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北师大版九年级上册数学：第18周末教案+强化（学生版）
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这是一份北师大版九年级上册数学：第18周末教案+强化（学生版），共8页。
九(上)第二章 一元二次方程(第十八周周末教案 课时35 )
知识点一、一元二次方程的定义
1. 一元二次方程：只含有 一 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的 整式 方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的定义要把握三点
2. 一元二次方程的一般形式：（为常数，)，其中ax2，bx2，c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数。
知识点二、一元二次方程解的估算
依据代数式的值的求法，当某一x取值使得这个方程中的的值无限接近于0时，x的值即可看做一元一次方程 的解.
点拨：①估算一元二次方程的解， 只是估算“解”的取值范围，比如在哪两个数之间；②当相邻的两个数， 一个使 ， 一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间.认真观察代数式的特点和取值走向， 就能很快找 到这样相邻的两个数.
知识点三、 一元二次方程的解法
1. 直接开方法：形如的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解。
2. 配方法：
点拨：
4. 因式分解法：
5. 提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式， 这种因式分解的方法叫做提公因式法。
6. 十字相乘法：
知识点四、 一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
1. 韦达定理：若一元二次方程()有两个实数根，设这两个根分别为，则：①；②。
2. 由韦达定理可知方程的两根之和与两根之积，利用此可解决一些关于两根之和、之积、两根的倒数和、两根的平方和等一类 的问题。如，= ；= ；= 。
知识点五、 列一元二次方程解实际问题
1. 利润问题：此类问题用公式：利润=售价－进价，总利润=总售价-总成本= 单利（单件商品的利润)×销量（销售数量) ， 利润率=（变形得：利润=成本×利润率，成本=)。
2. 几何图形的面积问题： 几何图形的面积问题：面积公式是此类问题的等量关系。
3. 平均增长（降低)率问题： 此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低) 两 次得到的新的数据。常见的等量关系 是：a(1+x)2=b，其中b为 增长（或降低)后 的数量，a为 增长（或降低)前 的数量，x为 增长率（降低率) 。
4. 动点问题：此类问题是一般几何题的延伸，要学会用运动的观点看问题，根据条件设出未知数，并且把图中变化的线段用 未 知数表示出来，再根据题中给出的等量关系（可以是图形的面积、勾股定理等)列出方程。
步骤：①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答。(列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验，看方程的解是否符合题意)。
【例1】下列方程中，一元二次方程共有( )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤(x﹣1)2+y2=2；⑥(x﹣1)(x﹣3)=x2.
【例2】已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为( )
A. 5 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣5
【例3】要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ )
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【例4】现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖 的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 ．
【习题精练】
1. 方程(x+1)(x﹣3)=5的解是( )
A. x1=1，x2=﹣3 B. x1=4，x2=﹣2 C. x1=﹣1，x2=3 D. x1=﹣4，x2=2
2. 三角形两边长分别为8和6，第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ )
A. 24 B. 24或 C. 48 D.
3．关于x的方程（m﹣2)x2﹣2x+1=0有实数解，那么m的取值范围是（ )
A．m≠2 B．m≤3 C．m≥3 D．m≤3且m≠2
4. 李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为( )
A. B. n(n﹣1)=20 C. D. n(n+1)=20
5. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿 地之间及周边留有宽度相等的人行通道. 若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )
A. x2+9x﹣8=0 B. x2﹣9x﹣8=0 C. x2﹣9x+8=0 D. 2x2﹣9x+8=0
(5题)
6. 若， 则= .
7．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为 .
8．关于x的一元二次方程（a﹣1)x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是 。
9. 菱形的两条对角线是一元二次方程2x2-15x+16=0的两根，则该菱形的面积是 。
10. 设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22= .
