2020-2021学年24.3 正多边形和圆课后作业题

这是一份2020-2021学年24.3 正多边形和圆课后作业题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB=( )
A. 22：3
B. 2：3
C. 3：2
D. 3：22
如图，⊙O与正八边形OABCDEFG的边OA，OG分别相交于点M、N，则弧MN所对的圆周角∠MPN的大小为( )
A. 30°
B. 45°
C. 67.5°
D. 75°
半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比为( )
A. 1:2:3B. 3:2:1C. 3:2:1D. 1:2:3
如图，A、B、C是⊙O上顺次3点，若AC、AB、BC分别是⊙O内接正三角形、正方形、正n边形的一边，则n=( )
A. 9
B. 10
C. 12
D. 15
如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是( )
A. AE//BF
B. AF//CD
C. DF=AF
D. AB=BF
已知圆的内接正六边形的面积为183，则该圆的半径等于( )
A. 33B. 23C. 3D. 32
如图，已知正六边形ABCDEF的边长为3，点G，H，I，J，K，L依次在正六边形的六条边上，且AG=BH=CI=DJ=EK=FL，顺次连结G，I，K，和H，J，L，则图中阴影部分的周长C的取值范围为( )
A. 6≤C≤63B. 3≤C≤33
C. 33≤C≤6D. 33≤C≤63
如图，正五边形ABCDE中，直线l过点B，且l⊥ED，现有以下说法：
①l是线段AC的垂直平分线；
②∠BAC=36°；
③正五边形ABCDE有五条对称轴．
正确的有( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的半径是
23cm，则这个正六边形的周长是( )
A. 12
B. 63
C. 36
D. 123
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AC，已知AC=6，则圆的半径是( )
A. 3
B. 6
C. 23
D. 43
如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PBM：S△PCD的值为( )
A. 12
B. 23
C. 14
D. 38
如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC//QR，则∠AOQ的度数是( )
A. 60°
B. 65°
C. 72°
D. 75°
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
如图，正方形ABCD内接于⊙O，边长BC=5，P为弧AD上一点且AP=1，则PC=______．
如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是______．
如图，正六边形ABCDEF的边长为6，M，N分别为AB，BC的中点，点P在正六边形的边上，且在直线MN的右侧，则当△MNP为等腰三角形时，MP长为______．
如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，CD分别相切于点A，D．
(1)连接OA，则∠OAE的度数为______；
(2)若△ADP内接于⊙O，则∠APD的度数为______．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在AC上，且AD=2CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹，不必写画法)
(1)在图1中，画出⊙O的一个内接正方形；
(2)在图2中，画出⊙O的一个内接等边三角形．
如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC.求∠BCM的大小．
如图，(1)已知⊙O，求作⊙O的内接正六边形ABCDEF
(2)若⊙O的半径为10cm.试求此正六边形的面积．
如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．
如图正六边形ABCDEF.请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图．
(1)在图1中，画出一个与正六边形的边长相等的菱形；
(2)在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．
如图正六边形ABCDEF，请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图．
(1)在图1中，画出一个与正六边形的边长相等的菱形；
(2)在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．
连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得出AH=BH=12AB，证出△AOD是等腰直角三角形，∠AOH=∠BOH=60°，AH=BH=12AB，得出AD=2OA，AH=32OA，则AB=2AH=3OA，进而得出答案．
【解答】
解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：
则AH=BH=12AB，
∵正方形ADEF和等边三角形ABC都内接于⊙O，
∴∠AOB=120°，∠AOD=90°，
∵OA=OD=OB，
∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH=∠BOH=12×120°=60°，
∴AD=2OA，∠OAH=30°，
∴OH=12OA，
∴AH=OA2−OH2=32OA，
∴AB=2AH=2×32OA=3OA，
∴ADAB=2OA3OA=23，
故选：B．
2.【答案】C
【解析】解：∵八边形OABCDEFG是正八边形，
∴∠AOG=180°×(8−2)8=135°，即∠MON=135°，
