北师大版九年级上册数学：第16周末教案+强化（学生版）

九(上)第一章  特殊的平行四边形（第十六周周末教案 课时31）

第1～2节  菱形、矩形的性质和判定

知识点一 平行四边形的性质和判定：

平行四边形的性质

平行四边形的常用判定方法：

知识点二 菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质。

此外，菱形还具有如下特性：

知识点三 菱形的判定方法：

知识点四 菱形的面积

知识点五 矩形的性质：矩形具有平行四边形的一切性质。

此外，矩形还具有如下特性：

知识点六 矩形的常用判定方法：

知识点七、正方形的性质和判定

知识点八、中点四边形——看对角线的性质。

中点四边形的定义：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形。

点拨：根据中位线的性质定理，我们可以知道中点四边形的一组邻边分别平行于原四边形的对角线，且等于对角线长的一半。所              以对角线是一个“跳板”，新四边形只与原四边形的对角线有关，不用考虑原四边形的形状。也就是说中点四边形的形状取决于              原四边形两条对角线的位置关系和数量关系。比如：当原四边形对角线相等时，新四边形的邻边相等；当原四边形对角线垂直，              则新四边形的邻边垂直，常见的中点四边形可以归纳如下：

任意四边形：依次连接任意四边形的中点，得到平行四边形；

对角线垂直的四边形：依次连接菱形四边的中点，得到矩形；

对角线相等的四边形：依次连接矩形四边的中点，得到菱形；

对角线既垂直又相等的四边形：依次连接正方形四边的中点，得到正方形。

【例1】如图，在□ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是(    )

A. AE=AF          B. EF⊥AC          C. ∠B=60°          D. AC是∠EAF的平分线

(例1) (例2) (例3)(例4) 

【例2】如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（　　）

A. 18    B.     C. 36    D.

【例3】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形 的是（　　）A. AB=BE                                          B. DE⊥DC                                          C. ∠ADB=90°                                          D. CE⊥DE

【例4】如图，ABCD是正方形，G是BC上(除端点外)的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是(     )

A．△AED≌△BFA          B．DE-BF=EF          C．∠FBG=∠ADE          D．DE-BG=FG

【习题精练】

1. 如图，四边形ABCD的对角线为AC. BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是(　 　)

A. AD=BC   B. AC、BD互相平分   C. AC⊥BD   D. AB∥CD

(1题)(3题)(4题)（5题）

2. 已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积是(　 　)

A. 108cm2   B. 114cm2   C. 64cm2   D. 96cm2

3. 如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是(    )

A. 四边形AEDF是平行四边形                          B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形

C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形        D．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形

4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（   ）

A．60°                      B．50°                   C．30°                     D．20°

5.如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=6，则折痕CE的长为        。

6. 如图，将两张对边平行且宽度相等的纸条交叉叠放在一起，若∠DAB=60°，AD=2，则重合部分的面积为        .

(6题)(7题)(8题)

7．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH=       ．

8．矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是         。

9.如图，AB//CD，AC平分∠BAD，在底边AB上截AE=CD. (1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形 状，并说明理由.

(9题)

【提高训练】

10. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 (　 　)              A. 1                                          B. 1.2                                          C. 1.3                                          D. 1.5

(10题)(11题)（12题）(13题)

11. 已知如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值为(　 　)

A. 9  B. 10  C. 11  D. 12

12．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的 长是         。

13. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠ BAC，FC=2，则AB的长为         。

14. 如图，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合．（1）求证：DM=DN；（2）当AB和AD满足什么数量关系 时，△DMN是等边三角形？并说明你的理由．

【培优训练】

15. 如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF 于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC-CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有(　 　)

A. 2个  B. 3个  C. 4个  D. 5个

(15题)(16题)

16. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A. D分别落在点A′. D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′ F⊥CD时，的值为(　 　)              A.                             B.                             C.                             D.

