24.2点和圆.直线和圆的位置关系 人教版初中数学九年级上册同步练习（含答案解析）
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
- 如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分即四边形的面积是( )
A. B. C. D.
- 如图，菱形的顶点，，在上，过点作的切线交的延长线于点若的半径为，则的长为( )
A. B. C. D.
- 如图，内心为，连接并延长交的外接圆于，则线段与的关系是( )
A.
B.
C.
D. 不确定
- 如图，与相切于点，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，，是的切线，，是切点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，内接于圆，，过点的切线交的延长线于点，则( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，在中，点为的内心，，，则的面积是( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：；若，则；若点为的中点，则；其中一定正确的个数是( )
A. B. C. D.
- 如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的长为( )
A. B. C. D.
- 如图，为外一点，为的切线，为切点，交于点，，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
- 如图，已知，用尺规按照下面步骤操作：
作线段的垂直平分线；
作线段的垂直平分线，交于点；
以为圆心，长为半径作．
结论：点是的外心；结论：
则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是( )
A. 和Ⅱ都对 B. 和Ⅱ都不对 C. 不对，对 D. 对，Ⅱ不对
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且点为上的动点，，则长度的最大值为______．
- 用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于”时，应先假设 ．
- 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，在格点上，顶点在网格线上，其外接圆的圆心为．
Ⅰ的长等于______．
Ⅱ是上一点，当时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明 ______．
- 如图，在梯形中，，，以为直径作，恰与相切于点，连结，，若梯形的面积是，与的长度和为，则的长为______．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
- 如图，为直径，点为上一点，过作，过作分别交，的延长线于点，，若；
求证：为切线；
若，，求的半径．
- 如图，是的内接三角形，是的直径，点为的中点，延长到点，并连结，且．
求证：是的切线；
若，，填空；
______；
线段的长为______；
- 如图，在中，，点为中点，以为直径作交于点，线段上有一点．
当点在什么位置时，直线与有且只有一个公共点，请补全图形并说明理由．
在的条件下，当，时，求半径．
- 如图，中，，点在高上，于点，于点，以为圆心，为半径作．
求证：与相切于点；
如图，若过点，且，，连接，求的面积．
- 如图，在中，，以边为直径作交边于点，过点作于点，、的延长线交于点．
求证：是的切线；
若，且，求的半径．
- 如图，以正方形的边为直径作，是上一点，于点，，作直线交于点，，．
求的长；
求证：是的切线．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，
，
为直角三角形，，
、与分别相切于点、
，，
四边形为正方形，
设，
则，
的内切圆与、、分别相切于点、、，
，，
，
，
阴影部分即四边形的面积是．
故选：．
利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出后可计算出阴影部分即四边形的面积．
本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，进而求出，根据切线的性质得到，根据含的直角三角形的性质和勾股定理可得结论．
【解答】
解：连接，
四边形是菱形，
，
，
，
为等边三角形，
，
是的切线，
，
，
，
，
由勾股定理得：．
故选D．
3.【答案】
【解析】解：连接，如图，
内心为，
，，
，
，
，
即，
．
故选：．
连接，如图，根据三角形内心的性质得，，再根据圆周角定理得到，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明，从而可判断．
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．
4.【答案】
【解析】
【分析】
连接、，由切线的性质知，从而得，由内角和定理知，根据圆周角定理可得答案．
本题主要考查切线的性质及圆周角定理，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
【解答】
解：如图，连接、，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：连接，
，是的切线，，是切点，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，根据四边形的内角和等于得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查的是切线的性质，解决本题的关键是由、是的切线，可得．
6.【答案】
【解析】解：连接，如图，
为切线，
，
，
，
，
，
而，
．
故选：．
连接，如图，根据切线的性质得到，则利用互余计算出，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
7.【答案】
【解析】解：过点作于点．
点为的内心，，
，
，
则，
，
，，
，
的面积，
故选：．
过点作于点由点为的内心，，得，则，由，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含角的直角三角形的性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：连接和，
，，
，
为直角三角形，，
，
故选：．
连接和，证明为直角三角形，得到的度数，再利用圆周角定理得出．
本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是正确的作出辅助线．
9.【答案】
【解析】解：是的内心，
平分，
，故正确；
如图，设的外心为，
，
，
，故错误；
，
，
点为的中点，
，
，故正确；
如图，连接，
平分，
，
，
，
，
，故正确．
一定正确的是，共个．
故选：．
利用三角形内心的性质得到，则可对进行判断；直接利用三角形内心的性质对进行判断；根据垂径定理则可对进行判断；通过证明得到，则可对进行判断．
本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．
