2022年黑龙江省齐齐哈尔市富拉尔基区中考数学三模试卷（Word解析版）

2022年黑龙江省齐齐哈尔市富拉尔基区中考数学三模试卷

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 甲口袋中有个白球、个红球，乙口袋中有个白球、个红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个口袋中随机摸出个球．下列事件中，概率最大的是(    )

A. 摸出的个球颜色相同 B. 摸出的个球颜色不相同
C. 摸出的个球中至少有个红球 D. 摸出的个球中至少有个白球

5. 将一副三角板按照如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 星期日早晨，小明从家匀速跑到公园，在公园某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，小明离公园的路程与时间的关系的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 为了庆祝中国共青团周年诞辰，某校将举办“激情五月，青春心向党”为主题的演讲比赛活动，计划用元钱购买甲、乙两种水晶奖杯作为奖品两种都买已知甲种奖杯每个元，乙种奖杯每个元，则购买水晶奖杯的方案共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

9. 如图，中，，，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰三角形，使，连结，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，抛物线的图象与轴交于，，其中有下列五个结论：；；；；若，为关于的一元二次方程的两个根，则你认为其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共7小题，共21分）

11. 新型冠状病毒的直径平均为纳米，纳米米，将纳米用科学记数法表示为______米．
12. 如图，在中，点，，分别是边，，的中点，使四边形为菱形，应添加的条件是______ 添加一个条件即可．

13. 用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为______．
14. 关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为______．
15. 如图，、是双曲线上的点，、两点的横坐标分别是、，线段的延长线交轴于点，若则________．

16. 若矩形的一条内角平分线分一边为和两部分，则矩形的面积为______．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点、、在直线上，以为边作第一个正方形，使点在轴的正半轴上，得到正方形的对角线的交点；以为边作第二个正方形，使点在轴的正半轴上，得到正方形的对角线的交点；依次作下去，则第个正方形的对角线的交点的坐标是______．

三、解答题（本大题共7小题，共69分）

18. 计算：；
    分解因式：．
19. 解方程：．
20. 为了贯彻落实“双减”政策，丰富课后服务内容，满足学生的个性发展需求，齐齐哈尔市某校推出多元课程，助力学生成长．为了解同学们对多元课程的喜欢程度，抽取部分学生进行调查．被调查的每个学生按非常喜欢、比较喜欢、一般喜欢、不喜欢四个等级对活动进行评价．图和图是采集数据后绘制的两幅统计图、条形统计图有一处错误且不完整，扇形统计图是正确的．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
    此次调查的学生有______人；表示“非常喜欢”所对应扇形的圆心角度数是______；
    条形统计图中存在错误的是______填、、中的一个，此等级正确人数为______人；
    将图条形统计图中的等级补充完整；
    若该校约有名学生，请估计“非常喜欢”和“比较喜欢”的学生共约有多少人？
     

21. 如图，是的直径，点是上一点与点，不重合，过点作直线，使得．
    求证：直线是的切线．
    过点作于点，交于点，若的半径为，，求图中阴影部分的面积．

22. 一辆快车从甲地驶往乙地，到达乙地后立刻返回甲地，同时一辆慢车从乙地驶往甲地，到达甲地后停止行驶，已知两车相遇时快车比慢车多行驶，设行驶时间为单位：，两车之间的距离为单位：，与之间的函数关系如图，根据图象解答下列问题．
    直接写出快、慢两车的速度；
    求快车从乙地返回甲地的过程中与的函数解析式；
    直接写出何时两车相距千米？

23. 综合与实践
    如图，中，，为的斜边上的中线，在证明的过程中，我们可以延长到，使得，连接很容易证明≌，进而证明≌，所以，所以我们可以得到直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
    实践操作：
    将两个全等的，拼在一起，如图，不动．
    问题解决：
    将绕点逆时针旋转，连接，是的中点，连接，，如图求证：；
    拓展延伸：
    若将图中的向上平移，且不变，连接，是的中点，连接，，如图，则线段，的数量关系为______；
    问题再探：
    在的条件下，若改变大小，如图，其他条件不变，请你判断线段，的数量关系还成立吗？请说明理由．
     

24. 综合与探究
    如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
    求抛物线解析式；
    点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，直接写出周长的最小值为______；
    若点是第四象限抛物线上的动点，求面积的最大值以及此时点的坐标；
    若点是平分线上的一点，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据相反数的定义知，的相反数是．
故选：．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫互为相反数，据此解答即可．
本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后对称轴两边的部分可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形绕对称中心旋转度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】
解：、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则、单项式乘单项式的运算法则、积的乘方与幂的乘方的运算法则、平方根的定义解答即可．
本题考查了合并同类项、单项式乘单项式、积的乘方与幂的乘方、平方根，熟练掌握合并同类项法则、单项式乘单项式的运算法则、积的乘方与幂的乘方的运算法则、平方根的定义是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