11. 用指定的方法解下列方程: (1)2x2-4x-1=0(用公式法) (2)(x-2)2=3(2-x) (因式分解法)
⑶2y2－3y－2＝0;(配方法) (4)x2+2x-15=0(十字相乘) (5)3x2+35x+50=0(十字相乘)
12. 一超市在销售中发现“佳宝”牛奶平均每天可售出20箱，每箱盈利4元，为了迎接“中秋”、“国庆”佳节，超市为了扩大销售、 增加盈利，若每箱降价0.4元，则平均每天多卖8箱．(1)要想平均每天销售这种牛奶中盈利120元，同时尽可能让利于消费者， 每箱牛奶应降多少元？(2)降价多少钱时，每天就销售这种牛奶盈利额最大，最大盈利额是多少？
【提高训练】
13．等腰△ABC的三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2)x+6﹣b=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是（ )
A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定
14. 对于任意实数x， 多项式的值是一个（ )
A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数
15. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为( )
A. ﹣1 B. 0 C. 2 D. 3
16．小林准备进行如下操作试验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于52cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于44cm2，”他的说法对吗？请说明理由．
17．某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000 元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．当每间 商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金﹣各种费用)为275万元？
【培优训练】
18．定义运算：a⋆b=a（1﹣b)．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0)的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为 .
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4，点E在直角边AC上（点E与A、C两点均不重合），点F在斜边AB上（点F与 A、B两点均不重合）．（1）若EF平分Rt△ABC的周长，设AE长为x，△AEF的面积为y，试写出y与x的函数关系式；（2） 若△AEF的面积为，则AE的长为多少？（2）是否存在线段EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时AE的 长；若不存在，说明理由．
（19题）
九(下)第一章 解直角三角形(第十八周周末教案 课时36 )
知识点一、锐角三角函数：锐角∠A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
知识点二、一些特殊角的三角函数值：
三角函数描述的是直角三角形中的边角关系，常结合勾股定理来解直角三角形。
(1)锐角的三角函数，可以简记为：正切对比邻，正弦对比斜，余弦邻比斜。
(2)sinA、cosA、tanA的定义是在直角三角形中相对其锐角而定义的，它是一个 比值 ，没有单位，其大小仅与 角 的
大小有关. ∠A一旦确定，三个比值也 随之确定 .
⑶当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而 增大 ；余弦值随着角度的增大而 减小 ；正切值随着角
度的增大而 增大 .
(4)互余的两个角的正弦值与余弦值相等；当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1。
知识点三、三角函数的意义
直角三角形中，共6个元素：3条边和3个角(其中∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠c的对边为c)。
它们之间存在如下关系：
(1)三边之间关系： a2+b2=C2 ；：
(2)锐角之间关系： ∠A+∠B=90° ；
(3)边角之间关系：sinA= ，cosA=，tanA=；
除直角外只要知道其中 2 个元素(至少有1个是边)，就可以利用以上关系求另外3个元素。
知识点四、解直角三角形的概念、解法
1. 直角三角形中，除直角外，共5个元素：3条边和2个角。由直角三角形中 已知的元素 ，求出 所有未知元素 的过程叫做解直角三角形.
2. 具体解法如下表：
注意： (1)对任意锐角α，有sin2 α+cos2 α=1；0
(3)在作垂线构造直角三角形时，一般不要破坏特殊角(30°，45°，60°)的完整性，即尽量不要过这些特殊角的顶点作垂线。
(4)当题目中出现15°、75°、105°、120°时，可利用特殊角的组合进行转化，如45°－30°＝15°，30°+45°＝75°等。
知识点五、仰角和俯角（如图)
仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；
俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角；
知识点六、解直角三角形的实际应用（利用三角函数测高及触礁问题等)
通常题目中会出现两个角度，一个角度用来设未知数（通常设公共边)，另一个角度用来列方程求解。
【例1】从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角 为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是( )
A. (6+6)米 B. (6+3)米 C. (6+2)米 D. 12米
(例1) （例2)(例3)
【例2】 河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是( )A. 9m B. 6m C. m D. m
【例3】一艘轮船自西向东航行，在A处测得北偏东60°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东45°方向上之后，轮船继续向东航行 海里，距离小岛C最近
【例4】如图，河对岸有古塔AB．小敏在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进20米到达D．在D处测得A的仰角为45°，则塔高是多少米？
【例5】如图，海岛A四周20海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60°，航行24海里后到C处， 见岛A在北偏西30°，货轮继续向西航行，有无触礁危险？
(例5)
【习题精练】
1. 在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+(1﹣tanB)2=0，则∠C的大小是( )
A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°
2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ )
A. B. C. D.
（2题）（3题）(4题)(5题)
3. 如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ )
A． B． C． D．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若BC=4，CD=3，则tanB的值是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=，AB=，则tan∠BCD的值为( )
A. B. C. D.
6. 在RtΔABC中,∠C=90º,BC=4,tan A=,则AB的长为 .
