初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数综合与测试学案

九(下)第二章  二次函数（第十五周周末教案 课时29）

第四节 二次函数的应用

知识点一、求二次函数的最值

1. 对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当自变量x取全体实数时，求它的最值，常用的方法有两种：

2. 自变量x在一定范围内取值时求二次函数的最值

如图①所示，若x=在x1≤x≤x2(x1<x2)内：

(图①)(图②)

如图②所示，若x=不在x1≤x≤x2(x1<x2)内：

(图③)

如图③所示，若x=不在x1≤x≤x2(x1<x2)内：

【例1】已知二次函数y=3x2-12x+13，则函数值y的最小值是(　 　)A. 3  B. 2  C. 1  D. -1

【例2】在二次函数y=x2-2x-3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是(　　)

A. 0，-4  B. 0，-3  C. -3，-4  D. 0，0

知识点二、有关二次函数最值的应用问题

二次函数最值的应用问题一般步骤是：(1)把实际问题转化为二次函数问题；(2)利用二次函数的最大值或最小值解决实际问题。

注意：对于实际问题中的最值，要注意有时并不是抛物线的顶点坐标，原因是顶点横坐标可能不在自变量的范围之内。

1. 利用二次函数求图形面积的最值问题

一些几何图形的面积与其相关边长成二次函数关系时，可以用二次函数的最值求其最大面积：求矩形最大面积时，通常用含有自              变量x代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造关于x的二次函数，再利用二次函数的图像和性质、公式法或配方法              求出二次函数的最大值，同时要注意自变量x的取值范围。

【例3】如图，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使MF=2MN. 设MN=x，当x 为何值 时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？

(例3)

2. 利用二次函数解决抛物线形建筑物问题——卡车过桥问题

这类问题所给的问题情境常有一个抛物线桥顶或隧道，已知卡车的高和宽，问卡车是否能完全通过。在问题中，抛物线的函数表              达式是首要条件，有时函数表达式已经给出，有时需要先求出来，求出函数表达式后有两种方法可以判断卡车能否从桥下通过：

【例4】施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建              立直角坐标系. (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条              宽1              米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明.

(例4)

3. 利用二次函数求最大利润问题

利润问题是本节的重难点问题之一，在日常生活中经常出现，是近几年的考试热点，对于这类问题，只要审清题意，记住利润问              题中的“最大利润”问题时可采用以下步骤：

补充：常用公式：①单利(单件商品的利润)=售价-成本；②总利润=总销售价-总成本价=单利×销量；③销售额=单价×销售量

【例5】九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：

已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元.(1)请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是     元；②月销 量是             件；(直接写出结果)

(2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？

【习题精练】

1. 已知0≤x＜，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是(　 　)A. -6  B. -2.5  C. 2  D. -2

2. 用长为8m的铝合金制成的形状为矩形的窗框，则窗框的透光面积最大为（     ）

A.        B.        C.        D. 4m2

3. 当0≤x≤6时，二次函数y=x2-4x+3的最大值是         ，最小值是        。

4. 某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30-x)件. 若使利润最              大，              每件的售价应为                             元.

5. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式y＝，那么铅球运动过程 中最高点离地面的距离为                             米.

(5题)

6. 如图所示，一块由篱笆围成的矩形绿地长xm，并且中间有一条与长边平行的篱笆，篱笆的总长为600m，求矩形绿地的最大面积。

(6题)

7. 某旅社有房间120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房租金每增加              5元，则客房每天租出数减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比              装修前日租金的总收入增加了多少元？

【提高训练】

8. 如图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB＝x m，长方形的面积为y m2， 要使长方形的面积最大，其边长x应为（    ）A．5m        B．m        C．m        D．m

(8题)(9题)

9. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为                             米.

10. 我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓. 我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，              其进价是200元/台. 经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多              售出50台. 若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.

