北师大版九年级上册数学：第8周末教案+强化（学生版）

九(上) 第四章 图形的相似第8节 图形的位似（第八周周末教案 课时15）

知识点一、 位似图形的概念：

1. 如果两个相似多边形任意一组    对应顶点    P,P'所在的直线都经过同一点O， 且有        ，那么这样的两个多边形叫做位似多边形 点O叫做位似中心, k就是这两个相似多边形的    相似比    ，也叫位似比。如下图所示的图形都是位似图形。

点拨：①位似图形是相似图形,是增加了条件的相似图形, 这个条件就是：每组对应点所在直线都经过    同一个点    , 而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形可能位于位似中心的    两侧    ,也可能位于位似中心的    同侧    。

【例1】在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为(     )A.1个     B.2个     C.3个    D.4个

（例1）

知识点二、 位似图形的性质：

①位似多边形上任意一对对应点, 到位似中心的距离之比等于    相似比    ；

②位似多边形上对应点和位似中心    在同一条直线上    ；

③位似多边形上的对应线段    平行或在同一条直线上    ；

④位似多边形是特殊的相似图形,     具有相似图形的一切性质    。

【例2】 如图， 五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，对应边CD=2，C′D′=3，若位似中心P到点A的距离为6，则P到点A′的距离为         .

（例2）（例3）

【例3】 如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OE=2BE，S△DEF=8，则S△ABC等于       .

知识点三、画位似图形的一般步骤：

①确定    位似中心    ；

②确定原图形的    关键点    , 通常是多边形的顶点，分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）

③根据已知的    位似比    ，确定所画位似图形中关键点的位置。

④    顺次连结    上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形。

点拨：①画一个图形的位似图形时，一定要注意三点：位似中心的位置、位似比、原图形与其位似图形和位似中心的位置关系。②位似中心的选取：位似中心可以在图形外部、多边形的一条边上或多边形的某一顶点上。

【例4】 如图所示，以点O为位似中心，把△ABC放大为原来的两倍。

知识点四、 位似图形对应点的坐标的变化规律：

4. 在平面直角坐标系中, 将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k≠0),所对应的图形与原图形位似, 位似中心是坐标原点, 它们的相似比为.

5. 位似与平移、轴对称、旋转三种变换的联系与区别：（1）位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式, 它们的本质区别在于：后三种图形变换都是    全等变换    ,而位似变换是    相似(扩大、缩小或不变)变换    .

（2）坐标变换规律：①平移变换：对应点的横坐标或纵坐标    加上(或减去)    平移的单位长度；②轴对称变换：以x轴为对称轴, 则对应点的横坐标    不变    , 纵坐标    互为相反数    ；以y轴为对称轴,则对应点的纵坐标    不变    ,横坐标    互为相反数    ；③旋转变换：一个图形绕原点旋转180度, 则旋转前后的两个图形对应点的横、纵坐标    都互为相反数    ；④位似变换：以原点为位似中心时,变换前后的两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值等于    相似比    .

【例5】 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA＇B＇C＇与矩形OABC关于点O位似，且OA＇=OA,那么点B＇的坐标是（     ）

A. (3，2)    B. (-2，-3)   C. (2，3)或（-2，-3）   D. （3,2）或（-3，-2）

（例5）（例6）

【例6】如图，正三角形BCO与正三角形EOD是关于原点O的位似图形，位似比为2：1，点B的坐标为（-2，0），则点D的坐标为        。

【习题精练】

1. 如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（     ）

A．1        B．2        C．4        D．8

(1题)(2题)(4题)

2. 某学习小组在讨论“变化的三角形”时，知道大三角形与小三角形是位似图形(如图所示)．则小三角形上的顶点(a，b)对应于大三角形上的顶点(    )A.(-2a，-2b)        B.(2a，2b)        C.(-2b，-2a)        D.(-2a，-b)

3. 五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，0为位似中心．且2OD=OD′，则AB：A′B′为（     ）

A．2：3        B．3：2        C．1：2          D．2：1

4. 如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，(顶点均在格点上)，它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是(   )A.(-4，-3)       B.(-3，-3)        C.(-4，-4)        D.(-3，-4)

5. 下列说法中：①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则在五边形中连线组成的△ABC与△A′B′C′也是位似的．正确的个数是（     ）

A．1            B．2            C．3            D．4

6. 如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，AA′=6cm，若五边形ABCDE的周长为30cm，则五边形A′B′C′D′E′的周长是         ．
(6题)(8题)

