专题10 导数与函数的单调性（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

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第10讲  导数与函数的单调性学校____________          姓名____________          班级____________ 一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在(a，b)上单调递增f′(x)＜0f(x)在(a，b)上单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导函数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.二、考点和典型例题1、不含参函数的单调性【典例1-1】1．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数，不等式的解集为（       ）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以，所以在上单调递减，则等价于，解得，即原不等式的解集为.故选：B.2．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数的单调增区间是(       )A． B． C． D．【答案】D【详解】∵，∴，当x＞2时，，∴f(x)的单调递增区间是．故选：D．3．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】设函数，所以，因为，所以，即，所以在上单调递减，因为，所以，因为，整理得，所以，因为在上单调递减，所以.故选：C.4．（2022·浙江金华·模拟预测）已知函数(1)当时，讨论的单调区间；(2)当时，若有两个零点，且，求证：.【解析】(1)当时，所以，当时，在上增，在上减；当时，在上减，在上增.(2)方法一：参数分离有两个不同的零点令，则令得当时，，所以：在递增；当时，，所以：在递减.显然时，.作出的图象如下： 所以：∴，所以：，所以，；下面证明：.要证：，因为所以：由（1）得.所以，原不等式得证.综上所述：.方法二：部分参数分离零点.从而为的图像与交点的横坐标.对给定的a，令使得，即，得，存在且唯一，此时的图像与有唯一交点.又，由（1）得，当时，，所以，（这里要说明）又因为成立.5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，（且）.(1)当时，求的单调区间；(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.【答案】(1)增区间为，减区间为(2)【解析】(1)当时，，当时，，当时；故的单调递增区间为，递减区间为.(2)由题意知在有两个不等实根，，令，，所以在上单调递增，在上单调递减；又，，，，，，作出的图象如图所示：由图可知，解得且，即a的取值范围为.  2、含参函数的单调性【典例2-1】1．（2022·四川绵阳·二模（文））若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】， 若时，当时，；当时，；则在上单调递减；在上单调递增.所以当时，取得极小值，与条件不符合,故满足题意.当时，由可得或；由可得所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得极大值，满足条件.当时，由可得或；由可得所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得极小值，不满足条件.当时，在上恒成立，即在上单调递增.此时无极值.综上所述：满足条件故选：A2．（2021·湖北·应城市第一高级中学高三阶段练习）已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由已知可得即为，设，，则，当时，显然，当时，在上也成立，所以时，在上单调递减，恒成立；当时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，于是，存在，使得，不满足，舍去此情况，综上所述，.故选：A.3．（2021·黑龙江绥化·高三阶段练习（理））已知，则下列说法正确的是（       ）A．当时，有极大值点和极小值点 B．当时，无极大值点和极小值点C．当时，有最大值 D．当时，的最小值小于或等于0【答案】D【详解】由题设，且，当时，则在上递增，无极值点和最大值，A、C错误；当时，若则，递减；则，递增；所以，即无极大值点，有极小值点，B错误；令且，则，当时，递增；当时，递减；所以，即的最小值小于或等于0，D正确；故选：D4．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知，则（       ）A．当，，时，B．当，，时，C．当，，时，D．当，，时，【答案】AC【详解】设，因为，所以，当，时，，即.易知，当时，，所以在上单调递减，所以，故选项A正确，选项B错误.当，时，，即.当时，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故选项C正确，选项D错误.故选：AC.5．（2022·广东佛山·三模）已知函数，其中，．(1)讨论的单调性；(2)当时，是的零点，过点作曲线的切线，试证明直线也是曲线的切线．【解析】(1)解：因为定义域为，所以，①当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，没有减区间；②当时，令时，，且，令得，所以的增区间为．令得，所以的减区间为(2)解：当时，是的零点，所以即由得，由得．所以过点作曲线的切线的方程为（*）假设曲线在点的切线与斜率相等，所以，所以，即把代入（*）式得所以点在切线上．