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九年级数学上册 二次函数 复习课件
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这是一份九年级数学上册 二次函数 复习课件,共34页。PPT课件主要包含了二次函数的一般形式,知识运用,直线X0,基础练习,归纳知识点,1a的符号,开口向上,开口向下,2C的符号,交点在x轴上方等内容,欢迎下载使用。
二次函数的定义: 形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做二次函数
想一想:函数的自变量x是否可以取任何值呢?
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
函数y=ax2+bx+c其中a、b、c是常数切记:a≠0右边一个x的二次多项式(不能是分式或根式)二次函数的特殊形式:当b=0时, y=ax2+c当c=0时, y=ax2+bx当b=0,c=0时, y=ax2
下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x -2 +x (6)y=x2-x(1+x)
(一)形如y = ax 2 (a≠0) 的二次函数
(二)形如y = ax 2+k (a≠0) 的二次函数
(三)、形如y = a (x - h) 2 ( a≠0 ) 的二次函数
巩固练习1:(1)抛物线y = x 2的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第 象限 ;
(2)已知y = - nx 2 (n>0) , 则图象 ( )(填“可能”或“不可能”)过点A(-2,3)。
(2)已知(如图)抛物线y = ax 2+k的图象,则a 0,k 0;若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ,则a = ,k = ;函数关系式是y = 。
(四) 形如y = a (x+h) 2 +k (a ≠0) 的二次函数
练习巩固2:(1)抛物线 y = 2 (x –3 ) 2+1 的开口向 , 对称轴 , 顶点坐标是 (2)若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下,顶点在第四象限,则a 0, m 0, n 0。
观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象,说说y=x2-6x+7的图象是怎样由y=x2的图象平移得到的?
平移规律:h决定左右左正右负K决定上下上正下负
1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平 移三个单位,得到的图象的函数解析式为 ________________________
2.由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位,再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式为_____________________________
y=2(x+2)2-3
y= - 3(x-1-4)2+2+3
=-3x2+30x-70
3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为______________;
y=2(x+1)2-8
4.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.
逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3个单位,再向上平移5个单位.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题:
由抛物线的开口方向确定
由抛物线与y轴的交点位置确定.
(4)b2-4ac的符号:
由抛物线与x轴的交点个数确定
17.根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量与函数值的对应值,判断方程ax2+bx+c =0(a≠0, a, b, c为常数)的一个解的范围是( )
A.6.17< X <6.18 B.6.18< X <6.19C.-0.01< X <0.02 D.6.19< X <6.20
(16)小明从右边的二次函数y=ax2+bx+c的图象观察得出下面的五条信息:① a< 0;② c=0;③ 函数的最小值为-3; ④当x<0时,y>0; ⑤当0<x1<x2<2时,y1 > y2 你认为其中正确的个数有( ) A.2 B.3 C.4 D.5
练一练:已知y=ax2+bx+c的图象如图所示, a___0, b____0, c_____0, abc____0 b___2a, 2a-b_____0, 2a+b_______0 b2-4ac_____0 a+b+c_____0, a-b+c____0 4a-2b+c_____0
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
选择抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________. A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2(2)抛物线y=3x2-1的________________ A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点(3)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,0), B(4,0), 则对称轴是_______ A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -3(4)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,m), B(4,m), 则对称轴是_______ A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2
2、已知抛物线顶点坐标(h, k),通常设抛物线解析式为_______________
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________
1、已知抛物线上的三点,通常设解析式为________________
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
求抛物线解析式的三种方法
练习 根据下列条件,求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0,0), (1,-2) , (2,3) 三点;
(2)、图象的顶点(2,3), 且经过点(3,1) ;
(3)、图象经过(-2,0), (3,0) ,且最高点 的纵坐标是3 。
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-6)。求a、b、c。
解:∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时,x=1 ∴顶点坐标为( 1 , 2)∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又∵图象经过点(3,-6)∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即: y=-2x2+4x
综合创新:1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状 相同 a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5
2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线
答案:y=-x2+6x-5
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是x=1 , 最高点在直线y=2x+4上。 (1) 求此抛物线的顶点坐标.(2)求抛物线解析式.
(3)求抛物线与直线的交点坐标.