∴∠MPN=12∠MON=67.5°．
故选：C．
首先求得正八边形OABCDEFG的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
此题考查了圆周角定理与正六边形的性质．此题比较简单，注意掌握正六边形内角的求法与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是圆内接正三角形、正方形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．
根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可．
【解答】
解：设圆的半径为R．
如图①所示，
在正三角形ABC中，连接OB，过O作OM⊥BC于M，
则∠OBC=30°，
∴OM=12OB=12R,
∴由勾股定理得BM=32R，
故BC=2BM=3 R；
如图②所示，
在正方形ABCD中，连接OA、OB，过O作ON⊥AB于N，
则△OBN是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得AN=ON=22R，
故AB=2AN=2R；
如图③所示，
在正六边形ABCDEF中，连接OA、OB，过O作OG⊥AB，
则△OAB是等边三角形，
故AB=OA=R；
∴半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比为3R：2R：R=3：2：1．
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：如图，连接OA，OC，OB．
∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，
∴∠AOC=120°，∠AOB=90°，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=30°，
由题意30°=360°n，
∴n=12，
故选：C．
如图，连接OA，OC，OB.想办法求出中心角∠BOC即可解决问题．
本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、正多边形与圆、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定、解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
连接OA、OB、AD，根据正多边形的性质求出各个角的度数，结合平行线的判定方法，再逐个判断即可；
【解答】
解：A.∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE=∠ABC=∠C=∠EDC=∠E=(5−2)×180°5=108°，BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB=12×(180°−∠C)=36°，
∴∠ABD=108°−36°=72°，
∴∠EAB+∠ABD=180°，
∴AE//BF，故本选项不符合题意；
B.∵∠F=∠CDB=36°，
∴AF//CD，故本选项不符合题意；
C.连接AD，过A作AH⊥DF于H，则∠AHF=∠AHD=90°，
∵∠EDC=108°，∠CDB=∠EDA=36°，
∴∠ADF=108°−36°−36°=36°=∠F，
∴AD=AF，
∴FH=DH，
当∠F=30°时，AF=2AH，FH=DH=3AH，
此时DF=3AF，
∴此时∠F=36°时，DF≠3AF，故本选项符合题意；
D.连接OA、OB，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB=360°5=72°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=12(180°−72°)=54°，
∵FA切⊙O于A，
∴∠OAF=90°，
∴∠FAB=90°−54°=36°，
∵∠ABD=72°，
∴∠F=72°−36°=36°=∠FAB，
∴AB=BF，故本选项不符合题意；
故选C．
6.【答案】B
【解析】解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，
∠AOB=60°，OA=OB=R，
则△OAB是正三角形，
∵OC=OA⋅sin∠A=32R，
∴S△OAB=12AB⋅OC=34R2，
∴正六边形的面积为6×34R2=332R2=183，
解得：R=12=23，
故选：B．
设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形，△OAB的面积的六倍就是正六边形的面积，即可得出答案．
本题考查的正多边形和圆，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：根据对称性可知，△GKI，△HLJ是等边三角形．阴影部分是正六边形，边长为GK的13．
∵GK的最大值为3，GK的最小值为332，
∴阴影部分的正六边形的边长的最大值为1，最小值为32，
∴图中阴影部分的周长C的取值范围为：33≤C≤6．
故选：C．
根据对称性可知，△GKI，△HLJ是等边三角形．阴影部分是正六边形，边长为GK的13.求出正六边形边长的最大值以及最小值即可解决问题．
本题考查正多边形的相关知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于选择题中的压轴题．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称的性质、正多边形的性质、全等三角形等知识解答即可
本题考查了轴对称的性质、正多边形的性质、全等三角形；会利用以上知识综合解题是关键．
【解答】
解：
∵五边形ABCDE为正五边形．
∴BA=BC，∠ABC=∠BAE=∠AED=5−2×180°5=108°，
∴△BAC为等腰三角形．
∴∠BAC=180°−∠ABC2=36°.故②正确．
∴∠EAC=∠BAE−∠BAC=108°−36°=72°．
∴∠CAE+∠AED=180°．
∴AC//ED．
又∵l⊥ED．
∴l⊥AC．