(1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；

(2)当售价x(元/台)定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？

11. 一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度16m，为了安全起见，分别在桥的两侧安装如图1所示的不锈钢护栏(护栏包括支柱              和横梁)，相邻两支柱间的距离均为4m. (1)如图所示建立直角坐标系，求这条抛物线的函数表达式；(2)求安装护栏所需钢管的              总长度；(3)拱桥下地平面是双向行车道，其中的一条行车道能否并排行驶宽2.4m，高3m的两辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？              请说说你的理由.

【培优训练】

12. y=x2+(1-a)x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是(　 　)

A. a≤-5  B. a≥5  C. a=3  D. a≥3

13. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速 运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0＜t＜5). (1)求证：△ACD∽△BAC；(2)求              DC的长；(3)设四边形AFEC的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值.

九(下)第二章  二次函数（第十五周周末教案 课时30）

第五节 二次函数与一元二次方程

知识点1 二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系

1. 因为x轴上的点的纵坐标都为0，所以求抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的坐标，可利用函数表达式y=ax2+bx+c来求，只需令              y=0,              可得一元二次方程ax2+bx+c=0，方程的解即为交点的横坐标。

2. 二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程之间的关系如下表：

【例1】二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　)

A. k＜3  B. k＜3且k≠0  C. k≤3  D. k≤3且k≠0

知识点2 利用函数图像求一元二次方程的近似根。

1. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根。

2. 用二次函数的图象估计一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，也就是要估计出抛物线与x轴交点的横坐标的取值范围，可通                 过图像或者表格找到函数值一正一负时，对应的自变量x的取值，则近似根位于这两个数之间。

【例2】已知二次函数y=x2+2x-10，小明利用计算器列出了下表，那么方程x2+2x-10=0的一个近似根是(　 　)

A. -4.13  B. -4.21  C. -4.35  D. -4.42

（例2）

知识点3 利用二次函数的图像求不等式的解集

【例3】如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是(　 　)

1. -1≤x≤3  B. x≤-1  C. x≥1  D. x≤-1或x≥3

(例3)（例4）

【例4】如图，抛物线y1=-x2+4x和直线y2=2x，当y1＜y2时，x的取值范围是（　 　）

A．0＜x＜2        B．x＜0或x＞2        C．x＜0或x＞4        D．0＜x＜4

补充：二次函数图象与几何变换（注意：几何变换时，形状不变，故不变）

【例5】将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为              。

【例6】将抛物线y=2（x-1）2-4沿y轴翻折，所得抛物线的关系式                 ．

【习题精练】

1. 二次函数y=-x2-2x+1与x轴的交点个数为（    ）A. 0       B. 1       C. 2       D. 3

2. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(﹣2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是(　 　)

A. x＜﹣2   B. ﹣2＜x＜4   C. x＞0   D. x＞4

(2题)(3题)(6题)(8题)

3. 如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A(2.18，-0.51)、B(2.68，0.54)，则方程ax2+bx+c=0的一个解只可能              是              (　 　)A. 2.18                            B. 2.68                            C. -0.51                            D. 2.45

4. 将抛物线y=x2-2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是（　 　）

A．y=x2-2x-1       B．y=x2+2x-1       C．y=x2-2        D．y=x2+2

5. 关于抛物线y=-x2-2x+3，下列说法错误的是（　 　）

A．开口向下               B．与x轴有两个交点

C．对称轴是直线x=-1       D．当x＞0时，y随x的增大而增大

6. 如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式>x2+1的解集是(　 　)

A. x＞1  B. x＜-1  C. 0＜x＜1  D. -1＜x＜0

7. 将抛物线y=2x2-3沿x轴翻折，所得抛物线的表达式为                    ．

8. 已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为　   　.

9. 如图，二次函数的图象与x轴交于A(﹣3，0)和B(1，0)两点，交y轴于点C(0，3)，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一              次函数的图象过点B、D. (1)求二次函数的解析式. (2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.