由树状图知，共有种等可能结果，
摸出的个球颜色相同概率为，
摸出的个球颜色不相同的概率为，
摸出的个球中至少有个红球的概率为，
摸出的个球中至少有个白球的概率为，
概率最大的是摸出的个球中至少有个白球，
故选：．
先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再根据概率公式分别计算出每种情况的概率，据此即可得出答案．
此题主要考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
．
直尺的上下两边平行，
．
故选：．
由平角等于结合三角板各角的度数，可求出的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：图象应分三个阶段，第一阶段：匀速跑步到公园，在这个阶段，离公园的距离随时间的增大而减小；
第二阶段：在公园停留了一段时间，这一阶段离公园的距离为故选项A、、不合题意；
第三阶段：沿原路匀速步行回家，这一阶段，离公园的距离随时间的增大而增大，故选项B符合题意．
故选：．
根据在每段中，离公园的距离随时间的变化情况即可进行判断．
本题考查了函数的图象，理解每阶段中，离家的距离与时间的关系，根据图象的斜率判断运动的速度是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由俯视图易得最底层有个正方体，由主视图第二层最少有个正方体，
那么最少有个立方体．
故选：．
易得这个几何体共有层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层正方体的可能的最少的个数，相加即可．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数．
 

8.【答案】 

【解析】解：设购买甲种奖杯个，乙种奖杯个，
依题意得：，

又，均为正整数，
或或，
共有种购买方案．
故选：．
设购买甲种奖杯个，乙种奖杯个，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出共有种购买方案．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设交于，过点作于．

，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
设交于，过点作于首先证明，再证明，可得结论．
本题考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，解题的关键是证明，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
，，
，即，
，
又抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，
故错误；
由图象知，当时，，
，
故错误；
当时，，即，
当时，，即，
由得，，
把代入得，，
整理得：，
故正确；
当时，，
，
又，
，
，
故错误；
，
令即为向上平移个单位得到，
，，
，
，
故正确．
故选：．
由图象可知，，，由对称轴可知得出，故判断；由时，可以判断；由当时，和当时，可以判断；由当时，和，可以判断；向上平移个单位得到，对称轴不变，可以判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；决定抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

11.【答案】 

【解析】解：纳米米米．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】解：添加，
点，，分别是边，，的中点，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
故答案为：．
根据三角形中位线定理可得，，进而可得四边形为平行四边形，再，可得四边形为菱形．
此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
 

13.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得
，
解得．
故选：．
圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：、圆锥的母线长为扇形的半径，、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
 

14.【答案】且 

【解析】解：，
方程两边同乘以，得
，
去括号移项，得
，
合并同类项，得
，
，
关于的分式方程的解为非负数，
，
解得，且．
故答案为：且．
先去分母，将方程可化为，解方程，根据方程的解为非负数，且分母不为，可以求得的取值范围．
本题考查分式方程的解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了反比例函数的性质、三角形的中位线的判定及梯形的面积公式，体现了数形结合的思想．
分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，再过点作于，那么由，，可知、分别是、的中点，易证≌，则，根据梯形的面积公式即可求出的值．
【解答】
解：分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，再过点作于，

则，，
、分别是、的中点，
在与中，，，，
≌，
，
又，，
，
解得：，
故答案为．  

16.【答案】或． 

【解析】解：如图，
四边形是矩形
，

又平分，即，
，
．
当，时，，．
矩形的面积是：；
当，时，，，
矩形的面积是：；
故答案为：或．
根据，理解平行线的性质，以及角平分线的定义，即可证得，利用等边对等角可以证得，然后分，和，两种情况即可求得矩形的边长，从而求解．
此题考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
 

17.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点、、在直线上，
的坐标为，的坐标为，
根据中点坐标公式得的坐标为，即；
的坐标为，的坐标为，根据中点坐标公式得的坐标为，即；
的坐标为，的坐标为，根据中点坐标公式得的坐标为，即；
的坐标为，的坐标为，根据中点坐标公式得的坐标为，即；
点的坐标，
点的坐标是
故答案为：
依次求出、、的坐标，探索其规律，即可求解．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，关键根据图形性质依次求出、、，的坐标，探索其规律．
 

18.【答案】解：

；


． 

【解析】根据实数运算顺序和法则解答；
先提取公因式；然后利用十字相乘法继续进行因式分解．
本题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

19.【答案】解：，，，
，
，
，． 

【解析】本题考查了解一元二次方程的方法公式法．
原方程是一元二次方程的一般形式，先由系数求得根的判别式，再利用求根公式求解．
 

20.【答案】       

【解析】解：，
，
此次调查的学生人数为．
，
即表示“非常喜欢”所对应扇形的圆心角度数是．
故答案为：，；
由可知条形高度错误，
应为：，
即的条形高度改为；
故答案为：；；
的人数为：人；
补充完整条形统计图如图所示：