（6题)（7题）（9题）
7. 如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°，旗杆底部B点的俯角为45°．若旗杆底部B点到建筑 物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，则求旗杆顶点A离地面的高度 米(结果保留根号)．
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，AB=10，则△ABC的面积为 .
9．如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现把它改成坡 比为1：1.5的斜坡AD．则DB的长为 （结果保留根号)．
10． 如图，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=60°，BC长为30米，量得∠ ACB=45°．求河的宽度（即求△ABC中BC边上的高AD的长)
【提高训练】
11. 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=α，BD是斜边AC上的高，那么( )
A. AC=BC•sinα B. AC=AB•cosα C. BC=AC•tanα D. CD=BD•tanα
12. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AD的长为 。
(12题)(13题)(14题)
13. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD:CD=3:2，则tanB等于 。
14. 小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高 米.
15. 如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=. 求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值.
16．如图，在城市改造中，市政府欲在一条人工河上架一座桥，河的两岸PQ与MN平行，河岸MN上有A、B两个相距50米的凉亭， 小亮在河对岸D处测得∠ADP=60°，然后沿河岸走了110米到达C处，测得∠BCP=30°，求这条河的宽．（结果保留根号）
【培优训练】
17. 如图，在△ABC中，AB=AC，cos∠ABC=，点D在BC边上，BD=6，CD=AB，求AD的长。
18．如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时10千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台 风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域．（1)问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2)若A城受到这次台风 的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？
九(上)第二章+九（下)第一章 一元二次方程、 解直角三角形(第十八周 强化训练18 )
【习题精练】
1. 若是关于x的一元二次方程的根， 则的值为( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是( )
A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9
3. 已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2，则另一个根为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
4. 一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
5. 如果一个三角形的三边均满足方程x2-10x+25=0，则此三角形的面积是 .
6. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD=9，DC=5，cosB=，E为AC的中点，那么sin∠EDC的值为 .
(6题)（7题)10题)
7. 已知在RtΔABC中,∠ACB=90º,CD⊥AB,垂足为D,AD=8,BD=4,则tan A的值为 。
8. 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市 汽车拥有量为16.9万辆。己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，则2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为 。
9.一边靠墙,再用70m长的铁丝网为三边,围成一个面积为528 m2的长方形鸡场,墙长27 m,则鸡场的长为 m,宽为 m．
10. 如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行 .
11. 用恰当的方法解下列方程：
(1)2x2-5x+1=0; (2)(x+3)2+3(x+3)-4=0; (3)5x2-3x=x+1; (4)(3x+2)2=(5-2x)2
12. 浠水县某中学规划在校园内一块长36米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与AB平行，另一条 与AD平行，其余部分种草，（如图所示），若使每一块草坪的面积都为96平方米，则人行道的宽为多少米？
（12题）
13. 甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度 沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处 与乙船相遇. 假设乙船的速度和航向保持不变，求：(1)港口A与小岛C之间的距离；(2)甲轮船后来的速度.
(13题)
【提高训练】
14. 如图，在正方形网格中放置∠AOB，则cos∠AOB的值为( )A. B. C. D.
(14题)
15. 对于任意实数x， 多项式的值是一个（ )
A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数
16．马航失联客机MH370引起全球高度关注，为了搜寻客机残骸，我国派出多艘军舰和海监船到达失事海域进行搜寻．如图，前往 南印度洋某海域的我井冈山舰A和昆仑山舰B自西向东航行，B舰在A舰的正东方向，且两舰保持20海里的距离，某一时刻两舰 同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一艘澳方军舰C，求此时舰C与我舰航线AB的距离是多少？（结果保留根号)
17．如图AD是△ABC的高，点G、H在BC边上，点E在AB边上，点F在AC边上，BC=10cm，AD=8cm，四边形EFHG是面积为15cm2 的矩形，求这个矩形的长和宽．
【培优训练】
18. 已知实数a，b满足a2+3a-1=0，b2+3b-1=0(a≠b)，则的值为( )
A.2 B.-9 C.-11 D.11
19. 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家 负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调 查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它 费用100元。（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少 时，该经销店的月利润为9000元。（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。
九(上)第二章 一元二次方程(第十八周周末教案 课时35 )
知识点一、一元二次方程的定义
1. 一元二次方程：只含有 一 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的 整式 方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的定义要把握三点
2. 一元二次方程的一般形式：（为常数，)，其中ax2，bx2，c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数。
知识点二、一元二次方程解的估算
依据代数式的值的求法，当某一x取值使得这个方程中的的值无限接近于0时，x的值即可看做一元一次方程 的解.
