北师大版九年级上册数学：第2周末教案+强化（学生版）

九(上)  第二章  一元二次方程  （第二周周末教案 课时3）

第五节  一元二次方程根与系数的关系

【知识梳理】

知识点一、一元二次方程的根与系数的关系的应用

1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程（）的两个根是，则        ，        。

注意：只有在方程有根，即的前提下才有此结论。

2. 由韦达定理可知方程的两根之和与两根之积，利用此可解决一些关于两根之和、之积、两根的倒数和、两根的平方和等一类的问题。

如，=    ；= ；=        。

【例1】一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是(      )

A. x1=﹣1，x2=2      B. x1=1，x2=﹣2    C. x1+x2=3    D. x1x2=2

【例2】已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为(      )

A. 4，﹣2    B. ﹣4，﹣2    C. 4，2    D. ﹣4，2

【例3】设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=        .

第六节  应用一元二次方程

知识点二、一元二次方程的应用--利润问题

此类问题常见的等量关系是：利润=售价－进价，总利润=总售价-总成本=    单利（单件商品的利润）×销量（销售数量）    ，利润率=（变形得：利润=成本×利润率，戌本=）。

【例4】高盛超市准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个. (1)设每个小家电定价增加x元，每售出一个小家电可获得的利润是多少元？(用含x的代数式表示)(2)当定价增加多少元时，商店获得利润6000元？

知识点三、一元二次方程的应用--几何图形的面积问题

 几何图形的面积问题：面积公式是此类问题的等量关系。

【例5】某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米. 设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米

(1)用含x的代数式表示平行于墙的一边的长为        米，x的取值范围为        ；

(2)这个苗圃园的面积为88平方米时，求x的值.

知识点四、一元二次方程的应用--平均增长（降低）率问题

1. 此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）    两    次得到的新的数据。常见的等量关系是：a(1+x)2=b，其中b为  增长（或降低）后    的数量，a为    增长（或降低）前  的数量，x为    增长率（降低率）    。

【例6】受某种因素影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降，由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x，则根据题意可列方程为    16(1-x)2=9    ，下调的百分率为   25%    。

知识点六、一元二次方程的应用--动点问题

1. 此类问题是一般几何题的延伸，要学会用运动的观点看问题，根据条件设出未知数，并且把图中变化的线段用    未知数    表示出来，再根据题中给出的等量关系（可以是图形的面积、勾股定理等）列出方程。

【例7】如图，在△ABC中，AB=m， BC=40m，∠C=90o，点P从点A开始沿AC边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着CB匀速移动，几秒时，△PCQ的面积等于450m2？

【习题精练】

1. 已知关于x的一元二次方程x2-2x-3=0两实数根为x1、x2，则x1+x2的值是(      )

 A. 3                   B. -3                    C. 2                     D. -2

2. 已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为(      )

 A. 5                   B. ﹣1                   C. 2                     D. ﹣5

3. 已知关于x的方程2x2﹣6x+m=0的两个根互为倒数，则m的值为(      )

 A.                   B. ﹣                  C. 2                    D. ﹣2

4．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（    ）

A．560（1+x）2=315         B．560（1﹣x）2=315         C．560（1﹣2x）2=315       D．560（1﹣x2）=315

5. 已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足，则k的值是          .

6. 某商店进了一批服装，进货单价为50元，如果按每件60元出售可销售800件. 如果每件升价1元出售，其销售量就减少20件. 现在要获利12000元. 问这批服装销售应定价多少为宜？这时应进多少件服装？

7. 如图，某花园小区，准备在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的人行小路(两条小路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2，求要修建的小路宽为多少米？

【提高训练】

☆1．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（    ）

A．5个                      B．6个                    C．7个                   D．8个

☆2．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得        ．

【培优训练】

☆☆1. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为(      )

A. ﹣1                       B. 0                      C. 2                      D. 3

☆☆2. 若k＞1，关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0的根的情况是（      ）

A．有一正根和一负根         B．有两个正根              C．有两个负根             D．没有实数根

☆☆3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为多少？

九(上)  第二章  一元二次方程总复习  （第二周周末教案 课时4）

一、选择题

1．下列方程是一元二次方程的是（    ）

A、          B、         C、           D、

2. 若x1，x2是一元二次方程x2+4x-2016=0的两个根，则x1+x2-x1x2的值是(    )

A. -2012              B. -2020                    C. 2012                 D. 2020

3. 已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2，则另一个根为(    )

A. 2                  B. 3                        C. 4                    D. 8

4．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为（    ）

A．9.5%               B．20%                     C．10%                      D．11%

5. 李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为(      )

A.        B. n(n﹣1)=20              C.           D. n(n+1)=20

6. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道. 若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(      )

A. x2+9x﹣8=0         B. x2﹣9x﹣8=0             C. x2﹣9x+8=0                D. 2x2﹣9x+8=0

二、填空题

7. 若△ABC的一边为4，另两边分别满足x2﹣5x+6=0的两根，则△ABC的周长为           .

8. 已知关于x的方程x2﹣kx+6=0的两根分别是x1，x2，且满足+=3，则k的值是        .

9. 某初三班学生上军训课，把全班人数的排成一列，这样排成一个正方形的方队还有7个人站在一旁观看，此班有学生      人。

三、解答题

10. 贾汪区某企业2012年收入2500万元，2014年收入3600万元. (1)求2012年至2014年该企业收入的年平均增长率；(2)根据(1)所得的平均增长率，预计2015年该企业收入多少万元？

11. 如图，有一段15m长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF.