7. 某三角形三边长分别为cm,cm ,cm, 与它相似的另一个三角形的最小边长为4cm，则这个三角形的面积为    。

8. 如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积位        。

9. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△DEF的顶点均在网格的格点上，按要求画出△D1E1F1，

以图中的点O为位似中心，在网格内画出△D1E1F1，使它与△DEF位似，且相似比为2．

（9题）

10. 如图， 王华晚上由路灯A下的B处走到C处， 测得影子CD的长为1米， 继续往前走3米到达E处时， 测得影子EF的长为2米， 已知王华的身高是1.5米， 那么路灯A的高度AB为多少米？

（10题）

【提高训练】

11. 如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=， 若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是(     )

A.            B.            C.           D.

(11题)（12题）

12如图,正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点A的坐标为（2，2）,位似中心的坐标是（-4，0）,则点F的坐标为        。

13. 如图，正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交边CD于点E．将△BCE绕点C按顺时针方向旋转到△DCF的位置，并且延长BE交DF于点G．(1)求证：△BDG∽△DEG；(2)若EG•BG=4，求BE的长．

（13题）

【培优训练】

14. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，-3），△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为（-1，0），则点B′的坐标为       。

(14题)

15. 四边形ABCD是菱形， ∠A=60°， 直线EF经过点C， 分别交AB、AD的延长线于E、F两点，连接ED、FB相交于点H。⑴ 找出图中与ΔBEC相似的三角形， 并选一对给予证明；⑵ 如果菱形ABCD的边长是3， DF=2， 求BE的长；⑶ 求证：；

（15题）

九(上) 第四章 图形的相似总复习 （第八周周末教案 课时16）

【习题精练】

1. 在△ABC和△A1B1C1中，有下列条件①;②;③∠A=∠A1;④∠B=∠B1;⑤∠C=∠C1;如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A1B1C1的有（     ）A．4组       B．5组        C．6组        D．7组

2. 两个相似多边形的面积比是9：16，其中小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为(    )

A.48cm       B.54cm       C.56cm       D.64cm

3. 已知线段AB长为2，C是线段AB的黄金分割点(AC>BC), 则AC=(   )

A.        B.        C.        D.

4. 如图，若∠ACD=∠B，以下4个等式错误的是(    )

A.        B.        C.       D.

(4题)(5题)(6题)（7题）

5. 如图， 在RtΔABC中， ∠ACB=90°， CD⊥AB于点D， CD=2， BD=1, 则AD的长是(    )

A. 1       B.        C. 2       D. 4

6. 如图， 在ΔABC中， ∠B=90°， AB=6， BC=8， 将ΔABC沿DE折叠， 使点C落在AB边的点C′处， 并且C′D∥BC， 则CD的长是(    )A.        B.        C.       D.

7. 如图， 矩形ABCD中， AB=4， BC=5， AF平分∠DAE, EF⊥AE, 则CF等于（     ）

A．      B．1       C．       D．2

8. 如图所示， 某超市在一楼至二楼之间安装有电梯， 天花板与地面平行， 张强抗着箱子（人与箱子的总高度约为2.2m）乘电梯刚好安全通过， 请你根据图中数据， 两层楼之间的高约为（     ）

A．5.5m        B．6.2m        C．11m        D．2.2m

（8题）（9题）(10题）（11题）

9. 如图， 在正方形ABCD中， E是BC的中点， ΔDEF的面积等于2， 则此正方形ABCD的面积等于（     ）

A．6          B．12           C．16           D．20

10. 如图，已知∠APC=∠ACB，AC=4，AP=2，则AB的长为       .

11. 如图，∠BAD=∠C，DE⊥AB于E，AF⊥BC于F，若BD=6，AB=8，则DE：AF=         .

12. 如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是        ．

(12题)(13题)

13. 在一块长为8、宽为的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是         .

14 有一块锐角三角形铁片ABC，已知最长边BC=12cm，高AD=8cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在AB、AC上，且矩形的长是宽的3倍，求矩形的面积．

（14题）

15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，BE⊥AE，垂足为点E．求证：BE2=DE•AE．

(15题)

【提高训练】

16. 如图所示， 在ΔABC中，AB=6， AC=4， P是AC的中点， 过P点的直线交AB于点Q， 若以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似， 则AQ的长为         .

(16题)（17题）

17. 如图， 在四边形ABCD中， DC∥AB， CB⊥AB， AB=AD， CD=AB, 点E、F分别为AB、AD的中点， 则ΔAEF与多边形BCDFE的面积之比为           .