10.【答案】
【解析】解：如图，连结，
是的切线，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
故选：．
连结，根据切线的性质得到，根据，得到，根据，得到，在中，根据三角形内角和定理求得，根据含度角的直角三角形的性质得到，在中，根据求出的半径即可得出答案．
本题考查了切线的性质，体现了方程思想，在中，根据三角形内角和定理求得是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：连接，
为的切线，
，
，，
，则，
故B．
故选：．
直接利用切线的性质得出，进而利用直角三角形的性质得出的长．
此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：点是和的垂直平分线的交点，
点是的外心，故结论Ⅰ正确；
点，的位置不确定，
和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确．
故选：．
根据三角形外心的定义对结论Ⅰ进行判断；利用点、有任意性可对结论Ⅱ进行判断．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到的最大值是解题的关键．
连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，根据勾股定理和题意求得，则的最大长度为．
【解答】
解：连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，
，
，
以点为圆心的圆与轴相切．
的半径为，
，
，
是直径，
长度的最大值为，
故答案为．
14.【答案】三角形的三个内角都小于
【解析】
【解答】
解：用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于”时，应先假设三角形的三个内角都小于．
熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【分析】
解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
假设结论不成立；
从假设出发推出矛盾；
假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
15.【答案】 作直径，线段的垂直平分线交于点，作出线段的中点，作直线交于点，连接，点即为所求
【解析】解：Ⅰ，
故答案为：；
Ⅱ如图，点即为所求．
故答案为：作直径，线段的垂直平分线交于点，作出线段的中点，作直线交于点，连接，点即为所求．
Ⅰ利用勾股定理求解；
Ⅱ作直径，线段的垂直平分线交于点，作出线段的中点，作直线交于点，连接，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，垂径定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】
【解析】解：如图所示：连接．
是圆的切线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
同理：，
，
，
，
，
，，
，
又与的长度和为，
，
在中，，
，
故答案为：．
由切线的性质可知，由可判定≌，从而可得到，同理可证明，从而可证明，由三角形的内角和定理可知，然后根据，求出，结合与的长度和为，可求得，从而得到．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和全等三角形的判定与性质，根据题意求得是解题的关键．
17.【答案】证明：连接，如图，
，
．
，
，
，
，．
，．
，
，
．
即，
是的半径，
为的切线；
解：，，
∽，
，
．
设，则，，
．
．
，
，
，
．
．
的半径为．
【解析】连接，利用等腰三角形的性质，同圆的半径相等，平行线的性质和直角三角形的两个锐角互余以及圆的切线的判定定理解答即可；
通过证明∽，得到，设，则，，，利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可求得结论．
本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
18.【答案】
【解析】证明：连结，如图，
是的直径，
，
．
，
．
，
．
，
为的半径，
是的切线．
解：连接，，如图，
，
．
，
．
为等边三角形，
，
点为的中点，
，
，
．
故答案为：；
，
，
由知：，
，
．
故答案为：．
连结，利用圆周角定理和切线的判定定理解答即可；
连接，，利用等边三角形的判定定理和性质定理以及圆周角定理解答即可；
利用中结论，根据直角三角形的边角关系定理解答即可．
本题主要考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系，连结是解决此类问题常添加的辅助线．
19.【答案】解：如图，当点是的中点时，直线与有且只有一个公共点，
理由：连接，，
是的直径，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线与相切；
在中，，是的中点，
，
，
，
，，
∽，
，
，
设，
，
，
，
负值舍去，
，
，
，
，
即的半径为．
【解析】如图，当点是的中点时，直线与有且只有一个公共点，连接，，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
在中，根据直角三角形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练正确切线的判定定理是解题的关键．
20.【答案】证明：，点在高上，
平分，即，
，，
，
，
是的半径，
与相切于点；
解：，是高，
，
，
点在高上，圆过点，
圆与相切于点，
由得圆与相切于点，
，
如图，过作，则，
∽，
，即，
解得：，
．
【解析】利用等腰三角形的性质可得，再利用角平分线的性质得，然后根据切线的判定可判断与相切于点；
利用等腰三角形的性质得，则利用勾股定理可计算出，再判断与相切于点．则利用切线长定理得，所以，然后利用三角形面积公式计算的面积．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了等腰三角形的性质．
21.【答案】证明：连结，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：在中，，
设，则，
，，
在中，
，
，
，
，
解得，
，
即的半径长为．
【解析】连结，如图，由得到，由得到，则，于是可判断，然后利用得到，然后根据切线的判定定理得到结论；
，则，于是得到，，根据三角函数的定义得到，于是得到结论．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．灵活应用三角函数的定义是解决小题的关键．
22.【答案】解：如图，连接．
正方形边长为，是直径，
．
，，
，
，
；
证明：如图，连接，作于点．
四边形为直角梯形，
，．
．
．
又，公共边，
≌，
，
又是的半径，
是的切线．
【解析】已知直径易知半径．连接，在中运用勾股定理求，再求，；
欲证为切线，则证连接，证明≌即可．已有两边对应相等，只需证明为此作于，运用勾股定理可证．
此题考查了正方形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大