所以直线也是曲线的切线  3、根据函数的单调性求参数【典例3-1】1．（2022·福建南平·三模）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】，即，令，由题意得在上单调递减，故，即在上恒成立，则，故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数在区间 内有意义， 则，设则 ，( 1 ) 当 时， 是增函数， 要使函数在区间内单调递增， 需使 在区间内内单调递增， 则需使，对任意恒成立 , 即对任意恒成立； 因为时，所以与矛盾，此时不成立. ( 2 ) 当时，是减函数，要使函数在区间内单调递增，需使在区间内内单调递减，则需使 对任意恒成立，即对任意恒成立，因为，所以，又，所以.综上，的取值范围是故选：B3．（2020·天津市第八中学高三期中）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（       ）．A． B． C． D．【答案】B【详解】若函数是上的单调函数，只需在上恒成立，即，∴．故的取值范围为．故选：B.4．（2018·浙江·模拟预测）若定义在上的函数满足，且的导函数的图象如图所示，记，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为导函数的图象为直线，且，所以函数为过原点的二次函数，设，所以由导函数图象可知在上单调递增，在上单调递减，则，又由，得，则，，所以，，所以，故选：C5．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数(1)求函数的极值；(2)设，为两个不等的正数，且，若不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】(1)函数定义域为R，求导得，当时，，当时，，因此，函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数有极大值1，无极小值.(2)令，即，则，依题意，两个不等的实数满足，且不等式恒成立，不妨令，由(1)知，在上递增，在上递减，且当时，恒成立，而，因此有，由知，，，则有，而在上递减，从而有，即，两边取对数得：，即，，令，，，当时，，则在上单调递增，，符合题意，当时，即，当时，，在上单调递减，当时，，不符合题意，综上得：，所以实数的取值范围是. 4、函数单调性的应用【典例4-1】1．（2022·全国·模拟预测）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是(       )A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意知方程有两个不同的实数根，令，作出的图象如图所示，数形结合可知直线与函数的图象在上有两个不同的交点．当直线与函数的图象相切时，设切点为，则，，则①，当时，，则②，由①②可得，，∴，得，故选：A．2．（2022·全国·模拟预测）若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】A【详解】依题意，．令，故．令，则，故在上单调递增，且，，所以存在，使得，即，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故．由，得，即，即，故．因为函数在上单调递增，所以，，故，解得.故选:A．3．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若有解，则实数的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为的定义域为R，，所以函数为奇函数，因为，所以函数在R上单调递增.因为有解，即有解，所以有解，由函数在R上单调递增，可得有解.解法一：令，则.①当时，，函数在R上单调递增，，符合题意；②当时，，不符合题意；③当时，令，得；当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此，，解得.综上，实数的取值范围为.解法二:若，则有解. 令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故，即.若，则有解，易知恒小于零，所以，即.若，则，不符合题意.综上，实数的取值范围为.解法三：若，如图，在同一平面直角坐标系内作出与的图象，当直线与函数的图象相切时，设切点为，则切线方程为，再结合切线过原点得，故，由有解，得函数的部分图象在直线的下方，所以，数形结合可知.若，易知函数的图象必有一部分在直线的下方，符合题意.若，由函数的单调性可知，不符合题意.综上，实数的取值范围为. 故选：D4．（2022·山东威海·三模）已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明．①；②．【解析】(1)，当时，，令，解得；令，解得或，所以的单增区间为；单减区间为，．(2)证明①：由题意知，是的两根，则，，将代入得，，要证明，只需证明，即，因为，所以，只需证明，令，则，只需证明，即，令，，所以在上单调递减，可得，所以，综上可知，．证明②：设，因为有两个极值点，所以，解得，因为，所以，，由题意可知，可得代入得，，令，，当，所以在上单调递减，当，所以在上单调速增，因为，所以，由，可得，所以，所以，所以，即．5．（2022·全国·模拟预测）已知函数，．(1)讨论函数的单调性，并求函数的极值；(2)证明：对任意，都有．【解析】(1)因为，所以，由得或，由得，所以在上单调递减，在和上单调递增，因此，．(2)要证对任意，都有，即证对任意恒成立，即证对任意恒成立.构造函数，.因为在上恒成立，所以在上是增函数，故，即，当且仅当时等号成立，因为，所以，所以只需证对任意恒成立，即证对任意恒成立．令，，则，因此在上是增函数，所以当时，．所以当时，恒成立．故对任意，都有．