(1)怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？(2)长方形场地面积能达到130m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由.

12. 为迎接“五一”节的到来,某食品连锁店对某种商品进行了跟踪调查,发现每天它的销售价与销售量之间有如图所示的关系,如果单价从最高25元/千克下调到x元/千克时,销售量为y千克,已知y与x之间的函数关系是一次函数：
（1）求y与x之间的函数解析式；（不写自变量的取值范围）
（2）若该种商品成本价是15元/千克,为使“五一”节这天该商品的销售总利润是200元,那么这一天每千克的销售价应定为多少元？

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A出发沿AC向C点以1cm/s的速度匀速移动，点Q从C出发沿CB向B点以2cm/s的速度移动，点P、Q分别从起点同时出发，问出发后多长时间△PCQ的面积等于8cm2？

【提高训练】

☆1．设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则的值为（     ）

A．5                    B．﹣5                  C．1                  D．﹣1

☆2．对于任意的实数x，代数式x2-5x+10的值是一个(       )

A.正数        B.非负数        C.整数        D.不能确定的数

☆3. 若关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为x1，x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值.

【培优训练】

☆☆1．已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是           ．

☆☆2. 一超市在销售中发现“佳宝”牛奶平均每天可售出20箱，每箱盈利4元，为了迎接“中秋”、“国庆”佳节，超市为了扩大销售、增加盈利，若每箱降价0.4元，则平均每天多卖8箱．(1)要想平均每天销售这种牛奶中盈利120元，同时尽可能让利于消费者，每箱牛奶应降多少元？(2)降价多少钱时，每天就销售这种牛奶盈利额最大，最大盈利额是多少？

☆☆3．甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？

第二章  一元二次方程（第2周  强化训练2）

一、选择题.

1. 方程(x﹣1)(x﹣3)=5化为ax2+bx+c=0形式后，a，b，c的值分别为(    )

A. 1，4，3          B. 1，﹣4，3           C. 1，﹣4，﹣2         D. 1，﹣4，2

2．配方法解方程，下列配方正确的是（    ）                     

A．      B．          C．        D．

3. 关于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣1)x+m+3=0的两根为x1，x2，且满足x1x2﹣x1﹣x2=1，则m的值为(    )

A. 3               B. ﹣3                  C.                 D. ﹣

4. 已知是方程的两个根，则的值为（    ）

A、            B、2                   C、                 D、-2

5．元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（    ）

A．x（x﹣1）=90    B．x（x﹣1）=2×90     C．x（x﹣1）=90÷2           D．x（x+1）=90

6. 若关于x的一元二次方程(m+1)x2+5x+m2﹣2m﹣3=0的常数项为0，则m的值等于(    )

A. 0               B. ﹣1                 C. ﹣1或3                   D. 3

7. 若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是(      )

A. k＜1            B. k≤1                 C. k＜1且k≠0              D. k≤1且k≠0

8．已知一次函数y=ax+c的图象如图所示，那么一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是（    ）

A．方程有两个不相等的实数根  B．方程有两个相等的实数根   C．方程没有实数根   D．无法判断

（8题）（10题）

二、填空题

9. 关于x的方程x2﹣3x﹣5=0的两根为x1，x2，则x12x2+x1x22的值为          .

10．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米．则可列方程为           。

11. 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆。己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，则2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为       。

三、解答题

12. 适当的方法解下列方程：(1)(x+3)2=2；(2)2(3x-2)=(2-3x)(x+1)；(3)(x-1)(x+3)=12；(4)(3x-1)2-3(3x-1)=4

13. 关于x的一元二次方程x2+(m﹣1)x﹣2m+1=0.

(1)求证：当m≠0时，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若原方程的两根之和为8，求m的值.

【提高训练】

1. 已知方程x2-2(m2-1)x+3m=0的两个根是互为相反数，则m的值是       。

2. 方程2x2+mx+3=0的一个根是，则方程的另一个根为        ，m的值为        。 

3．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

【培优训练】

☆☆1. 当x、y各取什么值时，代数式x2+3y2-8x+6y+1有最小值，最小值是多少？

☆☆2. 有一批图形计算器,原售价为每台800元,在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元,买两台每台都为760元．依此类推,即每多买一台则所买各台单价均再减20元,但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：(1)若此单位需购买6台图形计算器,应去哪家公司购买花费较少；(2)若此单位恰好花费7500元,在同一家公司购买了一定数量的图形计算器,请问是在哪家公司购买的,数量是多少？

【附加题】

1. 用公式法解方程4y2=12y+3,得到(      )

A. y=      B. y=      C. y=     D. y=

2. 方程x(x-2)+x-2=0的解是(  D  )A. 2        B. -2,1        C. -1        D. 2,-1

3. 关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是(    )

A. 2               B. 1              C. 0              D. -1

4. 已知m,n是关于x的一元二次方程x2-3x+a=0两个根，若(m-1)(n-1)=-6，则a的值为(    )

 A. -10             B. 4              C. -4             D. 10

5. 已知点（5-k2，2k+3）在第四象限内，且在其角平分线上，则k=        .

6. 张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为32米3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长是宽2倍，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？

7. 某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？