专题11 导数与函数的极值、最值（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

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第11讲  导数与函数的极值、最值学校____________          姓名____________          班级____________ 一、知识梳理1.函数的极值一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点.(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点.(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点.(4)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在[a，b]上的最值如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点.(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.二、考点和典型例题1、利用导数求函数的极值【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（       ） A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【详解】由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，所以函数在开区间内的极小值点有个，故选：A.【典例1-2】（2022·陕西商洛·一模（文））已知函数，则的极大值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数的定义域为，,令，解得或，故单调递增极大值单调递减极小值单调递增 所以的极大值为，故选：B.【典例1-3】（2022·新疆·三模（文））若函数在处有极值10，则（       ）A．6 B． C．或15 D．6或【答案】B【详解】 ， 又 时 有极值10 ，解得 或 当 时， 此时 在 处无极值，不符合题意经检验， 时满足题意 故选：B【训练1-1】（2022·河南新乡·二模（文））已知，函数的极小值为，则（       ）A． B．1 C． D．【答案】C【详解】，则在和上单调递减，在上单调递增，所以，则，则．故选：C【训练1-2】（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））已知为常数，函数有两个极值点，其中一个极值点满足，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】，由函数有两个极值点，则等价于有两个解，即与有两个交点，所以.直线过点由在点处的切线为，显然直线过点当时，直线与曲线交于不同两点（如下图），且，，令，则，所以单调递增，，即，故选： D.【训练1-3】（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习（文））已知函数在与时，都取得极值．(1)求，的值；(2)若，求的单调增区间和极值．【答案】(1)，(2)函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，函数的极大值是，函数的极小值是.【解析】(1)，由条件可知和，即，解得：，， 所以，检验： 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 经检验与时，都取得极值，满足条件，所以，；(2)，解得：，所以 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 有表可知，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，函数的极大值是，函数的极小值是.【训练1-4】（2021·福建·莆田第二十五中学高三阶段练习）已知函数在与处都取得极值．（1）求，的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由题设，，又，，解得，．（2）由，知，即，当时，，随的变化情况如下表：1+0-0+递增极大值递减极小值递增 ∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值，要使对任意恒成立，则只需，解得或，∴实数的取值范围为．2、利用导数求函数的最值【典例2-1】（2022·河南·模拟预测（文））当时，函数取得最小值，则（       ）A． B．1 C． D．2【答案】A【详解】解：，当时，；当时，．所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值．故选：A.【典例2-2】（2022·北京通州·高二期中）设函数，若函数无最小值，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由得，令,得，令，得或，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极小值，为，因为无最小值，所以，解得.故选：A【典例2-3】（2022·上海交大附中高二期中）函数的定义域为，解析式.则下列结论中正确的是（       ）A．函数既有最小值也有最大值 B．函数有最小值但没有最大值C．函数恰有一个极小值点 D．函数恰有两个极大值点【答案】A【详解】 ， ；令 ，则 或 ； 当 时， ，此时函数 单调递减；当 时， ，此时函数单调递增；当 时，，此时函数 单调递减；当 时，，此时函数单调递增， 在 时取得极小值，在 时取得极大值，故C，D错误； ； ， ； 函数 既有最小值也有最大值；故答案为：A【训练2-1】（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）已知，函数的最小值为，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】方法一：由题意得：；令，则，在上单调递增，又，当时，，，使得，则当时，，即；当时，，即；在上单调递减，在上单调递增，；由得：，即，设，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，.方法二：令，则当时，，令，则，当时，；当时，；则在上单调递减，在上单调递增，，即.故选：A.【训练2-2】（2022·四川·模拟预测（理））对任意，存在，使得，则的最小值为（       ）A． B． C．1 D．e【答案】C【详解】由题，令，则所以，令，则，令，则，则即在时单调递增，又，则时时，所以时取得极小值也即为最小值，最小值，即的最小值为1．故选：C．【训练2-3】（2022·北京市第三十五中学高二期中）已知函数.(1)求的单调区间；(2)求在区间上的最大值和最小值；(3)画出的草图(要求尽量精确).【答案】(1)增区间为，减区间为；(2)最小值为，最大值为；【解析】(1)由题设，所以、上，上，所以的单调增区间为、，单调减区间为.(2)由（1）可得如下列表：4  7递增递减递增 当时，在的最小值为，当或时，在的最大值为.(3)0474 结合（1）的结论，函数图象如下：【训练2-4】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）已知函数.(1)求的单调区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为和；(2)最大值为，最小值为.【解析】(1)函数的定义域为，，由，可得，当或时，，当时，，的单调递减区间为，单调递增区间为和.(2)由（1）知在上单调递减，在上单调递增.又，的最大值为，最小值为.  3、综合应用【典例3-1】（2021·陕西咸阳·高三开学考试（文））已知函数在处取得极值.(1)求在上的最小值；(2)若函数有且只有一个零点，求b的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)解：因为，所以，在处取得极值，，即解得，，所以，所以当或时，当时，在上单调递增，在上单调递减，又，在上的最小值为.(2)解：由（1）知，，若函数有且只有一个零点，则方程有唯一解，即有唯一解，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，又，函数图象如下所示：或，得或，即b的取值范围为.【典例3-2】（2021·天津市第一0二中学高三期中）设函数．(1)求在处的切线方程；(2)求的极大值点与极小值点；(3)求在区间上的最大值与最小值．【答案】(1)；(2)极小值点为，极大值点为；(3)，.【解析】(1)由题意得：，则，又，在处的切线方程为，即；(2)令，解得：或，则变化情况如下表：极小值极大值 的极小值点为，极大值点为；(3)由（2）知：在上单调递减，在上单调递增；又，，，，.【训练3-1】（2021·河南·高三阶段练习（理））已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求的值及在上的解析式；(2)若在区间上有极值，求的取值范围.【答案】(1)，(2)【解析】(1)解：因为是定义在上的奇函数，所以，取得，即，所以，所以时.设，则，所以，又，所以，所以.(2)解：由可知在处取得极值，所以或，解得或，即，所以的取值范围是.