17. 如图，在平面直角坐标系中，已知OA、OB的长满足|OA-8|+(OB-6)2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂 足为点D，交y轴于点E. (1)求线段AB的长；(2)求直              线CE的解析式；(3)若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否              存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存              在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(17题)

九(上)第四章  图形的相似（第十六周周末教案 课时32）

知识点一 成比例线段

1. 成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比, 即，那么这四条线段a，b，c，d就叫做成 比例线段，简称比例线段。（方法：先排序，再看比例；或者用最小乘最大，看积是否相等。）

2. 比例中项：如果（或a:b=b:c），那么b叫做a和c的比例中项。

3. 比例的性质（交叉相乘）

知识点二 平行线分线段成比例定理

知识点三 相似多边形及位似图形

1. 相似多边形：各角对应相等, 各边对应成比例的两个多边形叫相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比。

2.

3.

4. 位似图形的性质：每一组对应点的连线和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。

（注意：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧，即位似具有方向性）

知识点四 位似多边形对应点的坐标的变化规律

在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k(k≠0),所对应的图形与原图形位似。位似中心是坐标              原点, 它们的相似比为。

知识点五 黄金分割

如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割。点C叫线段AB的黄金分割点， AC与AB的比叫做黄金比.

知识点六 相似三角形的证明及性质

1. 相似三角形的概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似

2. 三角形相似有几种常见的构图方式：①平行线型,如图⑴⑵；②“子母”型如图⑶⑷⑸；②相交线型,如图⑹.

3. 相似三角形的性质

知识点七 视图与投影的有关概念（作三视图及由三视图确定几何体）

1.

2. 中心投影的几个结论：

(图一)(图二)

即时点拨：(1)作一物体在路灯下的影子时，连接点光源和物体的顶端的点并延长，与地面相交，则与地面的交点和物体的底端              之间的线段即为物体的影子.(2)人在路灯下的影子的长短，不但要看人的身高，还要看人与路灯的距离.人离路灯越远，影子越              长；人离路灯越近，影子越短；当人在点光源正下方时，影子缩为一个点.

3. 有关平行投影的三个结论：

(图一)(图二)

4.平行投影与中心投影的区别：

区分两种投影的方法是：如果两条光线平行，则为平行投影；如果两条光线相交，则为中心投影。

5. 太阳光下物体影子的方向和长度的变化：

【例1】若3a=2b，则的值为(　 　)A.    B.    C.    D.

【例2】 如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是          ．

(例2)（例3）(例4)（例5）

【例3】如图，已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与 矩形ABCD相似，则AD=          。

【例4】如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为        时，以A、D、 P为顶点的三角形和△ABC相似．

【例5】 如图， 在四边形ABCD中， DC∥AB， CB⊥AB， AB=AD， CD=AB, 点E、F分别为AB、AD的中点， 则ΔAEF与多边形BCDFE              的面积之比为            .

【习题精练】

1. 下列说法正确的是(　 　)

A. 各有一个角是70°的等腰三角形相似  B. 各有一个角是95°的等腰三角形相似

C. 所有的矩形相似      D. 所有的菱形相似

2．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，则AE：EC为（     ）

A．2：1           B．2：3          C．4：9           D．5：4

(2题)(3题)（4题）(6题)

3. 如图，点D，E，F分别是△ABC(AB＞AC)各边的中点，下列说法中，错误的是(    )

A.EF与AD互相平分      B.EF=BC        C.△CDF∽△ACD        D.△DEF∽△ACB

4．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数 为（　 　）A．1                      B．2                      C．3                       D．4

5. 已知线段AB长为2，C是线段AB的黄金分割点(AC>BC), 则AC=(    )

A.        B.        C.        D.

6. 在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE：ED=3：1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AFE：S四边形ABCE为(　 　)

A. 3：4   B. 4：3   C. 7：9   D. 9：7

7. 如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为      m.

(7题)(8题)(9题)

8. 如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，AA′=6cm，若五边形ABCDE的周              长为30cm，则五边形A′B′C′D′E′的周长是         ．

9. 小明想利用影长测量学校的旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米；同时旗杆的影子一部分落在地面              上，另一部分落在墙上，分别测得长度为21米和2米，则学校的旗杆的高度为                               米

10. 如图，正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交边CD于点E．将△BCE绕点C按顺时针方向旋转到△DCF的位置，并且延长BE交DF 于点G．(1)求证：△BDG∽△DEG；(2)若EG•BG=4，求BE的长．

【提高训练】

11. 如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式是(   )

A.b=a+c        B.b=ac        C.b2=a2+c2        D.b=2a=2c

(11题)(12题)(13题)(14题)

12.如图，△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC交AB于D，AC=12，AB=9，AE=4，则DE的值为       ．

13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上. 点Q在对角线OB上，且 QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P. 则点P的坐标为                                .