点拨：①估算一元二次方程的解， 只是估算“解”的取值范围，比如在哪两个数之间；②当相邻的两个数， 一个使 ， 一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间.认真观察代数式的特点和取值走向， 就能很快找 到这样相邻的两个数.
知识点三、 一元二次方程的解法
1. 直接开方法：形如的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解。
2. 配方法：
点拨：
4. 因式分解法：
5. 提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式， 这种因式分解的方法叫做提公因式法。
6. 十字相乘法：
知识点四、 一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
1. 韦达定理：若一元二次方程()有两个实数根，设这两个根分别为，则：①；②。
2. 由韦达定理可知方程的两根之和与两根之积，利用此可解决一些关于两根之和、之积、两根的倒数和、两根的平方和等一类 的问题。如，= ；= ；= 。
知识点五、 列一元二次方程解实际问题
1. 利润问题：此类问题用公式：利润=售价－进价，总利润=总售价-总成本= 单利（单件商品的利润)×销量（销售数量) ， 利润率=（变形得：利润=成本×利润率，成本=)。
2. 几何图形的面积问题： 几何图形的面积问题：面积公式是此类问题的等量关系。
3. 平均增长（降低)率问题： 此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低) 两 次得到的新的数据。常见的等量关系 是：a(1+x)2=b，其中b为 增长（或降低)后 的数量，a为 增长（或降低)前 的数量，x为 增长率（降低率) 。
4. 动点问题：此类问题是一般几何题的延伸，要学会用运动的观点看问题，根据条件设出未知数，并且把图中变化的线段用 未 知数表示出来，再根据题中给出的等量关系（可以是图形的面积、勾股定理等)列出方程。
步骤：①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答。(列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验，看方程的解是否符合题意)。
【例1】下列方程中，一元二次方程共有( )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤(x﹣1)2+y2=2；⑥(x﹣1)(x﹣3)=x2.
【例2】已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为( )
A. 5 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣5
【例3】要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ )
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【例4】现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖 的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 ．
【习题精练】
1. 方程(x+1)(x﹣3)=5的解是( )
A. x1=1，x2=﹣3 B. x1=4，x2=﹣2 C. x1=﹣1，x2=3 D. x1=﹣4，x2=2
2. 三角形两边长分别为8和6，第三边的长是一元二次方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ )
A. 24 B. 24或 C. 48 D.
3．关于x的方程（m﹣2)x2﹣2x+1=0有实数解，那么m的取值范围是（ )
A．m≠2 B．m≤3 C．m≥3 D．m≤3且m≠2
4. 李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为( )
A. B. n(n﹣1)=20 C. D. n(n+1)=20
5. 如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿 地之间及周边留有宽度相等的人行通道. 若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )
A. x2+9x﹣8=0 B. x2﹣9x﹣8=0 C. x2﹣9x+8=0 D. 2x2﹣9x+8=0
(5题)
6. 若， 则= .
7．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为 .
8．关于x的一元二次方程（a﹣1)x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是 。
9. 菱形的两条对角线是一元二次方程2x2-15x+16=0的两根，则该菱形的面积是 。
10. 设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22= .
11. 用指定的方法解下列方程: (1)2x2-4x-1=0(用公式法) (2)(x-2)2=3(2-x) (因式分解法)
⑶2y2－3y－2＝0;(配方法) (4)x2+2x-15=0(十字相乘) (5)3x2+35x+50=0(十字相乘)
12. 一超市在销售中发现“佳宝”牛奶平均每天可售出20箱，每箱盈利4元，为了迎接“中秋”、“国庆”佳节，超市为了扩大销售、 增加盈利，若每箱降价0.4元，则平均每天多卖8箱．(1)要想平均每天销售这种牛奶中盈利120元，同时尽可能让利于消费者， 每箱牛奶应降多少元？(2)降价多少钱时，每天就销售这种牛奶盈利额最大，最大盈利额是多少？
【提高训练】
13．等腰△ABC的三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2)x+6﹣b=0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是（ )
A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定
14. 对于任意实数x， 多项式的值是一个（ )
A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数
15. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为( )
A. ﹣1 B. 0 C. 2 D. 3
16．小林准备进行如下操作试验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于52cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于44cm2，”他的说法对吗？请说明理由．
17．某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000 元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．当每间 商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金﹣各种费用)为275万元？
【培优训练】
18．定义运算：a⋆b=a（1﹣b)．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0)的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为 .