【提高训练】

10. 如图，抛物线y=x2+m与直线y=x的交点A、B的横坐标分别是﹣1和2，则关于x的不等式x2+m+x＜0的解集是(　 　)

A. ﹣1＜x＜2  B. x＜﹣1或x＞2  C. ﹣2＜x＜1  D. x＜﹣2或x＞1

(10题)

11. 若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为          。

12.北京时间2013年4月20日8时02分四川省雅安市芦山县（北纬30.3，东经103.0）发生7.0级地震，空军某部队奉命赴灾区 空投物资，已知空投物资离开飞机后在空中沿顶点为机舱舱口A的抛物线y＝x2+1000降落．(1)如图，飞机在垂直高度              A0=1000米的高度进行空投，物资能够恰好准确地落在居民点P处的情况下，空投物资离开A处后下落的垂 直高度AB=160米时，              它到A处的水平距离BC应为多少米？(2)若点D在抛物线上，且D点的横坐标为l00，求△DOP的面积．

13. 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C(0,2)，若∠ACB=90°，BC＝．试求： (1)A、B两点的坐标；(2)二次函数的表达式．

【培优训练】

14. 如图，已知抛物线与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．
 （1）直接写出A、D、C三点的坐标；
 （2）若点M在抛物线对称轴上，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；
 （3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存              在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（14题）

九(下)第二章  二次函数第4～5节（第十五周 强化训练15）

【习题精练】

1. 抛物线y=x2-3x-m2与x轴交点的个数是（     ）A. 1个       B. 2个       C. 0个       D. 不能确定

2. 对于二次函数y=2(x+1)(x-3)，下列说法正确的是（    ）

A. 图像开口向下                       B. 当x>1时，y随x的增大而减小      

C. 当x<1时，y随x的增大而减小        D. 图像的对称轴是直线x=-1

3. 如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A(3，2)，与x轴交于点B(2，0)，若0＜y1＜y2，则x 的取值范围是(　 　)A. 0＜x＜2                            B. 0＜x＜3                            C. 2＜x＜3                            D. x＜0或x＞3

(3题)（4题）(5题)

4. 根据下面表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c为常数）的一个解x的取值范围是（     ）

A. 3<x<3.23       B. 3.23<x<3.24       C. 3.24<x<3.25       D. 3.25<x<3.26

5. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ）

A. a>0       B. 当x>1时，y随x的增大而增大        C. c<0        D. 3是方程ax2+bx+c=0的一个根

6. 若抛物线的对称轴是x=1,函数有最大值为4，且过点(0,3),则其解析式为          。

7. 已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有交点，则k的取值范围是              。

8. 已知二次函数,关于x的一元二次方程的两个实根是-1和-5，则这个二次函数的解析式为             。

9. 将进货单价70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个，若这种商品零售价在一定范围内每降低1元，其日销售量              就增加1个，为获得最大利润应降价         ，最大利润是         。

10. 如图，小明的父亲在相距2m的两棵树间栓了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高是2.5m，绳子自然              下垂呈现抛物线状，身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时，头部刚好接触到绳子，求绳子的最低点距地面的距离。

(10题)

11. 儿童商场购进一批M型服装，销售时标价为75元/件，按八折销售时仍可获利50%，商场现决定对M型服装开展促销活动，每件              在八折的基础上再降价x元销售。已知每天销售数量y（元）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x(x>0)。(1)求M型服装              的进价；(2)求在促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。

12. 在底边长BC=20cm，高AM=12cm的三角形铁板ABC上，要截一块矩形铁板EFGH,如图所示，当矩形的边EF为多长时，矩形铁板的              面积最大，并求出其最大面积。.

(12题)

【提高训练】

13. 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是(　 　)

A. 抛物线开口向上    B. 抛物线与y轴交于负半轴    C. 当x=3时，y＞0   D. 方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间

（13题）

14. 若关于x的方程3x2+5x+11m=0的一个根大于2，另一根小于2，则m的取值范围是         。

15. 如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q 同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动. 设P点运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，              则y关于x的函数图象是(　 　)

(15题)A.  B.  C.  D.

【培优训练】

16. 如图所示，在RtΔABC中，BC=6,AC=，∠C=45º，P是BC边上一动点，D在AC边上运动，使PD与AB保持平行，设BP=x， ΔAPD的面积为y，(1)求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)是否存在这样的P点，使得△APD的面积等于△ABP              面积的？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

(16题)