14. 如图，在直角坐标系中有两点A(0，4)和B(-3，0)，点C是AB的中点，如果点D在X轴上，若以B、C、D三点为顶点的三角形与 以A、B、O三点为顶点的三角形相似，则D的坐标是            .

【培优训练】

15. 如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1面积为S1，△B3D2C2面积为S2，…，△Bn+1DnCn面积为Sn，              则Sn等于                                .

(15题)

16．如图，在△ABC中，∠C=30°，BC=20，AC=16，E为BC中点，动点P在BE上从点B出发向点E以每秒1个单位长度的速度移 动，点Q在CE上从点C出发E向点E也以每秒1个单位长度的速度移动，点P、Q同时出发，当一个点停止移动时，另一个点也              立即停止移动（P，Q都不与B，E，C重合）．过点P作PD∥AC，交AB于D，连接DQ，设点P运动的时间为t（s）．（1）当t=4              时，求PD的长；（2）设△DPQ面积为y，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）是否存在某一时刻t，使S△DPQ：              S△ABC=3：25？若存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由．

九(上)第一章+第四章  综合复习（第十六周  强化训练16）

【习题精练】

1. 如图， 在□ABCD中， 添加下列条件不能判定□ABCD是菱形的是(     )

A. AB=BC         B. AC⊥BD         C. BD平分∠ABC         D. AC=BD

(1题)(3题) (4题)(5题)

2. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则下列结论正确的是(     )

A.         B.        C.         D.

3. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为(    )

A. 3           B. 3.5           C. 2.5           D. 2.8

4. 如图，△ABC∽△CBD，CD=2，AC=3，BC=4，那么AB的值等于(     )

A.5          B.6           C.7           D.4

5. 如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是(　 　)

A.   B.   C.   D.

6. 在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线BD等于        .

7. 已知两个相似的菱形的相似比为2：3，面积之差为5cm2，则这两个菱形的面积分别是        。

8. 当人的下肢长与身高的比值约为0.6时，身材显得最美．刘老师的身高是160厘米，下肢长94厘米，她穿的高跟鞋最佳高度为        。

9. 在平行四边形ABCD中E为CD上一点，DE:EC=1:2，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF:S△EBF:S△ABF=         .

(9题)(10题)

10. 在太阳光下，身高为1.6米的小芳在地面上的影长为2米．当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分              影子在墙上．经测量，地面部分影长为8.5米，墙上影长为1.2米，那么这棵大树高约         。

11. 如图所示， AB=AC, ∠DAE=∠B,求证：ΔABE∽ΔDCA

(11题)

12. 如图， 正方形ABCD的边长为2, AE=EB， MN=1， 线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，且MN=1，当CM的长为多少时，△AED 与以M、N、C为顶点的三角形相似？

【提高训练】

13. 如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则 的值为         ．

(13题)(14题)

14. 如图所示，直线y=x+1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y=x+1相交于点              A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y=x+1相交于点A3，再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，              记作第三个正方形；…，依此类推，则第n个正方形的边长为                                                         .

15. 如图，在平面直角坐标系中，点A是动点且纵坐标为6，点B是线段OA上一动点，过点B作直线MN∥x轴，设MN分别交射线OA 与x轴所成的两个角的平分线于点E、F．(1)求证：EB=BF；(2)当为何值时，四边形AEOF是矩形？证明你的结论；(3)是否              存在点A、B，使四边形AEOF为正方形？若存在，求点A与B的坐标；若不存在，说明理由．

【培优训练】

16. 如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为     .

(16题)(17题)

17. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=， 则另一直角边BC的长为                             .

18. 如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物 AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；              从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是多少米.