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AC=3，BC=4，点E在直角边AC上（点E与A、C两点均不重合），点F在斜边AB上（点F与 A、B两点均不重合）．（1）若EF平分Rt△ABC的周长，设AE长为x，△AEF的面积为y，试写出y与x的函数关系式；（2） 若△AEF的面积为，则AE的长为多少？（2）是否存在线段EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时AE的 长；若不存在，说明理由．
（19题）
九(下)第一章 解直角三角形(第十八周周末教案 课时36 )
知识点一、锐角三角函数：锐角∠A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
知识点二、一些特殊角的三角函数值：
三角函数描述的是直角三角形中的边角关系，常结合勾股定理来解直角三角形。
(1)锐角的三角函数，可以简记为：正切对比邻，正弦对比斜，余弦邻比斜。
(2)sinA、cosA、tanA的定义是在直角三角形中相对其锐角而定义的，它是一个 比值 ，没有单位，其大小仅与 角 的
大小有关. ∠A一旦确定，三个比值也 随之确定 .
⑶当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而 增大 ；余弦值随着角度的增大而 减小 ；正切值随着角
度的增大而 增大 .
(4)互余的两个角的正弦值与余弦值相等；当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1。
知识点三、三角函数的意义
直角三角形中，共6个元素：3条边和3个角(其中∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠c的对边为c)。
它们之间存在如下关系：
(1)三边之间关系： a2+b2=C2 ；：
(2)锐角之间关系： ∠A+∠B=90° ；
(3)边角之间关系：sinA= ，cosA=，tanA=；
除直角外只要知道其中 2 个元素(至少有1个是边)，就可以利用以上关系求另外3个元素。
知识点四、解直角三角形的概念、解法
1. 直角三角形中，除直角外，共5个元素：3条边和2个角。由直角三角形中 已知的元素 ，求出 所有未知元素 的过程叫做解直角三角形.
2. 具体解法如下表：
注意： (1)对任意锐角α，有sin2 α+cos2 α=1；0
(3)在作垂线构造直角三角形时，一般不要破坏特殊角(30°，45°，60°)的完整性，即尽量不要过这些特殊角的顶点作垂线。
(4)当题目中出现15°、75°、105°、120°时，可利用特殊角的组合进行转化，如45°－30°＝15°，30°+45°＝75°等。
知识点五、仰角和俯角（如图)
仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；
俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角；
知识点六、解直角三角形的实际应用（利用三角函数测高及触礁问题等)
通常题目中会出现两个角度，一个角度用来设未知数（通常设公共边)，另一个角度用来列方程求解。
【例1】从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角 为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是( )
A. (6+6)米 B. (6+3)米 C. (6+2)米 D. 12米
(例1) （例2)(例3)
【例2】 河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是( )A. 9m B. 6m C. m D. m
【例3】一艘轮船自西向东航行，在A处测得北偏东60°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东45°方向上之后，轮船继续向东航行 海里，距离小岛C最近
【例4】如图，河对岸有古塔AB．小敏在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进20米到达D．在D处测得A的仰角为45°，则塔高是多少米？
【例5】如图，海岛A四周20海里范围内是暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60°，航行24海里后到C处， 见岛A在北偏西30°，货轮继续向西航行，有无触礁危险？
(例5)
【习题精练】
1. 在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+(1﹣tanB)2=0，则∠C的大小是( )
A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°
2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ )
A. B. C. D.
（2题）（3题）(4题)(5题)
3. 如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ )
A． B． C． D．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若BC=4，CD=3，则tanB的值是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=，AB=，则tan∠BCD的值为( )
A. B. C. D.
6. 在RtΔABC中,∠C=90º,BC=4,tan A=,则AB的长为 .
