高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理图片课件ppt
展开如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 若 e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
问题1 空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢?
追问2 两个不共线的向量还够用吗?
如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x,y),使 p=xa+yb.
追问1 为了表示空间中的任意向量,我们至少需要几个向量?
追问3 任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗?
我们称 xi,yj,zk 分别为向量 p 在 i,j,k 上的分向量.
追问4 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的,能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ?
问题2 你能类比平面向量基本定理的表述,写出空间向量基本定理吗?
如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2.
如果三个向量 a,b,c 不共面,
如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对任意一个空间向量 p,
如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对任意一个空间向量 p,存在唯一
如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对任意一个空间向量 p,存在唯一的有序实数组 (x,y,z),
如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对任意一个空间向量 p,存在唯一的有序实数组 (x,y,z),使得 p=xa+yb+zc.
那么,所有空间向量组成的集合就是 { p | p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.
我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底(base),a,b,c 都叫做基向量(base vectrs).
问题3 空间的基底有多少个,需要满足什么条件?
答:任意三个不共面的向量都能构成空间的一个基底.空间的基底有无穷多个.
{a,b,c}是空间的一个基底,当且仅当 a,b,c不共面.
特别地,如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量 a,均可以分解为三个向量 xi,yj,zk,使 a=xi+yj+zk. 像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
问题4 平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么?
如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对任意一个空间向量 p,存在唯一的有序实数组 (x,y,z),使得 p=xa+yb+zc.
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2.
向量 a ( a ≠ 0)与向量 b共线的充要条件是:存在唯一一个实数 λ,使b=λa.
给我一个支点,我可以撬起地球.——阿基米德
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