∴△ABF和△CBF为直角三角形．
∴在Rt△ABF和Rt△CBF中
AB=CBBF=BF
∴△ABF≌△CBFHL．
∴AF=CF．
∴l是线段AC的垂直平分线.故①正确．
③正五边形ABCDE有五条对称轴，正确；
综上所述①②③都正确．
故选D．
9.【答案】D
【解析】解：设正六边形的中心为O，连接AO，BO，如图所示：
∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠AOB=60°，AO=BO=23cm，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=23cm，
∴正六边形ABCDEF的周长=6AB=123cm．
故选：D．
由正六边形的性质证出△AOB是等边三角形，由等边三角形的性质得出AB=OA，即可得出答案．
此题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；根据题意得出△AOB是等边三角形是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：连接BO、AO，OB与AC交于H，
在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠BOA=360°6=60°，
∴∠BCA=12∠BOC=30°，AB=BC，
∴BO⊥AC，AH=CH=12AC=3，
∴BC=AB=OB=23，
∴圆的半径是23，
故选：C．
连接BO、AO，OB与AC交于H，根据正六边形ABCDEF的性质得到AB=BC，∠BOA=360°6=60°，根据垂径定理得到周角定理得到∠BCA=12∠BOC=30°，AB=BC，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是正多边形和圆，熟记多边形的内角和是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：设正六边形的边长为a.则S△PCD=2×34a2=32a2，S四边形BCDE=3×34a2=334a2，
由题意MN是△PCD的中位线，
∴S△PMN=14S△PCD=38a2，
∴S四边形MNDC=32a2−38a2=338a2，
∴S△BMC=S△DNE=12(334a2−338a2)=3316a2，
∵PM=CM，
∴S△PBM=S△BMC=3316a2，
∴S△PBM：S△PCD=3316a2：32a2=3：8，
故选：D．
设正六边形的边长为a.想办法求出△PBM，△PCD的面积即可．
本题考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是正多边形和圆有关知识，作辅助线连接OD，AR，根据题意求出∠POQ和∠AOD的度数，利用平行关系求出∠AOP度数，即可求出∠AOQ的度数．
【解答】
解：连接OD，AR，
∵△PQR是⊙O的内接正三角形，
∴∠PRQ=60°，
∴∠POQ=2×∠PRQ=120°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∴∠AOD=90°，
∵BC//RQ，AD//BC，
∴AD//QR，
∴∠ARQ=∠DAR，
∴弧AQ=弧DR，
∵△PQR是等边三角形，
∴PQ=PR，
∴弧PQ=弧PR，
∴弧AP=弧PD，
∴∠AOP=12∠AOD=45°，
所以∠AOQ=∠POQ−∠AOP=120°−45°=75°．
故选D．
13.【答案】3
【解析】解：连接AC，作AE⊥PB于E，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠D=∠BCD=90°，∠ACB=45°，
∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠APC=90°，AC=2BC=10，
∵AP=1，
∴CP=AC2−AP2=10−1=3，
故答案为：3．
连接AC，作AE⊥PB于E，如图所示：根据正方形到现在得到AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠D=∠BCD=90°，∠ACB=45°，根据等腰直角三角形的性质得到APC=90°，AC=2BC=10，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
14.【答案】47
【解析】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH⊥OF于点H，连接OA，

∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=6，中心为O，
∴AF=AB=6，∠AFO=12∠AFE=12×(6−2)×180°6=60°，MO=ON，
∵OA=OF
∴△OAF是等边三角形，
∴OA=OF=AF=6，
∵AM=2，
∴MF=AF−AM=6−2=4，
∵MH⊥OF，
∴∠FMH=90°−60°=30°，
∴FH=12MF=12×4=2，MH=MF2−FH2=42−22=23，
∴OH=OF−FH=6−2=4，
∴OM=MH2+OH2=(23)2+42=27，
∴NO=OM=27，
∴MN=NO+OM=27+27=47，
故答案为：47．
设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF=AB=6，∠AFO=12∠AFE=12×(6−2)×180°6=60°，MO=ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA=OF=AF=6，由AM=2，得出MF=4，由MH⊥OF，得出∠FMH=30°，进而求出FH=2，MH=23，再求出OH=4，利用勾股定理求出OM=27，即可求出MN的长度，即可得出答案．
本题考查了正多边形和圆，掌握正六边形的特点，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．
15.【答案】33或313
【解析】解：当MN=MP时，如图1，连接AC、OB，则OB⊥AC于点Q，
由正六边形的性质可知，∠ABO=60°，AB=6，