18. 如图， 正方形ABCD和正方形DEFG， 点G在AD上， 连接AE交FG于点M， 连接CG并延长交AE于点N。⑴ 写出图中所有与ΔEFM相似的三角形；⑵ 证明：；

【培优训练】

19. 如图， 在直角梯形ABCD中， DC∥AB, ∠DAB=90°, AC⊥BC, AC=BC, ∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E, F, 则

=(     )A.        B.        C.        D.

（19题）（20题）

20. 如图，△ABC、△DCE、△GEF都是正三角形，且B、C、E、F在同一直线上，A、D、G也在同一直线上，设△ABC、△DCE、△GEF的面积分别为S1、S2、S3．当S1=4，S2=6时，S3=       .

21 如图．等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P为BC的中点，小明拿着含45°角的透明三角形，使45°角的顶点落在点P，且绕P旋转．（1）如图①：当三角板的两边分别AB、AC交于E、F点时，试说明△BPE∽△CFP．（2）将三角板绕点P旋转到图②，三角板两边分别交BA延长线和边AC于点EF．探究1：△BPE与△CFP．还相似吗？（只需写结论）探究2：连接EF，△BPE与△EFP是否相似？请说明理由。

九(上) 第四章 图形的相似综合复习    （第八周 强化训练8）

【习题精练】

1. 下列结论中， 不正确的是（     ）

A. 任意两个的等边三角形都相似          B. 有一个角是50度的两个等腰三角形相似        

C. 任意两个等腰直角三角形都相似        D. 有一个角是30度的两个直角三角形相似   

2. 下列条件，不能判定△ABC与△DEF相似的是(    )

A．∠C=∠F=90°，∠A=55°，∠D=35°       B.∠C=∠F=90°，AB=10，BC=6，DE=15，EF=9

C.∠C=∠F=90°，                D. ∠B=∠E=90°

3. 如图，△ABC∽△CBD，CD=2，AC=3，BC=4，那么AB的值等于(     )

A.5          B.6           C.7           D.4

(3题)(4题)(5题)(6题)

4. 如图， 在□ABCD中， E为CD上一点， 连接AE，BD相交于点F， 如果, 则DE:EC=(     )

A. 2:5       B.  2:3      C. 3:2       D.3:5

5. 如图， 在平面直角坐标系中， 已知点E(-4,2)， F(-2，-2)， 以原点O为位似中心， 位似比为， 把DEFOE缩小， 则点E的对应点E'的坐标是(     )A. (-2,1)     B. (-8,4)      C. (-8,4)或(8，-4)      D. (-2,1)或(2，-1)

6. 如图， 已知ΔEFH与ΔMNK是位似图形， A,B,C,D是平面内的四个点， 则ΔEFH与ΔMNK的位似中心是（     ）

A. 点A       B. 点B       C. 点C       D. 点D

7. 如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是(     )

A.AB2=BC•BD        B.AB2=AC•BD        C.AB•AD=BD•BC       D.AB•AD=AD•CD

(7题)（10题）（11题）(12题)

8. 两个相似三角形的面积之差为9cm2 ，对应角平分线的比是， 这两个三角形的面积分别是     .

9. 如果线段AB=10cm， 则线段AB的两个黄金分割点之间的距离为       .

10. 如图，∠B=∠ACD=90°，BC∥AD，若AC=6，AD=10，则AB=       .

11. G是边长为4的正方形ABCD的边BC上的一点， 矩形DEFG的边EF过点A, GD=5， 则FG的长为        。

12. 在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，若AB=， DC=2，则BD=        ，AC=        .

13. 在□ABCD中，E是AB上一点，且BE：CD=2:3，已知ΔAEF的面积是6，则ΔACD的面积为       .

(13题)

14．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=，AF=，求AE的长．

（14题）

【提高训练】

15. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB的延长线于E，则下列结论正确的是(     )

A.△AED∽△ACB        B.△AEB∽△ACD        C.△BAE∽△ACE        D.△AEC∽△DAC

(15题)

16. 如图， 先把一矩形纸片ABCD对折， 设折痕为MN, 再把B点叠在折痕线上， 得到ΔABE， 过B点折纸片使D点叠在直线AD上， 得折痕PQ:⑴ 求证：ΔPBE∽ΔQAB；⑵ 你认为ΔPBE和ΔBAE相似吗？如果相似， 给出证明；若不相似，请说明理由。

（16题）

【培优训练】

17. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是        .

(17题)

18. 如图，AD是△ABC(AB＞AC)的角平分线，AD的中垂线和BC的延长线交于点E，求证：DE2=BE•CE．

(18题)