解:∵二次函数的对称轴是x=1 ∴图象的顶点横坐标为1又∵图象的最高点在直线y=2x+4上∴当x=1时,y=6∴顶点坐标为( 1 , 6)
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点,与y轴负半轴交于点C。若OA=4,OB=1,∠ACB=90°,求抛物线解析式。
解: ∵点A在正半轴,点B在负半轴OA=4,∴点A(4,0)OB=1, ∴点B(-1,0)∵ ∠ACB=90°OC⊥ AB∴ ∠ CAO=∠BCO ∠CAO+∠OCA=90,∠OCA+∠BCO=90∴∠BOC=∠COA,∴△BOC∽△COA∴OB/OC=OC/OA∴OC=2,点C(0,-2)由题意可设y=a(x+1)(x-4)得:a(0+1)(0-4)=-2∴a=0.5 ∴ y=0.5(x+1)(x-4)
练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时,y随x的增大而增大;
(2)、当x为何值时,y<0。
(3)、求它的解析式和顶点坐标;
Y=-1/25 × 152=-9
问题4:某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时,能卖出500个,已知这种商品每个涨价一元,销量减少10个,为赚得最大利润,售价定为多少?最大利润是多少?
分析:利润=(每件商品所获利润)× (销售件数)
设每个涨价x元, 那么
(3)销售量可以表示为
(1)销售价可以表示为
(50+x)元(x≥ 0,且为整数)
(500-10x) 个
(2)一个商品所获利润可以表示为
(4)共获利润可以表示为
(50+x-40)(500-10x)元
答:定价为70元/个,利润最高为9000元.
y=(50+x-40)(500-10x)
=-10 x2 +400x+5000
(0 ≤ x≤50 ,且为整数 )
=- 10(x-20)2 +9000
问题5:如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围;(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少?(3)若墙的最大可用长度为8米,则求围成花圃的最大面积。
(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ∴ 花圃另一边为(24-4x)米
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ S=x(24-4x) =-4x2+24 x (0∴ 0<24-4x ≤8 4≤x<6
∴当x=4m时,S最大值=32 平方米
小试牛刀 如图,在ΔABC中,AB=8cm,BC=6cm,∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,几秒后ΔPBQ的面积最大?最大面积是多少?
解:根据题意,设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大,则:
AP=2x cm PB=(8-2x ) cm
则 y=1/2 x(8-2x)
=-(x2 -4x +4 -4)
= -(x - 2)2 + 4
所以,当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大最大面积是 4cm2
如图,在ΔABC中,AB=8cm,BC=6cm,∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,几秒后ΔPBQ的面积最大?最大面积是多少?
在矩形荒地ABCD中,AB=10,BC=6,今在四边上分别选取E、F、G、H四点,且AE=AH=CF=CG=x,建一个花园,如何设计,可使花园面积最大?
解:设花园的面积为y则 y=60-x2 -(10-x)(6-x)
=-2x2 + 16x
=-2(x-4)2 + 32
所以当x=4时 花园的最大面积为32
二次函数的定义: 形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做二次函数
想一想:函数的自变量x是否可以取任何值呢?
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
函数y=ax2+bx+c其中a、b、c是常数切记:a≠0右边一个x的二次多项式(不能是分式或根式)二次函数的特殊形式:当b=0时, y=ax2+c当c=0时, y=ax2+bx当b=0,c=0时, y=ax2
下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x -2 +x (6)y=x2-x(1+x)
(一)形如y = ax 2 (a≠0) 的二次函数
(二)形如y = ax 2+k (a≠0) 的二次函数
(三)、形如y = a (x - h) 2 ( a≠0 ) 的二次函数
巩固练习1:(1)抛物线y = x 2的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第 象限 ;
(2)已知y = - nx 2 (n>0) , 则图象 ( )(填“可能”或“不可能”)过点A(-2,3)。
(2)已知(如图)抛物线y = ax 2+k的图象,则a 0,k 0;若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ,则a = ,k = ;函数关系式是y = 。
(四) 形如y = a (x+h) 2 +k (a ≠0) 的二次函数
练习巩固2:(1)抛物线 y = 2 (x –3 ) 2+1 的开口向 , 对称轴 , 顶点坐标是 (2)若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下,顶点在第四象限,则a 0, m 0, n 0。
观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象,说说y=x2-6x+7的图象是怎样由y=x2的图象平移得到的?
平移规律:h决定左右左正右负K决定上下上正下负
1.由y=2x2的图象向左平移两个单位,再向下平 移三个单位,得到的图象的函数解析式为 ________________________
2.由函数y= -3(x-1)2+2的图象向右平移4个单位,再向上平移3个单位,得到的图象的函数解析式为_____________________________
y=2(x+2)2-3
y= - 3(x-1-4)2+2+3
=-3x2+30x-70
3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为______________;
y=2(x+1)2-8
4.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.
逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3个单位,再向上平移5个单位.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题:
由抛物线的开口方向确定
由抛物线与y轴的交点位置确定.