∴AQ=CQ=sin60°⋅AB=33=12AC，
又∵M，N分别为AB，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=12AC，
∴MN=MP=33；
当MP=NP时，如图2，此时，点P与点E重合，连接AE，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF=∠AFE=(6−2)×180°6=120°，AF=EF，
∴∠FAE=∠FEA=180°−120°2=30°，
∴∠MAE=120°−30°=90°，
由正六边形的性质可知，AE=AC=63，
在Rt△MAE中，MA=3，AE=63，由勾股定理得，
ME=MA2+AE2=313，
即MP=313，
故答案为：33或313．
分两种情况进行解答，即当MN=MP或MP=NP时，分别画出相应的图形，利用正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
本题考查正六边形与圆，掌握正六边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
16.【答案】18° 72°或108°
【解析】解：(1)如图，连接OB，OD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE=∠CDE=180°−360°5=108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠BAO=∠ODC=90°，
∴∠OAE=∠BAE−∠BAO=18°，
故答案为：18°；
(2)如图，∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B=∠C=180°−360°5=108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠BAO=∠ODC=90°，
∴∠AOD=540°−90°−90°−108°−108°=144°，
∴∠APD=12∠AOD=74°，
∴∠AP′D=180°−72°=108°，
故∠APD的度数为72°或108°，
故答案为：72°或108°．
(1)如图，连接OB，OD根据五边形的性质得到∠BAE=∠CDE=180°−360°5=108°.根据切线的性质得到∠BAO=∠ODC=90°，于是得到结论；
(2)根据正五边形的性质得到∠B=∠C=180°−360°5=108°.根据切线的性质得到∠BAO=∠ODC=90°，求得∠AOD=540°−90°−90°−108°−108°=144°，根据圆周角定理即可得到结论．
本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．
17.【答案】解：(1)如图1所示：四边形ACEF即为所求：
(2)如图2所示，△DEF即为所求．
【解析】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
(1)根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出⊙O的内接正方形即可．
(2)根据等边三角形的性质，画出⊙O的内接等边三角形即可．
18.【答案】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC=120°，AB=BC．
∵四边形ABMN为正方形，
∴∠ABM=90°，AB=BM.(2分)
∴∠MBC=120°−90°=30°，BM=BC．
∴∠BCM=∠BMC．
∴∠BCM=12×(180°−30°)=75°.(5分)
【解析】△BCM是等腰三角形，只要求出顶角∠CBM就可以，这个角是正六边形与正方形内角的差．
本题就是一个求正多边形的内角的问题，注意到△BCM是等腰三角形是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示，正六边形ABCDEF就是所求作的正六边形，
(2)连接OF，OE，且过点O作OH⊥EF，
由正六边形ABCDEF可得△OFE是等边三角形，
∴EF=OF=10，
∴OH=OFsin60°=10×32=53，
∴S△OFE=12×10×53=253，
∴S正六边形ABCDEF=6×253=1503cm2．
【解析】(1)以圆的半径长为半径以此在圆上画弧，然后再连接即可．
(2)连接OF，OE，且过点O作OH⊥EF，易求△OEF的面积，所以正六边形ABCDEF的面积是6倍的△OEF的面积，问题得解．
此题主要考查了复杂作图，关键是掌握圆的内接正六边形的边长等于圆的半径．
20.【答案】解：∵正n边形边长为a，OM⊥AB，OA=OB，
∴AM=12AB=12a，
∵边心距为r，
∴正n边形的半径R=OM2+AM2=r2+(12a)2=124r2+a2；
∴周长P=na；
∴面积S=nS△OAB=n×12a×r=12nar．
【解析】由正n边形边长为a，边心距为r，利用勾股定理即可求得正n边形的半径R，继而求得周长P，然后由面积S=nS△OAB求得答案．
此题考查了正多边形与圆的知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21.【答案】解：(1)画图如下：四边形AOEF(或四边形BCDO)即为所求；
(2)画图如下：解法一：菱形FGCH即为所求．
解法二：菱形AGDH即为所求．
【解析】(1)连接AD、BE交于点O，四边形AOEF即为所求；
(2)连接AC、DF、BF、CE，菱形FGCH即为所求；或延长AB、DC交于点G，延长AF、DE交于点H，菱形AGDH即为所求．
本题主要考查作图−复杂作图，熟练掌握正六边形的性质和菱形的判定是解题的关键．
22.【答案】解：(1)画图如下：四边形AOEF(或四边形BCDO)即为所求；
(2)画图如下：解法一：菱形FGCH即为所求．
解法二：菱形AGDH即为所求．
【解析】(1)连接AD、BE交于点O，四边形AOEF即为所求；
(2)连接AC、DF、BF、CE，菱形FGCH即为所求；或延长AB、DC交于点G，延长AF、DE交于点H，菱形AGDH即为所求．
本题主要考查作图−复杂作图，熟练掌握正六边形的性质和菱形的判定是解题的关键．