（6题)（7题）（9题）
7. 如图，张华同学在学校某建筑物的C点处测得旗杆顶部A点的仰角为30°，旗杆底部B点的俯角为45°．若旗杆底部B点到建筑 物的水平距离BE=9米，旗杆台阶高1米，则求旗杆顶点A离地面的高度 米(结果保留根号)．
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，AB=10，则△ABC的面积为 .
9．如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现把它改成坡 比为1：1.5的斜坡AD．则DB的长为 （结果保留根号)．
10． 如图，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC=60°，BC长为30米，量得∠ ACB=45°．求河的宽度（即求△ABC中BC边上的高AD的长)
【提高训练】
11. 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=α，BD是斜边AC上的高，那么( )
A. AC=BC•sinα B. AC=AB•cosα C. BC=AC•tanα D. CD=BD•tanα
12. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AD的长为 。
(12题)(13题)(14题)
13. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD:CD=3:2，则tanB等于 。
14. 小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高 米.
15. 如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=. 求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值.
16．如图，在城市改造中，市政府欲在一条人工河上架一座桥，河的两岸PQ与MN平行，河岸MN上有A、B两个相距50米的凉亭， 小亮在河对岸D处测得∠ADP=60°，然后沿河岸走了110米到达C处，测得∠BCP=30°，求这条河的宽．（结果保留根号）
【培优训练】
17. 如图，在△ABC中，AB=AC，cos∠ABC=，点D在BC边上，BD=6，CD=AB，求AD的长。
18．如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时10千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台 风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域．（1)问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2)若A城受到这次台风 的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？
九(上)第二章+九（下)第一章 一元二次方程、 解直角三角形(第十八周 强化训练18 )
【习题精练】
1. 若是关于x的一元二次方程的根， 则的值为( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是( )
A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9
3. 已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2，则另一个根为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
4. 一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
5. 如果一个三角形的三边均满足方程x2-10x+25=0，则此三角形的面积是 .
6. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD=9，DC=5，cosB=，E为AC的中点，那么sin∠EDC的值为 .
(6题)（7题)10题)
7. 已知在RtΔABC中,∠ACB=90º,CD⊥AB,垂足为D,AD=8,BD=4,则tan A的值为 。
8. 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市 汽车拥有量为16.9万辆。己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，则2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为 。
9.一边靠墙,再用70m长的铁丝网为三边,围成一个面积为528 m2的长方形鸡场,墙长27 m,则鸡场的长为 m,宽为 m．
10. 如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行 .
11. 用恰当的方法解下列方程：
(1)2x2-5x+1=0; (2)(x+3)2+3(x+3)-4=0; (3)5x2-3x=x+1; (4)(3x+2)2=(5-2x)2
12. 浠水县某中学规划在校园内一块长36米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与AB平行，另一条 与AD平行，其余部分种草，（如图所示），若使每一块草坪的面积都为96平方米，则人行道的宽为多少米？
（12题）
13. 甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度 沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处 与乙船相遇. 假设乙船的速度和航向保持不变，求：(1)港口A与小岛C之间的距离；(2)甲轮船后来的速度.
(13题)
【提高训练】
14. 如图，在正方形网格中放置∠AOB，则cos∠AOB的值为( )A. B. C. D.
(14题)
15. 对于任意实数x， 多项式的值是一个（ )
A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数
16．马航失联客机MH370引起全球高度关注，为了搜寻客机残骸，我国派出多艘军舰和海监船到达失事海域进行搜寻．如图，前往 南印度洋某海域的我井冈山舰A和昆仑山舰B自西向东航行，B舰在A舰的正东方向，且两舰保持20海里的距离，某一时刻两舰 同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一艘澳方军舰C，求此时舰C与我舰航线AB的距离是多少？（结果保留根号)
17．如图AD是△ABC的高，点G、H在BC边上，点E在AB边上，点F在AC边上，BC=10cm，AD=8cm，四边形EFHG是面积为15cm2 的矩形，求这个矩形的长和宽．
【培优训练】
18. 已知实数a，b满足a2+3a-1=0，b2+3b-1=0(a≠b)，则的值为( )
A.2 B.-9 C.-11 D.11
19. 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家 负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调 查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它 费用100元。（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少 时，该经销店的月利润为9000元。（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。
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