ABC为(    ).A．96    B．120cm2     C．96cm2      D．200cm2

5. 一个圆柱形油桶的底面半径为12cm，高为32cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为(    )

A. 20cm        B. 40cm         C. 45cm         D. 50cm

6. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（    ）A．11米      B．12米      C．13米      D．14米

（6题）

二、填空题

7. 周长为24，斜边长为10的直角三角形的面积为       。

8. 如图所示，一个透明的直圆柱状的玻璃杯，由内部测得其底部半径为3cm,高为8cm,今有一支12cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度至少为     .

(8题)(9题)

9. 图所示,直线l上有3个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为        .（“K”型图全等）

三、解答题

10. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，斜边AB的垂直平分线DE交边AC于点D，连接BD，求线段CD的长

(10题)

【提高训练】

☆1. 有下列判断①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；③△ABC中，a2-b2=c2，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，则(a+b)(a-b)=c2，正确的有(    )

A. 4个      B. 3个       C. 2个        D. 1个

☆2. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？

(2题)

☆3. 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2．

(3题)

【培优训练】

☆☆1.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．

（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．

（1题）

☆☆2. 在一棵树的10m高处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20m的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处,如果两只猴子所经过的路程相等,试问这棵树有多高？

(2题)

【附加题】

1．下组给出的四组数中，是勾股数的一组是（　　）

A．3，4，6       B．15，8，17   C．21，16，18       D．9，12，17

2.已知x、y为正数，且│x2-4│+(y2-3)2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为(    )A. 5        B. 25        C. 7           D. 15

3.一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是        ．

4.若一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，且a2=9，b2=16，则c2为          。

☆5.如图所示，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB，EF=10cm，则CE2+CF2=          .

(5题)

☆☆6. 在△ABC中，AB=15cm，AC=41cm，高AD=9cm，则BC=                  

☆☆7. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么(a+b)2的值是        .

(7题)