人．
答：该校对此活动“非常喜欢”和“比较喜欢”的学生有人．
根据的人数和所占的百分比求出抽取的学生人数，用乘以“非常喜欢”所占的百分比得出表示“非常喜欢”所对应扇形的圆心角度数；
根据的计算判断出的条形高度错误，用调查的学生人数乘以所占的百分比计算即可得解；
求出的人数，然后补全统计图即可；
用总人数乘以、所占的百分比计算即可得解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】解：证明：如图，连接，

是的直径，
，
，
．
，
，即，
直线是的切线．
连接，
，，
，．
又，
为等边三角形，
．

．
图中阴影部分的面积为． 

【解析】本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形及扇形和三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
连接，由直径所对的圆周角为直角，可得；利用等腰三角形的性质及已知条件，可求得，按照切线的判定定理可得结论．
由，可得，从而可得的度数，进而判定为等边三角形，则的度数可得；利用，可求得答案．
 

22.【答案】解：由图可知：点表示的意义是快车与慢车相向而行，经过小时相遇，
两车相遇时快车比慢车多行驶千米，
快车比慢车小时多行驶千米，
快车比慢车小时多行驶千米，
设快车、慢车从出发到相遇与对应的函数关系式为，．
把，两点的坐标分别代入到中，
得，
解得：，
快车、慢车从出发到相遇对应的函数关系式为，
令，得，
甲、乙两地相距千米，
设慢车的速度为千米时，则快车的速度为千米时，
快车与慢车相向而行，经过小时相遇，
，
解得，
，
快车的速度为千米时，慢车的速度为千米时；
由图象知，，
，
的横坐标为，
的纵坐标表示的意义是慢车到达甲地时，两车之间的距离，
此时，慢车到达甲地，快车从乙地返回甲地的过程中，
快车与甲地的距离为：千米，
此时，
，
小时，
，
当时，设线段对应的函数解析式为，
，
解得，
；
当时，设线段对应的函数解析式为，
，
解得，
；
综上所述，快车从乙地返回甲地的过程中与的函数解析式为；
设快车、慢车相遇后到快车到达乙地的过程中与对应的函数关系式为，
把，，两点的坐标代入解析式中，
得，
解得，
，
由可知：，
把代入到中，
得，
解得；
把代入到中得：
，
解得：；
把代入到中得：
，
解得：，不合题意，舍去；
把代入到中得：
，
解得：．
综上所述，当的值为或或时，两车相距千米． 

【解析】先点的实际意义求出快车比慢车小时多行驶千米，然后根据图象求出快车、慢车从出发到相遇与对应的函数关系式，令，求出甲、乙两地之间的距离，再设慢车的速度为千米时，则快车的速度为千米时，根据两车的路程之和列方程求解即可；
根据题意求出点，，坐标，然后用待定系数法求函数解析式；
根据，，，所在直线的解析式，把分别代入解析式，求出相应的即可．
此题主要考查了一次函数的应用以及考查学生解决实际问题的能力，要求学生根据问题提供的信息读懂图象，并善于从图象中得到正确的信息．要求学生将所给的函数图象与其表示的实际意义联系起来，并结合图象分析和解决问题．
 

23.【答案】 

【解析】解：连接，

由已知得≌，
，，，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
如图，延长、相交于，延长交于，

，，
是的中点，是的中点，
，
，
同理：，
，
，
，
，
故答案为：；
延长交于，

，
，，
又是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
由“”可证≌，可得；
根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后求出，再根据两直线平行，内错角相等求出，同理求出，根据两直线平行，同位角相等求出，然后求出，再根据等角对等边即可得证；
根据两直线平行，内错角相等可得，，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，证明≌是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴交于、两点，
，
解得：，
该抛物线解析式为；
，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
，
如图，连接交直线于点，
、两点关于直线对称，
，
最小，
又，，，
在中，，
在中，，
周长的最小值为，
故答案为：；
如图，设，过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
则，
，



，
，
当时，面积的最大值为，此时，；
若以、、、为顶点的四边形是矩形，则点和点的位置有两种如图所示点和点点和点，如图，
由得：，，，
点是平分线上的一点，作，
则，
，
，
在和中，，
，
，
点，
同理在和中，可解得点
故点的坐标为或
运用待定系数法即可求得答案；
如图，连接交直线于点，可得最小，再运用勾股定理即可求得周长的最小值；
如图，设，过点作轴交于点，利用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得，再运用二次函数的性质即可得出答案；
若以、、、为顶点的四边形是矩形，则点和点的位置有两种如图所示点和点点和点，作，则，利用面积法可求得，再利用解直角三角形即可求得答案．
本题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，利用轴对称及两点之间线段最短求最值，利用二次函数性质求最值，角平分线的性质定理，矩形性质等知识点，难度较大．