(4)b2-4ac的符号:
由抛物线与x轴的交点个数确定
17.根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量与函数值的对应值,判断方程ax2+bx+c =0(a≠0, a, b, c为常数)的一个解的范围是( )
A.6.17< X <6.18 B.6.18< X <6.19C.-0.01< X <0.02 D.6.19< X <6.20
(16)小明从右边的二次函数y=ax2+bx+c的图象观察得出下面的五条信息:① a< 0;② c=0;③ 函数的最小值为-3; ④当x<0时,y>0; ⑤当0<x1<x2<2时,y1 > y2 你认为其中正确的个数有( ) A.2 B.3 C.4 D.5
练一练:已知y=ax2+bx+c的图象如图所示, a___0, b____0, c_____0, abc____0 b___2a, 2a-b_____0, 2a+b_______0 b2-4ac_____0 a+b+c_____0, a-b+c____0 4a-2b+c_____0
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
选择抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________. A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2(2)抛物线y=3x2-1的________________ A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点 C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点(3)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,0), B(4,0), 则对称轴是_______ A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -3(4)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,m), B(4,m), 则对称轴是_______ A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2
2、已知抛物线顶点坐标(h, k),通常设抛物线解析式为_______________
3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________
1、已知抛物线上的三点,通常设解析式为________________
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
求抛物线解析式的三种方法
练习 根据下列条件,求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0,0), (1,-2) , (2,3) 三点;
(2)、图象的顶点(2,3), 且经过点(3,1) ;
(3)、图象经过(-2,0), (3,0) ,且最高点 的纵坐标是3 。
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-6)。求a、b、c。
解:∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时,x=1 ∴顶点坐标为( 1 , 2)∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又∵图象经过点(3,-6)∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即: y=-2x2+4x
综合创新:1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状 相同 a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5
2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线
答案:y=-x2+6x-5
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是x=1 , 最高点在直线y=2x+4上。 (1) 求此抛物线的顶点坐标.(2)求抛物线解析式.
(3)求抛物线与直线的交点坐标.
解:∵二次函数的对称轴是x=1 ∴图象的顶点横坐标为1又∵图象的最高点在直线y=2x+4上∴当x=1时,y=6∴顶点坐标为( 1 , 6)
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴分别交于A、B两点,与y轴负半轴交于点C。若OA=4,OB=1,∠ACB=90°,求抛物线解析式。
解: ∵点A在正半轴,点B在负半轴OA=4,∴点A(4,0)OB=1, ∴点B(-1,0)∵ ∠ACB=90°OC⊥ AB∴ ∠ CAO=∠BCO ∠CAO+∠OCA=90,∠OCA+∠BCO=90∴∠BOC=∠COA,∴△BOC∽△COA∴OB/OC=OC/OA∴OC=2,点C(0,-2)由题意可设y=a(x+1)(x-4)得:a(0+1)(0-4)=-2∴a=0.5 ∴ y=0.5(x+1)(x-4)
练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时,y随x的增大而增大;
(2)、当x为何值时,y<0。
(3)、求它的解析式和顶点坐标;
Y=-1/25 × 152=-9
问题4:某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时,能卖出500个,已知这种商品每个涨价一元,销量减少10个,为赚得最大利润,售价定为多少?最大利润是多少?
分析:利润=(每件商品所获利润)× (销售件数)
设每个涨价x元, 那么
(3)销售量可以表示为
(1)销售价可以表示为
(50+x)元(x≥ 0,且为整数)
(500-10x) 个
(2)一个商品所获利润可以表示为
(4)共获利润可以表示为
(50+x-40)(500-10x)元
答:定价为70元/个,利润最高为9000元.
y=(50+x-40)(500-10x)
=-10 x2 +400x+5000
(0 ≤ x≤50 ,且为整数 )
=- 10(x-20)2 +9000
问题5:如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围;(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少?(3)若墙的最大可用长度为8米,则求围成花圃的最大面积。
(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ∴ 花圃另一边为(24-4x)米
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ S=x(24-4x) =-4x2+24 x (0
∴当x=4m时,S最大值=32 平方米
小试牛刀 如图,在ΔABC中,AB=8cm,BC=6cm,∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,几秒后ΔPBQ的面积最大?最大面积是多少?
解:根据题意,设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大,则:
AP=2x cm PB=(8-2x ) cm
则 y=1/2 x(8-2x)
=-(x2 -4x +4 -4)
= -(x - 2)2 + 4
所以,当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大最大面积是 4cm2
如图,在ΔABC中,AB=8cm,BC=6cm,∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,几秒后ΔPBQ的面积最大?最大面积是多少?
在矩形荒地ABCD中,AB=10,BC=6,今在四边上分别选取E、F、G、H四点,且AE=AH=CF=CG=x,建一个花园,如何设计,可使花园面积最大?
解:设花园的面积为y则 y=60-x2 -(10-x)(6-x)
=-2x2 + 16x
=-2(x-4)2 + 32
所以当x=4时 花园的最大面积为32